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出版者:大连理工大学出版社

作者:刘学生

出品人:

页数:277

译者:

出版时间:2006-7

价格:14.00元

装帧:

isbn号码:9787561119693

丛书系列:

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• 高等数学
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矩阵理论与应用基础 本书简介 本书旨在为读者提供一个扎实且深入的矩阵理论基础，并重点介绍其在现代科学与工程领域中的广泛应用。我们力求以清晰、严谨且富有启发性的方式，构建起从基础概念到高级理论的完整知识体系。全书内容侧重于理论的内在逻辑，以及如何利用这些工具解决实际问题。 第一章 基础代数结构与向量空间 本章首先回顾了域、环等代数基础概念，并以此为基础严格定义了向量空间。我们将详细探讨向量空间的公理体系，向量的线性组合、线性无关性、基与维数的概念。对有限维向量空间，我们将重点剖析坐标系的选择对向量表示的影响，并引入同构的概念，理解不同向量空间在结构上的等价性。 关键概念： 域、环、模、线性组合、张成、线性相关性、基、维数、直和、商空间。 核心目标： 建立起对“空间”的抽象理解，超越几何直觉，认识其代数本质。 第二章 线性映射与矩阵表示 线性映射是连接不同向量空间的桥梁。本章将线性映射的形式化定义作为核心，深入探讨其性质，包括核空间（Null Space）和像空间（Image Space），以及秩-零化度定理的深刻意义。重点在于理解如何通过选择合适的基，将抽象的线性映射转化为具体的矩阵形式。我们将详细论述相似变换、相似矩阵的性质，以及矩阵的相似性如何反映了线性变换的内在不变性。 关键概念： 线性映射、核、像、秩、零化度、矩阵的乘法与初等行变换、相似变换、相似矩阵。 核心目标： 掌握从几何/代数操作到矩阵代数表示的转换，并理解相似性在不同基下的不变量特性。 第三章 行列式与几何意义 行列式是矩阵理论中一个至关重要的工具，它以一种简洁的代数数值，概括了线性变换的许多重要几何特性。本章从对置换群的分析出发，严格定义行列式的代数公式。随后，我们将探讨行列式的基本性质，如与行变换、列变换的关系，以及如何利用行列式计算逆矩阵（伴随矩阵法）。更重要的是，我们将深入分析行列式的几何意义——在二维和三维空间中，行列式（或其绝对值）代表了面积或体积的缩放因子。 关键概念： 置换群、对换、奇偶性、行列式定义、莱布尼茨公式、代数余子式、拉普拉斯展开、行列式性质、几何解释（面积与体积）。 核心目标： 建立行列式与矩阵可逆性、线性方程组解集之间的联系，并理解其空间形变的度量作用。 第四章 线性方程组的求解理论 本章聚焦于线性方程组 $Ax=b$ 的结构化解法。我们将从高斯消元法和行阶梯形矩阵的构造入手，系统阐述方程组解的存在性与唯一性。通过引入矩阵的秩，我们能够精确判断方程组的解的性质。本章还将专门讨论齐次方程组的解空间（即零空间）的结构，以及如何通过行简化来确定该空间的基。 关键概念： 初等行变换、行阶梯形、主元、自由变量、增广矩阵、高斯-约旦消元法、秩、零空间、最小二乘解的初步探讨。 核心目标： 掌握系统地、可重复地求解任意规模线性方程组的算法和理论依据。 第五章 特征值与特征向量 特征值与特征向量是深入理解线性变换“本质方向”的关键。本章将介绍特征多项式、特征值（本征值）的计算方法，以及相应的特征向量（本征向量）的求解过程。我们将分析代数重数与几何重数的关系，并讨论对角化的充要条件，即是否存在一组完整的特征向量作为基。这一理论是分析动态系统和微分方程的基础。 关键概念： 不变子空间、特征多项式、特征值、特征向量、代数重数、几何重数、特征空间、矩阵的对角化。 核心目标： 理解特征值和特征向量代表了在线性变换下保持方向不变的特殊方向，并掌握实现矩阵对角化的条件。 第六章 矩阵的规范形与相似性 当矩阵不能对角化时，我们需要更普适的表示形式来揭示其内在结构。本章将引入更高级的相似标准形，特别是若尔当（Jordan）标准形。我们将详细推导若尔当块的结构，阐明每个线性算子都可以被唯一地表示为一组若尔当块的组合，即使在复数域上。本章还将涵盖二次型、对称矩阵的正交对角化，以及奇异值分解（SVD）在理解矩阵秩和低秩近似中的初步应用。 关键概念： 广义特征向量、循环子空间、最小多项式、若尔当标准形（JCF）、对称矩阵、正交基、二次型、正定性、奇异值分解（SVD）的引入。 核心目标： 掌握在一般情况下（非对角化）揭示矩阵结构的最强工具——若尔当标准形，并理解正交性在简化分析中的核心作用。 第七章 内积空间与正交性 本章将向量空间提升到内积空间（或称为欧几里得空间/酉空间）的层次，引入内积的概念，从而赋予空间长度、角度和投影的概念。我们将详细讨论施密特（Gram-Schmidt）正交化过程，构建正交基和标准正交基。对于线性映射，我们将定义伴随算子（Adjoint Operator），并重点分析在正交基下，对称算子（自伴随算子）的特殊性质——即它们总是可以被正交对角化。 关键概念： 内积、范数、柯西-施瓦茨不等式、施密特正交化、正交补、正交投影、伴随算子、谱定理（对对称矩阵）。 核心目标： 在具备几何度量的空间中进行计算，掌握正交分解和投影的强大能力。 附录：计算方法与数值稳定性 本附录简要介绍线性代数在实际计算中的考量。我们将讨论矩阵的条件数，以及数值误差对求解线性方程组和特征值计算的影响。重点阐述QR分解作为一种数值稳定的方法，相比于LU分解在处理病态问题时的优势。 本书特色： 本书的叙事逻辑清晰，从抽象的公理定义出发，逐步引入几何直觉，最终归结于强大的计算工具。理论推导严谨细致，每一步论证都力求清晰，避免跳跃。我们特别关注概念之间的内在联系，强调矩阵理论的统一性。本书旨在培养读者对线性代数结构本身的深刻洞察力，而非仅仅停留在公式和算法的表面操作。读者在学完本书后，将具备应对更高级数学分支（如泛函分析、微分几何和高阶数值分析）所需的坚实代数基础。

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这本书给我的感受是“结构完美，逻辑自洽”。我以前学数学总觉得知识点之间是零散的碎片，但读完这本书后，我发现线性代数其实是一个非常和谐、统一的整体。作者在引入新概念时，总会巧妙地回顾前面已经学过的知识点，形成一个闭环。例如，在讲解矩阵的秩时，它会立刻联系到向量组的线性相关性以及解空间的维度，让读者瞬间明白为什么这些看似不同的概念会出现在同一学科下。这种“网状”的知识构建，极大地提升了我的学习效率，因为我不再需要为每一个定理单独建立记忆锚点，而是记住了整个知识体系的运行规律。这种宏观的视野，对于理解线性代数在多学科交叉应用中的普适性至关重要。

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这本书的讲解方式简直是为我这种数学基础薄弱的“小白”量身定做的。我之前对矩阵运算和特征值这些概念总是云里雾里，看了好几遍教科书还是没个谱。但是这本书的作者，他不是简单地堆砌公式和定理，而是真的花了很多心思去构建直观的几何图像。比如，讲到向量空间的基和维度时，他会用非常形象的例子来阐述，让我一下子就明白了抽象概念背后的实际意义。尤其赞赏的是，书里对那些看似枯燥的证明过程，都拆解得非常细致，每一步的逻辑推导都清晰可见，让人感觉不是在啃硬骨头，而是在跟着一位耐心的老师一步步解开谜题。读起来的节奏感也非常好，不会让人感到压力过大，总是能保持一种积极探索的心态。这本教材的排版和插图质量也相当高，很多关键的图示不仅美观，而且信息量巨大，是理解复杂概念的绝佳辅助工具。可以说，它真正做到了把“抽象”的线性代数，变得“触手可及”。

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坦白说，我更倾向于那些带有深厚学术底蕴的经典著作，但这本书的实用主义色彩非常浓厚，却依然保持了数学的严谨性，这一点让我感到惊喜。它的叙述语言非常精炼，每一个句子都好像经过反复推敲，去掉了所有不必要的赘述。这种风格对于已经有一定基础，想追求更高理解深度的读者来说，简直是福音。它没有过多地使用过于生活化的比喻，而是直接深入到数学语言的内核，去探讨线性变换背后的真正含义。我特别喜欢其中关于“内积空间”和“正交性”的讨论，作者用非常简洁的笔法勾勒出了这些概念在数据分析和信号处理中的深层应用背景，让我对这门学科的“力量感”有了全新的认识。它不像一本简单的入门读物，更像是一本能帮你建立稳固理论框架的进阶手册。

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我是一名准备考研的学生，对参考书的选择非常挑剔，因为时间有限，必须选那种效率最高的。这本书给我的最大感受就是“直击要害，不拖泥带水”。它不像有些教材那样，恨不得把所有已知的知识点都塞进去，搞得头重脚轻。这本书的重点非常突出，它紧密围绕着考点和高频难点进行深入剖析，每一个章节的难度递进都设计得非常巧妙。比如在讲解行列式计算的技巧时，它罗列了近十种不同的解题思路，并且对每种思路适用的场景做了精准标注。这种“考试导向”的编排，极大地节省了我的复习时间。而且，书后面的习题设计也很有水平，难度层次分明，从基础巩固到拔高提升一应俱全，每一套题都像是为你量身定制的挑战。我用它配合其他资料一起刷题，感觉对知识点的掌握程度提升速度是几何级的。

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作为一名业余爱好者，我购买这本书纯粹是出于兴趣驱动，我不需要应付考试，只求理解得透彻。因此，我最看重的是阅读体验和启发性。这本书在“为什么”上面做得非常出色。它不只是告诉你“怎么做”，更重要的是阐述了“为什么要这么做”。比如，在介绍高斯消元法时，它没有停留在机械的行变换上，而是追溯到求解线性方程组的本质需求，这让整个算法的推导过程充满了合理的必然性。阅读过程中，我感觉自己不是在被动接受知识，而是在主动参与一场数学探索之旅。书中的章节过渡非常自然，读起来有一种酣畅淋漓的流畅感，每一个新的章节都像是对前一章节的自然延伸和深化，让人爱不释手，读完后意犹未尽，对数学之美有了更深的体悟。

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