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出版者:人民教育出版社

作者:胡永建 编

出品人:

页数:297

译者:

出版时间:2003-1

价格:13.90元

装帧:平装

isbn号码:9787107169830

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 数学
• 高等教育
• 数学概论
• 集合论
• 代数
• 几何
• 分析
• 拓扑
• 逻辑
• 抽象数学

好的，这是一份为一本名为《现代数学概论》的图书撰写的、内容详实的图书简介，旨在不提及原书内容，并以自然、专业的口吻呈现。 --- 图书名称：《现代数学概论》 导言：数学之维，思维之镜 在人类知识体系的广袤疆域中，数学无疑是最为基础而又最富于创造性的学科之一。它不仅仅是关于数字、公式和计算的工具集，更是我们理解世界运行规律、探索抽象概念边界的通用语言。然而，对于许多学习者而言，数学的演进过程往往显得支离破碎，各个分支独立存在，缺乏宏观的联系感。 本书《现代数学概论》旨在弥补这一缺憾。它并非旨在提供某一个细分领域的深度钻研报告，而是力求为读者构建一个清晰、连贯的现代数学全景图。我们深信，只有洞悉了这些基石性分支如何相互支撑、共同演化，才能真正掌握现代科学与工程的驱动力。 本书的编撰目标是清晰界定当前数学研究的边界，梳理其核心概念的起源与发展脉络，并着重展示这些理论在当代科技进步中所扮演的关键角色。我们致力于将那些曾经被视为晦涩难懂的抽象结构，转化为可以被清晰把握的逻辑框架。 第一部分：逻辑的基石与集合的宇宙 任何坚实的建筑都需要稳固的地基，现代数学的根基便在于其严谨的逻辑体系与集合论的宏大框架。 1. 形式逻辑的重建 数学的严密性源于其对推理规则的精确定义。本部分将深入探讨数理逻辑的基本元素，包括命题演算与谓词演算。我们将分析证明的结构，区分演绎推理与归纳推理的有效性范围。特别地，我们会审视哥德尔不完备性定理的深远意义，它不仅是对数学自身的审视，更是对所有形式化系统的局限性做出的深刻洞察。理解这些基础逻辑工具，是进行任何高级数学探索的前提。 2. 集合论：万物之源 集合论是现代数学的“元语言”。本章将从朴素集合论的直观概念出发，逐步过渡到策梅洛-弗兰克尔集合论（ZF）及其选择公理（ZFC）的公理化系统。我们不仅会阐述集合运算、关系的定义，更会探讨无穷的层次结构——基数与序数的概念。理解不同“大小”的无穷集合，例如自然数集与实数集之间的区别，是进入更深层抽象世界的关键一步。 第二部分：结构的抽象与代数的升华 在逻辑基础之上，数学开始转向对“结构”本身的考察。代数学是研究这些结构——如群、环、域——的学科，它揭示了对称性与运算规则背后的普遍规律。 1. 抽象代数的宏观视野 本部分将系统介绍群论的魅力。从群的定义、子群、同态映射到商群的构造，我们将展示如何利用这些工具来分析对称性问题，例如晶体结构或多项式的根的置换群。随后，我们将拓展到环和域的范畴，考察它们在数论和代数几何中的应用潜力。重点在于理解这些结构如何将看似不相关的数学对象置于一个统一的框架之下。 2. 线性空间的普适性 线性代数无疑是应用数学的支柱。本书将超越二维和三维空间的直观理解，深入探讨有限维与无限维向量空间的概念。我们将详述线性变换、特征值与特征向量的意义，并阐述其在张量分析、微分方程求解中的核心地位。矩阵理论将被视为描述线性映射的工具，而非孤立的运算规则。 第三部分：空间的描绘与拓扑的延展 如果说代数是关于结构的操作，那么几何学则是关于空间和形状的语言。现代数学对空间的理解已经远远超越了欧几里得的范畴。 1. 拓扑学：不变性的科学 拓扑学研究的是在连续形变（拉伸、弯曲，但不撕裂、不粘合）下保持不变的性质。本章将介绍拓扑空间的严格定义，涵盖开集、闭集、紧致性和连通性的概念。我们会探讨度量空间作为拓扑空间的一种特殊形式，并引入同胚的概念，从而能够从根本上区分不同“类型”的空间，例如球面与甜甜圈的本质区别。 2. 现代几何的视界 我们将概述微分几何的初步概念，即如何利用微积分的工具来研究光滑流形。流形的视角使得我们可以局部地应用欧几里得几何的直觉，从而研究如黎曼几何这样描述弯曲时空的基础理论。这种从局部到整体的思维方式，是连接抽象代数与经典几何的桥梁。 第四部分：变化与极限的精微操控 微积分的严谨化与泛化构成了现代分析学的核心。这部分将探讨如何精确地处理无穷小量、变化率和无穷序列的收敛问题。 1. 实分析的精确性 我们将从 $epsilon-delta$ 语言出发，重新审视极限、连续性、导数和积分的概念。本书将专注于序列与函数的收敛性、完备性（如实数系统的完备性）以及勒贝格积分理论的引入。勒贝格积分相较于黎曼积分的优越性，在于其对函数类处理的广度和对收敛性的更强保障。 2. 泛函分析的无界领域 当我们将线性代数和分析学的思想结合起来时，便进入了泛函分析的领域。本章将探讨无限维向量空间（函数空间）上的结构，如巴拿赫空间和希尔伯特空间。这些理论是量子力学、偏微分方程数值解等现代物理和工程问题的数学骨架。 结语：理论的交汇与未来的方向 《现代数学概论》的终极目标，是向读者展示这些看似分离的领域——逻辑、集合、代数、拓扑、分析——是如何在现代数学研究中形成一个有机整体的。从数论中发现的群论性质，到拓扑学对微分方程解集的研究，理论间的渗透与融合是当代数学最引人注目的特征。 本书结构严谨，概念清晰，旨在为希望从基础层面系统理解当代数学全貌的理工科学生、研究人员以及有志于数学深造的自学者，提供一座坚实而全面的知识阶梯。通过对这些核心概念的掌握，读者将能够更有效地驾驭和理解数学在人工智能、数据科学、理论物理等前沿领域中的应用。 ---

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说实话，这本书的阅读体验充满了挑战性，但这种挑战恰恰是其价值所在。它拒绝迎合那些追求“速成”的浮躁心态，而是要求读者投入足够的时间和心智进行深度思考。我常常需要反复阅读某一段落三四遍，甚至需要合上书本，在脑海中进行反刍和重构，才能真正将那些精妙的证明过程在脑海中“跑通”。这本书的难度曲线是陡峭的，某些章节的论证跳跃性较大，对于没有扎实基础的读者来说，可能会感到吃力。然而，正是这种“硬核”的品质，让它在众多浅尝辄止的读物中脱颖而出。它迫使你走出舒适区，激活那些沉睡已久的逻辑思维能力。当我终于攻克一个棘手的证明时，那种智力上的满足感，是任何肤浅的阅读快感都无法比拟的，它带来的是一种持续性的、内在的自我提升感。

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这本书的装帧设计简直是一场视觉盛宴，厚重的封面泛着低调的奢华感，触感温润如玉，让人爱不释手。拿到书的那一刻，我就被它散发出的知识的厚重感所吸引。内页纸张的质地也极其考究，虽然承载了大量的数学符号和复杂公式，但排版却异常清晰，留白恰到好处，使得长时间阅读也不会感到眼睛疲劳。我特别欣赏作者在字体选择上的用心，既有学术的严谨，又不失阅读的舒适度。这种对手工和细节的极致追求，让一本严肃的数学著作焕发出一种近乎艺术品的质感。翻阅时，那种知识与美学完美融合的体验，真的非常享受，让人忍不住想把它陈列在家中最显眼的位置，时刻都能感受到它带来的精神滋养。它不仅仅是一本书，更像是一件精心雕琢的工艺品，体现了出版方对知识载体的尊重与敬意。

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这本书的配套资源和辅助材料堪称业界良心，这一点必须大力点赞。我注意到作者在书中多次提及一些相关的历史背景和最新的研究进展，并且在页脚或附录中，给出了精确的引用来源和推荐的进阶阅读清单。这些延伸信息，为我这个渴望深入探索的读者提供了清晰的路线图。我按照推荐去查阅了几篇外文文献，发现书中的某些论述深度远超一般教材，直逼专业期刊的水平，但作者却用最平实的语言将这些前沿观点传达了出来，这种平衡拿捏得极其到位。特别是关于某个特定领域的历史争议，作者的处理方式非常客观公正，没有偏袒任何一方，而是将不同的学术观点并置，让读者自己去权衡和思考，体现了极高的学术操守和引导能力。这种全方位的支持，让学习过程不再是单向的接收，而成为了一个主动的探索之旅。

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这本书的跨学科影响力，是我最初未曾预料到的惊喜。我原本以为这仅仅是数学专业人士的案头书，但最近在与计算机科学领域的朋友交流时，发现他们对书中的某些结构理论和抽象模型表现出极大的兴趣。书中的某些章节，例如关于拓扑空间在复杂系统建模中的应用，对于理解算法效率和数据结构的优化提供了全新的视角。这让我深刻体会到，真正的数学理论是具有普适性和穿透力的，它跨越了学科的藩篱。我甚至将其中一个关于集合论的图示展示给了学习哲学的同事，引发了他们对“无限”和“完备性”的深刻讨论。这种能够成为不同领域思维碰撞焦点的能力，证明了作者所构建的理论框架是多么的坚固和富有弹性。它真正做到了对数学核心思想的精炼与概括，使其能够对更广阔的知识领域产生辐射效应。

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我花了整整一个周末来消化第一章的内容，感觉就像攀登一座知识的珠穆朗玛峰，过程是艰辛的，但每一步的向上都带来了视野的开阔。作者的叙事逻辑简直是教科书级别的范本，他没有急于抛出那些令人望而生畏的定理，而是像一位技艺高超的园丁，循序渐进地铺陈基础概念的土壤。我尤其佩服作者构建知识体系的宏大视野，他总能巧妙地将看似孤立的数学分支，用一条看不见的金线串联起来，揭示出深层次的统一性。比如，他对某个抽象概念的引入，不是生硬的定义灌输，而是通过一个贴合日常生活的生动比喻，让我瞬间“开悟”。这种教学方法，极大地降低了初学者的入门门槛，同时也为资深研究者提供了重新审视基础的独特视角。读完这一部分，我甚至开始重新审视我过去对数学的刻板印象，它不再是冰冷的符号堆砌，而是一门充满生命力和内在逻辑的动态艺术。

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