美国中学生数学竞赛题解(2)

美国中学生数学竞赛题解(2) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

出版者:新蕾出版社
作者:数学奥林匹克题库编译小组
出品人:
页数:264
译者:
出版时间:1991-06
价格:4.25
装帧:平装
isbn号码:9787530707548
丛书系列:
图书标签:
  • 教学
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具体描述

深入探索几何变换与数论的奥秘:精选高中数学竞赛题解 书名: 深入探索几何变换与数论的奥秘:精选高中数学竞赛题解 内容简介: 本书是为热衷于数学竞赛,尤其是对几何变换和数论领域抱有浓厚兴趣的高中生精心打造的一部深度学习与训练资料。全书紧密围绕当前国际及国内顶尖高中数学竞赛(如美国AMC系列、AIME、以及部分奥林匹克预选赛)中对几何学和数论两大核心板块的考查重点和前沿趋势展开,力求提供一套系统、深入且富有启发性的解题策略和理论支撑。 我们深知,几何与数论是数学思维的基石,也是竞赛中最具挑战性和创造性的部分。因此,本书摒弃了浅尝辄止的题型罗列,而是着重于挖掘隐藏在题目背后的数学思想和工具的灵活运用。 --- 第一部分:精妙的几何变换——从欧几里得到非欧空间的一瞥 本部分聚焦于如何在二维和三维空间中,通过系统性的几何变换来简化复杂的空间关系和证明过程。我们相信,理解变换的本质,远比死记硬背公式更为重要。 第一章:基础变换的深度剖析与应用 本章首先对平面上的刚体运动——平移、旋转、反射(镜射)进行了详尽的数学化描述,并引入了复数坐标系在处理旋转和缩放问题上的独特优势。不同于常规教材对这些变换的简单介绍,我们深入探讨了变换群(Transformation Groups)的概念,阐释了变换的复合与逆运算的性质。 重点案例分析: 如何利用旋转中心和旋转轴来解决涉及多边形内角和中线段长度的最优化问题。 难点突破: 针对竞赛中常见的“不变量”问题,阐述如何通过选择合适的坐标系或变换,快速锁定在特定变换下保持不变的几何量(如距离、角度、面积比例),从而绕过冗长的代数运算。 第二章:相似性、仿射变换与透视 本章将视角从刚体运动扩展到相似变换(Homothety)和更一般的仿射变换(Affine Transformation)。我们详细介绍了中心、比率对图形结构的影响,并将其应用于处理平面内点的共线性和四点共圆等经典问题。 核心工具: 引入笛卡尔坐标系下的矩阵表示法来清晰地表达仿射变换,这对于理解多重变换的组合效果至关重要。 实战演练: 针对涉及梯形、圆锥曲线(尤其是椭圆和抛物线)的几何问题,展示如何通过恰当的相似变换将其“标准化”到最简单的模型下求解,再逆向推导出原问题的解。 第三章:解析几何的几何化(反向思维训练) 在传统解法中,解析几何往往是代数工具的体现。本章反其道而行之,展示如何将复杂的解析几何方程(如二次曲线方程)几何化,利用几何直觉和变换思想来解决代数方程的根的分布问题。 关键技巧: 深入探讨极坐标变换在处理涉及圆周和角度的旋转对称性问题中的妙用。 高阶话题: 探讨了在三维空间中,如何利用反射和旋转的概念来分析晶体结构或多面体的对称性,为后续理解更抽象的几何结构打下基础。 --- 第二部分:数论的殿堂——从基础算术到丢番图的挑战 本部分旨在引导读者超越初等数论的范畴,接触更具深度和广度的数论分支,特别是那些在高级竞赛中频繁出现的模块化算术、同余理论和解析数论的初步概念。 第四章:模运算的高级技巧与同余类 本章不再满足于简单的“求余数”,而是着重于模运算在结构上的深刻意义。我们详细讲解了中国剩余定理 (CRT) 的推广形式及其在解系统同余方程中的应用,并引入了欧拉定理、原根的概念,作为分析模幂运算的强力武器。 深入理解: 剖析了阶(Order) 的性质,并展示如何利用阶来确定循环序列的周期性,例如在涉及大数幂次的末位数字或除法余数的周期性问题中。 费马小定理的变奏: 探讨了在非素数模下,如何修正和使用费马小定理的推论。 第五章:丢番图方程的探索与几何化 丢番图方程是数论中公认的难题。本章精选了竞赛中常见的几类丢番图方程进行系统分析,包括线性丢番图方程、勾股数的生成公式、以及佩尔方程(Pell's Equation) 的基本解法。 核心方法: 重点阐述了降阶法(Descent Method) 和模化分析法(即通过选择合适的模数来排除无解的情况)的实践应用。 挑战: 尝试性地引入了椭圆曲线的初级概念,说明了如何通过几何构造(弦的斜率)来寻找新的有理点,从而为理解更复杂的丢番图解法做铺垫。 第六章:数论与组合学的交汇点 本章强调数论工具在解决组合计数问题中的强大作用。我们探讨了容斥原理在处理可除性问题时的数论内涵,以及生成函数如何与数论中的特定函数(如除数函数、欧拉函数)相结合。 经典应用: 详细解析了米田引理(Burnside's Lemma) 在计数具有对称性的物体(如项链、染色问题)中的应用,并结合模运算来处理周期性计数。 算术函数: 深入探讨了莫比乌斯反演公式 (Möbius Inversion Formula) 在涉及“所有数的约数和”或“所有数的倍数和”这类求和问题中的高效性,展示了它如何系统地解决容斥原理的复杂变体。 --- 结语与展望 本书旨在培养读者一种“数学工具箱”的意识,即面对一个问题时,能够迅速辨别出它更倾向于几何变换的视角,还是数论结构下的洞察。每章的例题均选自近十年的高水平竞赛真题,并在解题步骤中详细标注了所依据的核心数学原理和变换思想。阅读本书,将不仅是学习解题方法的过程,更是一次提升逻辑推理能力和数学创造力的深度思维训练。

作者简介

目录信息

目录
关于美国中学生数学竞赛
美国数学奥林匹克竞赛试题及解答
第一届(1972年)
第二届(1973年)
第三居(1974年)
第四届(1975年)
第五届(1976年)
第六届(1977年)
第七届(1978年)
第八届(1979年)
第九届(1980年)
第十届(1981年)
第十一届(1982年)
第十二届(1983年)
第十三届(1984年)
第十四届(1985年)
第十五届(1986年)
第十六届(1987年)
第十七届(1988年)
第十八届(1989年)
第十九届(1990年)
美国数学邀请赛试题及解答
第一届(1983年)
第二届(1984年)
第三届(1955年)
第四届(1986年)
第五届(l987年)
第六届{1988年)
第七届(1989年)
第八届(1990年)
· · · · · · (收起)

读后感

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用户评价

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这本书的语言风格非常鲜明,带着一种老派数学家的沉稳与睿智,但又恰到好处地融入了现代竞赛的语境。它没有使用过多花哨的网络流行语来迎合年轻读者,而是用精准、凝练的中文表达出深奥的数学概念。读起来让人感觉像是在啃一块有嚼劲的“硬骨头”,虽然需要集中十二分的注意力,但每攻克一个难关,都会带来巨大的成就感。我特别喜欢作者在章节开头设置的“知识点回顾”模块,它不像教科书那样冗长,而是高度提炼了本章核心需要掌握的几个关键定理或技巧,像是为接下来的挑战热身。这种学习节奏的把握非常到位,让人感觉学习过程是紧凑而高效的,没有丝毫拖泥带水的感觉。

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这本书给我的整体感觉是“厚重而实用”。它似乎并不急于让你在短期内看到肤浅的分数提升,而是着眼于构建一个坚实、灵活的数学思维体系。很多题目,第一次做可能需要借助解析才能理解其精髓,但隔一段时间后再回头看,会发现自己已经能融会贯通,自主地找到更优的解法。这种知识的内化过程,是衡量一本优秀竞赛辅导书的关键标准。它成功地将抽象的理论知识与具体的赛场实战紧密地结合起来,让读者明白,数学竞赛考验的不是你背了多少公式,而是你运用这些工具解决未知问题的能力。对于那些渴望在数学领域迈出更坚实一步的学生来说,这本书无疑是一份极其宝贵的资源,它提供的价值远远超出了书本本身的价格。

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我通常对数学辅导书的细节处理比较挑剔,特别是符号标注和术语翻译方面,常常出现不一致的情况。然而,这本《美国中学生数学竞赛题解(2)》在这些方面做得堪称典范。所有的数学符号都遵循了国际惯例,而且对一些容易混淆的术语,作者都做了非常细致的注释,确保了不同教育背景的读者都能准确理解。另外,纸张的质量和印刷的清晰度也值得称赞,长时间的阅读下来,眼睛不容易疲劳,这对于需要长时间面对复杂图形和公式的学习者来说是极其重要的体验优化。一本好的参考书,绝不仅仅是内容的堆砌,细节的打磨同样体现了对读者的尊重,这一点,这本书做得非常到位。

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初拿到这本书时,我主要关注的是它对历年真题的覆盖广度和深度。令人惊喜的是,它并没有简单地堆砌题目,而是对每一道典型题目进行了深入的剖析,尤其是那些“陷阱”所在之处,作者都用醒目的方式标出,并提供了不止一种解题路径。这种多角度的解析,极大地拓宽了我解决问题的视野。例如,在处理某个需要用到代数几何结合的题目时,书中先是用纯几何法给出了直观的证明,接着又展示了如何运用坐标系来简化运算,这种对比分析对于提升应试技巧至关重要。我感觉这本书更像是一位经验丰富的教练在耳边细心指导,而不是冰冷的习题集。它不仅仅告诉我“怎么做”,更教会我“为什么这么做”,这种对数学本质的探究精神,远比死记硬背解法要宝贵得多。

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这本书的封面设计简洁有力,一看就让人联想到严谨的数学思维。打开扉页,首先映入眼帘的是清晰的目录结构,这对于我这样习惯于系统学习的人来说非常友好。内容编排上,感觉作者非常注重逻辑的连贯性,从基础概念的引入到复杂定理的应用,过渡得非常自然流畅。我特别欣赏它在例题选择上的独到眼光,很多题目看似简单,但背后蕴含的解题思路却非常巧妙,能有效激发读者去深入思考,而不是仅仅停留在套用公式的层面。对于备战竞赛的同学来说,这种注重“活学活用”的教学方式无疑是事半功倍的。此外,书中的排版也处理得很好,公式和文字的穿插布局合理,阅读起来毫无压力感,即便是面对那些复杂的代数推导或几何证明,也能保持清晰的思路。总的来说,这是一本从内到外都散发着专业气息的辅导资料,看得出编著者在打磨内容上付出了极大的心力。

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