子流形几何 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:科学出版社

作者:纪永强

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2004-2

价格:20.00元

装帧:

isbn号码:9787030123275

丛书系列:

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• 纯数学
• 数学
• 2010
• 微分几何
• 子流形
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• 几何学
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• 流形
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• 高等数学
• 几何分析

好的，这里是为您构思的，不包含“子流形几何”内容的图书简介。 --- 书籍名称：空间拓扑与微分结构 副标题：从欧几里得到高维流形的基础探索 书籍简介： 本书旨在为读者提供一个深入而全面的视角，探讨现代微分几何与拓扑学的核心概念与基础理论。我们摒弃了对特定子流形几何的详细讨论，而是将焦点集中于构建理解现代几何学所需的基础框架——从抽象空间的概念，到如何精确描述这些空间上的光滑结构。全书分为四个核心部分，层层递进，力求严谨而清晰。 第一部分：拓扑空间的基础理论 本部分是全书的基石，旨在建立读者对“空间”这一概念的抽象理解。我们从集合论出发，系统地引入拓扑空间的定义及其基本性质。 核心内容概述： 1. 开集、闭集与邻域系统： 详细阐述了拓扑结构是如何通过定义开集家族来确立的。我们将探讨不同拓扑的构造方法，例如子空间拓扑、商拓扑、积拓扑，并分析它们在构造复杂空间时的重要性。 2. 连续性与同胚： 拓扑学关注的是保持邻近关系的映射。我们用严格的语言定义了连续函数，并深入分析了同胚——拓扑空间的等价性标准。通过大量的实例，读者将理解为什么两个拓扑空间在拓扑学意义上是“相同”的。 3. 分离公理与紧致性： 讨论了从 $T_1$ 公理到豪斯多夫（Hausdorff）空间的重要性。豪斯多夫性质是后续研究光滑结构的关键先决条件。随后，我们将深入研究紧致性这一至关重要的拓扑不变量，探讨其在实数线上的表现及其在更一般空间中的推广，例如亚瑟斯紧致性定理（Arzelà–Ascoli Theorem 的拓扑前身）。 4. 连通性与路径连通性： 区分了拓扑连通性和路径连通性。我们将展示如何利用路径来研究空间的结构，并引入基本群（Fundamental Group）的概念，作为衡量空间中“洞”的代数不变量的开端。 第二部分：度量空间与完备性 在第一部分建立了抽象的拓扑框架后，本部分将引入“距离”的概念，从而过渡到更具几何直觉的度量空间。 核心内容概述： 1. 度量空间的构造与性质： 详细定义了度量（Metric）的概念，并探讨了度量诱导拓扑的性质。我们将分析各种常见的度量，如欧几里得度量、曼哈顿度量和无穷范数度量，以及它们在函数空间中的应用。 2. 收敛性与完备性： 深入探讨了序列在度量空间中的收敛性。完备性（Completeness）被视为一个空间足够“良好”的标志。我们将定义柯西序列，并详细论证巴拿赫不动点定理（Banach Fixed-Point Theorem）在度量空间理论中的核心地位，及其在求解微分方程初值问题中的实际意义。 3. 等距变换与有界性： 讨论了保持距离的映射——等距变换（Isometry）。最后，引入了有界性的概念，并探讨了完备性、可分性和紧致性之间的相互关系。 第三部分：流形概念的引入与光滑结构 本部分是全书的枢纽，它将前两部分的拓扑与度量概念提升至光滑结构的研究层面，为理解微分几何做好准备。 核心内容概述： 1. 拓扑流形定义： 严格定义了拓扑流形：一个豪斯多夫、可数局部紧致且具有可数邻域基的空间，并允许局部坐标系的存在。我们将通过大量的例子，如球面、环面、射影空间等，阐明流形的拓扑本质。 2. 从拓扑到光滑： 引入坐标图册（Atlas）和转移映射（Transition Map）的概念。本书将重点阐述如何通过要求转移映射是光滑的，从而赋予拓扑流形一个光滑结构，使其成为光滑流形。 3. 光滑函数的概念： 在光滑流形上，我们必须重新定义“光滑性”。我们将展示在图册的框架下，如何局部地定义和计算光滑函数，以及这些局部定义如何通过转移映射实现全局一致性。 4. 向量场与切空间的基础： 在光滑流形上，我们开始讨论局部的线性化结构。本节将概述切空间（Tangent Space）的直观来源，即对光滑函数在流形上方向导数的限制。尽管本书不深入张量代数，但会清晰地构建出切空间的向量空间结构。 第四部分：向量丛与张量场（初步） 作为对流形结构研究的进一步拓展，本部分探讨了在流形上“附加”线性空间的概念，为更高阶的几何研究铺平道路。 核心内容概述： 1. 向量丛的直观理解： 我们将向量丛视为一种将向量空间“绑定”到流形每个点上的方式。通过切丛（Tangent Bundle）这一最核心的例子，读者可以理解向量丛的构造原理。 2. 截面（Sections）的概念： 解释了向量丛的截面如何对应于流形上的光滑对象，例如向量场。我们将重点阐述向量场作为切丛的截面，是研究流形上动态系统的基础。 3. 张量的初步接触： 在不依赖于复杂的张量运算的前提下，本章将通过切空间和余切空间的张量积，初步引入张量场的概念，将其定位为比向量场更具普适性的几何对象。 本书的特点： 本书的叙事路径是逻辑驱动的，从最基础的拓扑概念开始，逐步引入距离、完备性，最终搭建起光滑流形的框架。本书刻意避开了关于子流形（Submanifolds）的嵌入理论、测度论在流形上的应用，以及黎曼几何中关于曲率的具体计算。它专注于“流形本身”的构造性理论，确保读者在进入更专业的几何分支前，拥有坚实的拓扑和微分结构基础。 读者对象： 本书适合于数学、物理学或工程学中需要扎实掌握几何基础的本科高年级学生、研究生，以及希望系统回顾拓扑学和流形基础理论的科研人员。对集合论和基础分析有一定了解的读者将获益匪浅。

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这本名为《子流形几何》的书，对于一个初次接触这个领域的读者来说，无疑是一次既充满挑战又引人入胜的智力探险。我拿到这本书时，首先被它严谨的排版和清晰的结构所吸引。它从最基础的拓扑空间和微分流形概念入手，像一位耐心的向导，一步步引导我进入这个抽象而迷人的世界。作者似乎深谙教学之道，总能在关键的定义和定理之间，穿插一些精妙的直观解释和几何图像，这极大地帮助我构建起对高维空间内在结构的初步认识。 尤其是关于黎曼几何的引入部分，简直是教科书级别的典范。作者没有急于抛出复杂的张量分析，而是先从欧几里得空间中的曲线和曲面开始，巧妙地过渡到流形上的内积和测地线概念。我特别欣赏作者在讲解“曲率”这一核心概念时所采取的渐进式策略，从高斯曲率到里奇曲率，再到斯卡拉曲率，每一步都建立在前一个概念的扎实基础上，使得原本晦涩难懂的微分几何概念变得有迹可循。读到关于“测地线的变分原理”时，我仿佛看到了物理学家处理最小作用量问题的影子，这让纯粹的数学理论瞬间拥有了物理世界的对应感，极大地激发了我的学习热情。

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这本书的配图和排版处理无疑是其一大亮点。在如此高度抽象的数学领域，清晰的图示是至关重要的“拐杖”。虽然书中的大部分内容是纯理论推导，但每当出现需要可视化理解的概念时，作者都会提供高质量的示意图。这些图示往往能精准地捕捉到流形结构的关键特征，比如曲率的局部行为，或者不同联络之间的差异。这些图不仅是装饰，更是辅助理解的有力工具，它们帮助我的大脑将抽象的符号运算与具体的几何形态建立了联系。 我特别喜欢它在附录中加入的那些关于基本概念的复习材料。这些复习部分内容精炼，抓住了前置知识的关键点，使得读者在进入下一高难度章节之前，能够迅速地激活必要的“工具箱”。这显示了作者对读者学习路径的深思熟虑。这种设计使得这本书既可以作为系统学习的教材，也可以作为资深研究者在特定领域快速回顾和查阅的参考书。它提供了一个非常坚实的知识框架，让读者在面对那些需要跨领域知识才能完全理解的定理时，不会感到束手无策。

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我对这本书的评价可以概括为：结构严谨，但阅读体验略显冷峻。作者的叙事风格极其冷静和客观，几乎没有多余的文学修饰，完全是一种纯粹的数学语言在构建理论大厦。这对于追求精确性的专业人士来说是优点，但对于我这样偶尔会感到迷失在抽象符号中的人来说，缺乏一些必要的“人文关怀”。例如，在介绍复杂的流形上的积分或微分算子时，如果能增加一些历史背景的介绍，或者引用一些具体的、易于想象的例子来锚定这些抽象操作，我想会更有助于读者在概念的海洋中不至于完全迷失方向。 特别是在讨论“规范场论在曲面上实现”的部分，理论模型建立得非常完美，但缺乏对这些模型在物理学中具体应用场景的更直观描述。我理解，这是一本数学著作，但数学的魅力往往源于其对现实世界的深刻洞察和建模能力。如果作者能用更具画面感的方式来阐述，例如，描述一个弯曲空间中电磁场的行为，而不是仅仅停留在数学形式的推导上，这本书的吸引力范围或许能扩大一些，让那些对理论物理有兴趣的读者也能从中汲取养分。它的价值毋庸置疑，只是在“可读性”的维度上，略显高冷。

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从整体的知识广度来看，《子流形几何》展现了作者非凡的视野和整合能力。它不仅仅局限于光滑流形上的经典微分几何，更巧妙地将诸如辛结构、普拉克结构（Plactic Structure）甚至更偏向拓扑学的概念融入进来，构建了一个宏大而统一的几何框架。这本书的野心可见一斑，它试图在传统微分几何的疆界上开辟新的视野。然而，这种广度也带来了一个小小的副作用——在某些非常前沿或小众的分支上，论述显得略微简略。 例如，在涉及某些特定流形分类的最新进展时，作者倾向于引用最新的文献而不是提供深入的、自包含的讨论。这使得这本书更像是一份对整个学科版图的权威导航图，而非对每一片土地的详尽考察报告。对于希望全面掌握某一特定子领域的读者来说，他们可能需要在这本书的指引下，再去翻阅那些更具针对性的专业文献。总而言之，它是一部优秀的综述性著作，为读者描绘了子流形几何领域的全貌，但某些角落的细节仍需读者自行去挖掘和填充。

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坦白说，这本书的深度远超我的预期，它绝非一本泛泛而谈的入门读物，而更像是一本面向严肃研究者的参考手册，内容扎实到令人敬畏。当我翻到关于“特殊流形上的拓扑不变量”那一章时，那种扑面而来的信息密度差点让我气馁。作者娴琅地运用了纤维丛、联络理论以及德拉姆上同调等高级工具，来阐述辛几何和卡拉比-丘流形（Calabi-Yau manifolds）的深刻联系。对于不熟悉陈-西蒙斯理论的读者来说，理解这部分内容无疑需要极大的耐心和反复的推敲，但一旦领悟其中精髓，那种豁然开朗的感觉是无与伦比的。这本书的伟大之处在于，它敢于直接呈现数学世界最前沿的复杂性，而非将其“稀释”以迎合初学者。 书中穿插的那些定理的证明过程，尤其那些经典的、依赖于精巧构造的证明，展现了作者深厚的数学功底和清晰的逻辑线条。比如对霍奇分解定理的详尽论述，它不仅仅是列出公式，而是追溯了其背后的代数拓扑思想根源。对于希望深入理解代数几何与微分几何交叉领域的读者而言，这本书提供了一个极佳的、高清晰度的“蓝图”，尽管这个蓝图需要我们投入大量的时间去仔细描摹和理解每一个细节。我感觉自己像是在攀登一座数学高峰，虽然每一步都步履维艰，但顶峰的景色必然壮阔。

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