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出版者:Society for Industrial and Applied Mathematics

作者:Michael C. Ferris

出品人:

页数:280

译者:

出版时间:2008-7-30

价格:USD 53.50

装帧:Paperback

isbn号码:9780898716436

丛书系列:MOS-SIAM Series on Optimization

图书标签:

• 最优化
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线性规划：决策与优化的数学基石 在现代社会的各个领域，从经济管理到工程设计，再到运筹学和人工智能，我们都面临着海量的数据和复杂的约束条件。如何在有限的资源下，做出最优的决策，以达到期望的目标，一直是人类孜孜以求的难题。线性规划，作为一种强大的数学优化工具，正是为了解决这类问题而生，它提供了一套严谨的理论框架和实用的求解方法，帮助我们在复杂的现实环境中找到最佳解决方案。 线性规划的核心思想： 线性规划的基本思想是将实际问题转化为一系列线性方程组和不等式，其中包含目标函数（需要最大化或最小化的量）和约束条件（限制决策变量的取值范围）。这些线性关系共同构成了一个多维度的可行域，而线性规划的目标就是在该可行域内找到使目标函数达到最优值的那个点。 目标函数： 在实际应用中，目标函数通常代表着我们需要最大化的收益、利润、效率，或是最小化的成本、消耗、风险等。例如，一家工厂在生产不同产品时，其目标可能是最大化总利润；一个物流公司在规划配送路线时，目标可能是最小化总运输成本。线性规划要求目标函数是决策变量的线性组合，这意味着每个变量对总目标值的贡献都是固定不变的。 约束条件： 约束条件则反映了实际生产、资源分配、技术能力等方面的限制。这些限制可以是资源的数量（如原材料、劳动力、设备），也可以是生产能力、市场需求、质量标准等。同样，线性规划要求所有的约束条件都必须表示为线性方程或线性不等式。例如，每生产一件产品所需的某种原材料数量是固定的，那么总的原材料消耗量就会是生产数量的线性函数。 可行域与最优解： 将所有约束条件绘制在多维空间中，它们共同围成一个区域，这个区域被称为可行域。可行域内的任何一个点都代表着一组满足所有约束条件的决策变量取值。线性规划的目标就是在可行域内寻找一个最优解，即目标函数在该点取得最大值（或最小值）的点。 线性规划的应用领域： 线性规划的应用范围极其广泛，几乎渗透到现代社会的每一个角落： 经济学与管理学： 生产计划： 决定生产多少种产品，以最大化利润或最小化成本，同时考虑原材料、劳动力和设备等资源限制。 资源分配： 在多个项目或部门之间合理分配有限的资金、人力等资源，以获得最大的整体效益。 投资组合优化： 在股票、债券等多种投资工具中进行选择和配置，以达到预期的风险回报水平。 调度问题： 安排人员、设备或任务的顺序，以最小化总时间或最大化效率，例如航班调度、生产线调度。 市场营销： 确定广告投放的预算和渠道，以最大化市场覆盖率或销售额。 工程学： 结构设计： 在满足强度、稳定性等工程要求的前提下，优化材料用量，以最小化结构成本。 交通运输： 规划最优的运输路线、车辆调度，以降低运输成本和时间。 能源管理： 优化发电厂的生产计划，以满足电力需求的同时，最小化燃料消耗和环境污染。 运筹学： 库存管理： 确定最优的订货量和订货时间，以在满足需求和降低库存成本之间取得平衡。 网络流问题： 解决最大流、最小割等问题，广泛应用于通信网络、物流网络的设计与优化。 计算机科学与人工智能： 机器学习： 许多机器学习算法，如支持向量机（SVM）的求解过程就涉及到线性规划。 路径规划： 在机器人、自动驾驶等领域，寻找最短或最优的移动路径。 求解线性规划问题的方法： 解决线性规划问题的方法主要分为两大类：图解法（适用于二维问题）和代数法（适用于高维问题）。 图解法： 对于只有两个决策变量的问题，可以将约束条件绘制在二维平面上，形成一个多边形的可行域。 目标函数也可以表示为一系列平行直线，通过移动这些直线，找到与可行域相交的最后一条直线所对应的点，该点即为最优解。 图解法直观易懂，能够帮助初学者理解线性规划的基本原理，但仅限于二维问题。 代数法： 单纯形法（Simplex Method）： 这是最经典、最常用的线性规划求解算法，由乔治·丹齐格（George Dantzig）于1947年提出。 单纯形法的基本思想是通过一系列迭代，在可行域的顶点之间移动，每次迭代都朝着优化目标的方向前进，直到找到最优解。 算法首先将不等式约束转化为等式约束，引入松弛变量和人工变量，构造初始基可行解。 然后，通过一系列称为“旋转”的操作，逐步改进当前解，直到满足最优性条件。 单纯形法虽然在理论上存在最坏情况指数复杂度，但在实际应用中表现出色，效率很高。 内点法（Interior-Point Methods）： 与单纯形法沿着可行域边界移动不同，内点法是在可行域内部移动，并通过一系列步长逼近最优解。 内点法在处理大规模问题时，通常比单纯形法更有效率，且具有多项式时间复杂度。 著名的内点法包括阿霍（Ah-Luo-Rao）方法、内窥镜法等。 线性规划的建模挑战与注意事项： 在实际应用中，将现实问题准确地转化为线性规划模型是关键的第一步，也可能充满挑战： 变量的定义： 需要清晰地界定决策变量，它们应该代表我们想要确定的量。 目标函数的构建： 确保目标函数能够准确反映我们要最大化或最小化的实际指标。 约束条件的识别与表述： 仔细识别所有相关的限制因素，并将其准确地表示为线性关系。 线性假设的有效性： 线性规划要求目标函数和约束条件都是线性的。在某些情况下，实际问题可能表现出非线性特征，此时需要判断线性近似是否足够准确，或者是否需要采用非线性规划方法。 整数约束： 在某些问题中，决策变量必须是整数（例如，生产整批产品）。如果引入整数约束，问题就变成了整数线性规划，其求解难度会显著增加，需要使用专门的算法（如分支定界法、割平面法）。 线性规划的意义与展望： 线性规划不仅是一种解决特定问题的数学工具，更是一种重要的思维方式。它促使我们以结构化的方式思考问题，将模糊的现实转化为清晰的数学模型，并基于逻辑和数据做出理性的决策。 随着计算能力的不断提升和算法的持续发展，线性规划及其相关领域（如混合整数规划、二次规划等）的应用将更加广泛和深入。无论是在学术研究还是在商业实践中，掌握线性规划的理论与方法，都将为个人和组织带来巨大的价值，帮助我们在瞬息万变的现代世界中，找到通往成功的最优路径。

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这部教材给人的第一印象是其对理论的深度挖掘令人印象深刻。作者似乎没有满足于仅仅介绍基础算法，而是深入剖析了线性规划问题的对偶性、敏感性分析以及大M法等核心概念背后的数学逻辑。对于我这样的初学者来说，一开始阅读这些章节时感到有些吃力，公式推导层层递进，需要反复琢磨才能真正理解其精髓。特别是关于 KKT 条件的讨论，如果不是对优化理论有一定预备知识，很容易感到云里雾里。然而，一旦跨过这道坎，你会发现这种扎实的理论基础对于解决那些复杂的、非标准形式的优化问题是多么关键。它不像市面上一些只提供“食谱式”操作指南的书籍，而是真正致力于培养读者对底层原理的洞察力。书中对松弛变量和影子价格的解释，结合几何直观和严格的代数论证，使得抽象的概念变得可以触摸和理解。这套书更像是为有志于从事运筹学研究或需要构建复杂优化模型的工程师准备的，它提供的知识深度，足以支撑起更高级的学习和实践。

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最后，这本书在处理“大规模问题”和“求解器选择”上的探讨，虽然篇幅不算最长，但见解独到。它没有把所有问题都塞进标准的单纯形法框架里，而是引入了内点法、网络流算法等更现代、更高效的求解策略的理论基础。尤其是对这些方法的收敛性和计算复杂度的比较分析，展现了作者对计算优化领域的深刻理解。书中强调了选择正确算法的重要性，指出对于某些结构特殊的稀疏矩阵问题，采用定制化的算法远胜于通用的分支定界法。这种对算法适用性的细致区分，远超出了教科书的范畴，更接近于资深顾问的经验总结。它引导读者思考：解决同一个优化问题，不同的工具会带来怎样的性能差异，这对于任何打算将线性规划应用于实际工程决策的人来说，都是极其有价值的启发。

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这本书的结构安排，坦白地说，对那些追求快速上手的读者来说可能不太友好。它将大量的篇幅放在了理论的铺陈上，导致初期的章节显得有些冗长和干燥。我期待看到更多立即可用的案例代码，但实际情况是，MATLAB 的应用往往是在理论讲解完毕后，以一种较为精简的方式呈现。这使得我必须频繁地在理论章节和随后的示例代码之间来回跳转，自己动手调试和验证。例如，在讲解单纯形法时，书中详细描述了枢轴选择的标准和迭代过程，但与之匹配的 MATLAB 实现却显得过于简洁，很多细节的实现逻辑需要读者自行脑补和完善。这无疑增加了学习的门槛，但反过来看，这也强制性地锻炼了读者的编程能力和对算法细节的掌握程度，迫使你不仅仅是调用函数，而是去理解函数内部是如何运转的。因此，这本书更像是对那些已经熟悉 MATLAB 基础操作，并渴望将理论知识转化为实际可运行模型的学习者的一次严峻考验，它要求读者具备一定的自学和推导能力。

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我特别欣赏这本书在讨论“模型构建”这一环节所展现出的细致入微。许多优化教材往往假设读者已经能够完美地将现实问题抽象成数学模型，但这本书在这方面投入了显著的精力。它并没有满足于标准的“提货/送货”问题，而是引入了诸如生产调度、资源分配中的非线性约束近似处理（尽管它主要关注线性部分，但对边界条件的讨论很到位）等更贴近工业实际的场景。作者似乎非常注重“建模语言”与“优化求解器”之间的桥梁作用。每当介绍一个新的问题类型时，作者都会先用清晰的语言描述现实中的限制和目标，然后系统地引导读者如何将这些限制转化为不等式和等式约束，并恰当地定义目标函数。这种自上而下的建模思维训练，比单纯学习某个求解器命令的用法要宝贵得多，它教会你如何用数学的语言去“思考”现实世界的问题。

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然而，对于那些主要使用其他软件环境（比如 Python 的 SciPy 或专用的求解器接口）的学习者来说，这本书中对 MATLAB 环境的深度绑定可能成为一个障碍。虽然 MATLAB 在工程和学术界仍有其地位，但如今的趋势明显倾向于更开放的生态系统。书中大量的 M 文件示例和特定的绘图函数，对于习惯了 NumPy/Pandas 流程的读者来说，需要额外的精力去适应和翻译。我希望看到，即便侧重于 MATLAB，也能提供更通用的伪代码描述，或者至少在提及求解器调用时，能更清晰地指出哪些是 MATLAB 特有的语法，哪些是通用的算法步骤。这种强烈的平台依赖性，在一定程度上限制了本书的普适性，使得本书更像是一份针对特定用户群体的专业参考手册，而非一本面向广大学者的基础教程。

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麦迪逊好几门都是书作本人上课啊，好像我知道在NUS的只有VT的linear algebra和ECON的一个巨水的老师上一门巨水的课是用自己的书的。。。相比起来Alex Cook自己写的notes真的不错，经常有NUS外面的人发邮件夸他呢！

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比清华的引进版教材好多了。。。遗憾本科没用这本教材做入门