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出版者:科学出版社

作者:孟道骥

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1999-01-01

价格:12.80

装帧:

isbn号码:9787030069504

丛书系列:南开大学数学教学丛书

图书标签:

• 微分几何
• 几何学
• 数学
• 高等数学
• 拓扑学
• 流形
• 曲线曲面
• 黎曼几何
• 张量分析
• 数学分析

好的，这是一份为一本名为《代数拓扑基础》的图书撰写的详细简介。这份简介旨在吸引对现代数学，特别是拓扑学及其相关领域有浓厚兴趣的读者，同时避免提及任何与“微分几何”直接相关的内容。 --- 图书简介：《代数拓扑基础》 探索空间的内在结构与不变性 《代数拓扑基础》是一部全面、深入且富有洞察力的数学专著，专注于介绍代数拓扑学的核心概念、理论框架及其在现代数学，尤其是几何与拓扑研究中的基础性作用。本书旨在为具有扎实基础的数学专业学生、研究生以及希望系统学习代数拓扑学理论的研究人员提供一套严谨而清晰的导引。 代数拓扑学，作为现代数学中连接几何直觉与严格代数工具的桥梁，致力于通过代数对象（如群、环、模）来研究拓扑空间的性质。它使我们能够以一种量化、精确的方式来描述和区分那些仅凭直觉难以辨别的空间结构。本书精心构建了一条从基础概念到前沿工具的完整学习路径。 --- 第一部分：拓扑空间与连续性——几何直觉的代数化开端 本书的开篇部分，我们将重温并深化对拓扑空间的理解。我们不仅仅停留在集合论的定义层面，而是着重探讨拓扑结构如何编码了“邻近性”、“连通性”和“紧致性”这些几何直觉。 拓扑空间回顾与进阶： 详细阐述了开集、闭集、闭包、内部、边界的概念，并引入了商拓扑的构建方法，这是后续构造复杂空间的基石。 连续映射与同胚： 严格定义了拓扑学中的等价性——同胚，并探讨了连续函数如何保持这些结构信息。 重要拓扑性质的深入研究： 篇幅专门用于分析连通性（路径连通、道连通）和紧致性。我们不仅讨论了欧几里得空间中的经典结果，更探讨了在任意拓扑空间中，这些性质如何通过代数工具（如紧致子空间的性质）得以体现。 第二部分：同伦论——研究空间的“洞”与“环” 代数拓扑学的第一个核心分支——同伦论 (Homotopy Theory)，是本书的重点之一。同伦论的核心思想是：通过研究连续形变（同伦）下的不变性，来区分本质上不同的空间。 基本群 (Fundamental Group)： 这是对空间中“环路”结构进行编码的第一个代数不变量。本书从路径积分的概念出发，严谨地构建了基本群 $pi_1(X, x_0)$，并详细证明了其作为一种群的性质。 覆盖空间理论的引入： 通过万有覆叠空间的概念，我们展示了如何利用代数工具（如覆叠空间的自同构群）来计算特定空间的带有一个基点的基本群。 范畴论的视角： 我们将基本群视为一个函子，将拓扑空间范畴映射到群范畴，从而为后续的更高阶群提供理论基础。 高阶同伦群 (Higher Homotopy Groups)： 随后，我们推广到 $pi_n(X, x_0)$，即 $n$ 维球面的映射群。我们将深入探讨这些群的性质，特别是Hurewicz 定理，该定理建立了最低阶非零同伦群与同调群之间的关键联系。 第三部分：同调论——衡量空间的“洞”的代数不变量 同调论 (Homology Theory) 是代数拓扑中最强大且应用最广泛的工具之一，它提供了一套系统的方法来“计数”空间中的“洞”的维度。 奇异同调 (Singular Homology)： 我们将从最一般的角度出发，构建奇异链复形 $C_(X)$，并定义出奇异同调群 $H_n(X)$。这一构造的强大之处在于它完全依赖于空间本身，而无需预设任何几何结构。 链复形与链映射： 详细阐述了链复形、链映射以及链同位（Homotopy）的概念。我们将证明，拓扑同胚必然导致同构的同调群，从而确立了同调作为拓扑不变量的地位。 重要工具与性质： Mayer-Vietoris 序列： 这是一个极其重要的计算工具，它允许我们将复杂空间的同调群分解为对其开覆盖空间同调群的代数组合，是实际计算的基石。 精确序列与自然性： 从范畴论的角度阐述了同调理论的自然性，以及长正合序列在代数拓扑计算中的核心作用。 相对同调与截断空间： 我们引入了相对同调的概念，以及它在处理空间中移除子空间后剩余结构时的应用。 第四部分：公理化基础与构造性理论 为了使理论更加完善和便于应用，本书的最后一部分转向了更抽象的公理化视角和一些关键的构造性理论。 Eilenberg-Steenrod 公理系统： 我们将总结同调论的五条基本公理（维度、截断、外延、连通性、维数），并展示如何从这些公理出发重构出奇异同调理论。这为理解其他类型的同调理论（如簇同调、精细同调）奠定了抽象框架。 胞腔同调 (Cellular Homology)： 针对由胞腔构成的空间（如流形、CW复形），我们将介绍简化的胞腔同调理论。这套工具计算效率极高，尤其适用于处理许多几何模型，并展示了在CW复形上，胞腔同调与奇异同调是自然同构的。 欧拉示性数 (Euler Characteristic)： 作为一个重要的拓扑不变量，我们将探讨如何通过同调群或胞腔结构计算欧拉示性数，并阐述其在分类曲面理论中的经典意义。 --- 本书的特点与适用对象 《代数拓扑基础》的编排注重清晰的逻辑链条和严格的证明。本书的叙述风格力求将复杂的代数结构与直观的几何意义紧密结合，确保读者不仅学会“如何计算”，更能理解“为什么有效”。 适用读者： 数学专业高年级本科生和研究生，作为代数拓扑学课程的教材或参考书。 对现代几何、拓扑、乃至代数几何、理论物理背景有兴趣，希望建立坚实代数拓扑基础的研究人员。 通过对基本群、高阶同伦群和奇异同调的系统学习，读者将掌握一套强大的分析工具，能够从代数的视角精确地描绘和区分各种复杂空间的内在拓扑特征。本书是迈入高等拓扑研究领域不可或缺的理论基石。

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这本书的排版和图示设计简直可以用“匠心独运”来形容，这是我近期阅读的学术书籍中体验最好的之一。在处理那些涉及高维空间和复杂曲率的章节时，作者深知视觉辅助的重要性。插图并非简单的示意图，而是经过深思熟虑的几何模型，它们巧妙地揭示了抽象概念背后的空间直觉。比如，在讨论黎曼曲率张量时，书中呈现的那些三维剖面图，清晰地展示了测地线在曲面上的汇聚或发散趋势，这比纯粹依赖公式推导要直观得多。阅读体验非常流畅，章节之间的过渡处理得非常自然，仿佛作者正牵着你的手，一步步引导你穿越不同层次的数学景观。我特别喜欢它在引入新概念时，总是先给出直观的几何动机，然后再给出严格的数学定义，这种“先感性认识，后理性把握”的教学方法，极大地降低了初学者的畏难情绪。对于希望从直观理解迈向严格证明的读者来说，这本书提供了绝佳的桥梁。

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坦白说，这本书的深度和广度超出了我最初的预期。我原本以为它会更侧重于古典微分几何中的曲线和曲面理论，但很快我发现，它的大部分篇幅都致力于构建现代微分几何的框架。对于拓扑学基础较弱的读者来说，可能需要先补充一些预备知识，因为书中对某些拓扑性质的讨论是略显跳跃的。然而，一旦你跟上了作者的节奏，你会发现他构建的理论体系是多么的宏大而自洽。特别值得称赞的是，作者在介绍奇异点理论和纤维丛时，展现了极高的驾驭能力，将看似不相关的领域巧妙地连接起来。这本书的价值不仅在于教授知识本身，更在于它提供了一种看待数学问题的全新视角——一种将代数、分析与几何深度融合的统一视野。读完它，你会感觉自己对“空间”这个概念的理解都被提升了一个数量级，那种被拓宽的思维边界感，是金钱和时间都难以衡量的收获。

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这本书最让我感到惊喜的是它在“历史脉络”和“现代发展”之间找到的精妙平衡点。作者并没有将历史发展仅仅作为引言的背景板，而是巧妙地将其融入到理论构建的过程中。比如，在讨论曲率张量时，他会穿插介绍高斯、黎曼等先驱者在探索过程中遇到的困难和思路转变，这种叙事方式极大地增强了阅读的代入感和趣味性。它让人感觉不是在阅读一本冰冷的数学教科书，而是在参与一场跨越世纪的智力对话。我尤其欣赏作者在收尾部分对微分几何未来展望的探讨，他简要提及了辛几何、深刻几何等前沿方向，为读者指明了继续探索的道路。这使得整本书的格局一下子打开了，从严谨的细节中抽身而出，看到了整个学科波澜壮阔的全景。这本书的价值在于，它不仅教会了你如何“做”微分几何，更让你理解了“为何要”研究微分几何，以及它在整个数学大厦中的核心地位。

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我对这本书的严谨性表示由衷的敬佩，但同时也要提醒潜在的读者，它绝非一本“速成”指南。本书的特点是其定义和证明的详尽程度达到了极致，每一个步骤都经过了近乎苛刻的推敲。这意味着如果你期待的是那种提供大量习题解答或应用案例的“工具书”式阅读体验，你可能会感到失望。作者更像是一位哲学家而非工程师，他热衷于探究“为什么是这样”，而不是“如何应用它去解决问题”。例如，对于斯托克斯定理的推广，书中花了大量篇幅去论证其在任意光滑流形上的普适性，力求逻辑链条的完美无瑕。这种深度钻研固然保证了理论的坚实基础，但也使得一些章节的阅读速度非常缓慢，需要经常停下来，对照附录中的代数工具进行核对。对于希望为更高级的理论物理（比如广义相对论或规范场论）打下坚实基础的研究生来说，这本书是不可或缺的基石，但对初学者而言，可能需要配合其他辅助材料一同学习，以平衡其学术深度与实践应用之间的关系。

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这部鸿篇巨制，光是拿到手里沉甸甸的分量，就让人对接下来的阅读之旅充满了敬畏。我花了整整一个周末的时间，才勉强啃完了开篇的几章，那种感觉，就像是初次踏入一片结构精深、逻辑严密的数学迷宫。作者的叙事风格极其克制而精准，每一个定理的引入都像是精心设计的建筑构件，紧密咬合，不留一丝松懈。尤其让我印象深刻的是他对“流形”这一基本概念的阐释，他没有急于抛出复杂的拓扑定义，而是从我们熟悉的欧几里得空间出发，通过极限和局部近似的思路，将读者的直觉逐步提升到一个更高维度的抽象层面。书中对于张量分析的介绍尤为精彩，那种将复杂的几何关系转化为坐标无关的代数表达的优雅性，让人拍案叫绝。虽然理解起来需要反复研读，甚至要借助草稿纸推演，但每一次豁然开朗的瞬间，都带来了无与伦比的智力满足感。这本书无疑是为那些渴望真正掌握现代几何语言的专业人士准备的，它不是一本轻松的读物，而是一场严谨而深刻的智力攀登。

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适合初学

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