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出版者:高等教育出版社

作者:

出品人:

页数:195 页

译者:

出版时间:2003年01月

价格:14.10

装帧:平装

isbn号码:9787040114218

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• 大学数学
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• 数学分析
• 微积分
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• 函数

《高等代数基础：从线性空间到矩阵分析》 内容提要 本书旨在为读者提供一个全面且深入的高等代数知识体系，重点聚焦于线性代数的核心概念及其在现代数学和科学中的应用。全书结构严谨，逻辑清晰，从最基础的集合与映射概念出发，逐步构建起线性空间、线性变换、矩阵理论以及二次型理论的完整框架。本书特别注重理论的严谨性与几何直观的结合，辅以丰富的实例和习题，旨在培养读者扎实的代数思维和解决复杂问题的能力。 第一部分：基础代数结构与向量空间 第一章：集合、映射与数域 本章首先回顾了集合论的基本概念，包括集合的定义、子集、笛卡尔积以及函数（映射）的性质，如单射、满射和双射。这是后续所有代数结构建立的语言基础。随后，我们引入数域的概念，重点讨论实数域 $mathbb{R}$ 和复数域 $mathbb{C}$，阐述数域作为系数集对于线性代数理论的重要性。讨论了域上的基本代数运算及其性质。 第二章：线性空间的建立 本章是全书的基石。我们正式引入线性空间（或称向量空间）的概念，明确其公理化定义，包括向量的加法和数乘运算所必须满足的八条性质。通过大量实例，展示不同类型的线性空间，例如： 函数空间： 连续函数空间 $C[a, b]$。 多项式空间： $P_n(x)$，讨论其维度和基的选择。 坐标向量空间： $mathbb{R}^n$ 上的标准基与一般基的转换。 重点讨论了线性空间的子空间的概念，子空间的交与和，以及直和的判定条件。 第三章：线性组合、基与维数 本章深入探讨了线性空间中描述元素的方式。定义了线性组合、线性相关和线性无关的概念，并给出了判定线性相关性的充要条件（如使用行列式或秩的概念，虽然行列式将在后续详细介绍）。 基（Basis）作为线性空间的“骨架”，本章详细阐述了基的定义、性质以及在有限维空间中任何一组基都具有相同数量元素的事实，从而引出维数（Dimension）的概念。讨论了如何构造基（如Steinitz定理的应用），以及向量在不同基之间的坐标变换公式。 第二部分：线性变换与矩阵理论 第四章：线性变换与线性函数 本章将研究作用于线性空间之间的映射，即线性变换（或称线性算子）。定义了线性变换的性质，如核（Kernel）与像（Image）空间。 核空间（Null Space）： 描述了变换的“零化”作用，是线性方程组齐次解集的集合。 像空间（Range/Image Space）： 描述了变换能达到的所有结果。 根据秩-零化度定理（Dimension Theorem），建立了 $dim( ext{Ker}(T)) + dim( ext{Im}(T)) = dim(V)$ 的核心关系。本章还讨论了同构的概念，以及可逆线性变换的条件。 第五章：矩阵的运算与线性变换的表示 本章是连接抽象理论与具体计算的桥梁。讨论了矩阵作为线性变换在特定基下的表示。 矩阵乘法： 详细阐述了矩阵乘法的几何意义——线性变换的复合。 基变换与相似性： 详细推导了当基发生变化时，同一线性变换对应的矩阵如何通过相似变换进行转换，引入了相似矩阵的概念，这是后续讨论特征值的基础。 分块矩阵： 讨论分块矩阵的运算及其在理论分析中的应用。 第六章：行列式理论 本章系统地介绍了行列式的概念和计算方法。 定义： 从二阶、三阶行列式出发，最终给出置换群意义下的代数定义，并讨论其性质（如行/列互换、倍加操作对行列式值的影响）。 性质与计算： 重点介绍拉普拉斯展开式，以及利用初等行/列变换（不改变或仅改变符号的变换）来简化行列式的计算。 行列式与矩阵性质： 证明了 $det(AB) = det(A)det(B)$，并阐述了行列式与矩阵可逆性（即秩）之间的关系。克拉默法则作为线性方程组求解的一个补充工具在本章末尾给出。 第七章：线性方程组的解法 本章应用前述的线性空间理论和行列式理论，系统解决线性方程组（包括非齐次和齐次系统）。 增广矩阵与初等行变换： 介绍高斯消元法（Gaussian Elimination）和行阶梯形矩阵。 相容性与解的结构： 利用矩阵的秩来判断方程组解的存在性和唯一性，并描述了通解的结构：通解 = 导出子空间的解（特解）+ 齐次方程组的通解（通解集）。 第三部分：特征值、特征向量与对角化 第八章：特征值与特征向量 本章是理解线性变换本质的关键。定义了特征值（Eigenvalue）和特征向量（Eigenvector），它们描述了线性变换下方向不改变的向量。 特征多项式： 通过求解 $det(A - lambda I) = 0$ 来寻找特征值。 特征子空间： 对应于每个特征值的特征向量构成的子空间。 代数重数与几何重数： 讨论了特征值重数间的关系，以及它们与矩阵可对角化性的联系。 第九章：矩阵的对角化 本章讨论何时可以将一个矩阵转化为最简单的对角形式，这对于简化计算和分析动力系统至关重要。 相似对角化： 阐述了矩阵可对角化的充要条件——存在一组基由特征向量构成。 实对称矩阵的谱定理（Schur/Spectral Theorem）： 重点讨论实对称矩阵的特殊性质，即总可以正交对角化，并且其特征值均为实数。 第十章：线性空间的内积与正交性 本章引入度量结构，将线性空间提升到欧几里得空间或内积空间。 内积的定义与性质： 引入内积（如标准内积），并由此定义向量的长度（范数）和角度（正交性）。 正交基与施密特正交化： 讨论如何利用施密特（Gram-Schmidt）过程，从任意基构造一组正交基或标准正交基。正交基在坐标表示上具有极大的简化优势。 正交投影： 讨论向量在子空间上的正交投影，这是最小二乘法等问题的理论基础。 第四部分：二次型与张量 第十一章：二次型与对称矩阵 本章关注平方项的表达式，即二次型。 二次型的矩阵表示： 将二次型 $Q(mathbf{x}) = sum a_{ij} x_i x_j$ 表示为 $mathbf{x}^T A mathbf{x}$ 的形式，其中 $A$ 是一个对称矩阵。 合同变换： 讨论坐标变换对二次型表示矩阵的影响，引入合同关系。 主轴定理（基于谱定理的推导）： 利用对称矩阵的正交对角化，证明任何二次型都可以通过一个正交变换转化为标准形 $lambda_1 y_1^2 + lambda_2 y_2^2 + dots$。 正定性判据： 讨论二次型的正定、半正定等性质，并介绍利用顺序主子式（Sylvester准则）和特征值来判别正定性的方法。 第十二章：广义特征值问题与张量初步（选读/进阶） 本章简要介绍超越标准特征值问题的概念，如广义特征值问题 $Amathbf{x} = lambda Bmathbf{x}$，其在振动分析中的应用。最后，对更高阶的代数结构——张量——进行初步介绍，展示其作为矩阵的推广，在物理学和数据科学中的基础地位。 全书特点： 1. 理论与计算并重： 既有严格的公理化证明，又配备了大量计算性的例题和方法（如高斯消元、特征值计算）。 2. 几何直观引导： 始终强调向量、子空间、变换的几何意义，帮助读者理解抽象概念。 3. 应用衔接： 为后续的微分方程、泛函分析、线性规划等高级课程打下坚实的代数基础。 本书适合于数学、物理、工程学、计算机科学等专业本科生作为高等代数或线性代数课程的教材使用。

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我必须强调一下这本书的习题设计，这简直是我见过最“毒辣”也最“治病”的一套习题集。很多教材的习题无非是简单重复课本例题的变式，做完了也只是提高了机械运算的速度，对思维的提升作用不大。但这本《大学数学2》的习题，绝对是经过精心设计的“思想陷阱”和“能力挑战”。它会刻意设置一些看起来很像，但解题思路却截然不同的题目。比如，在考察积分的换元法时，它会给出一些表面上看起来适合用第一类换元，但如果强行使用就会把问题复杂化的题目，让你必须停下来思考，哪些换元才是最“自然”的，哪些又是“画蛇添足”的。这种通过“反例”来引导学生建立更深层次认知的教学方法，效果是惊人的。我做完一部分习题后，感觉自己不再是单纯地套用公式，而是开始真正地“驾驭”这些数学工具。而且，这本书的课后配套的“思考题”部分，简直是为那些想冲击更高层次数学学习的学生准备的宝藏。它们往往需要综合运用好几个章节的知识点，挑战性极高，但一旦解出来，那种成就感是无与伦比的，它真正拓宽了我的数学视野。

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这本书的编排逻辑，简直是为“工程应用”而生的！我之所以这么说，是因为我本人是学理工科的，我们对数学的要求不仅仅是理论上的完美，更重要的是能否解决实际工程中的具体问题。在学习这本书的过程中，我发现它在理论阐述和实际应用之间找到了一个近乎完美的平衡点。举个例子，在讲解泰勒级数展开的时候，一般的书可能就停留在“展开式”和“余项估计”上，但这本《大学数学2》竟然用了一个相当详细的案例，解释了为什么在某些数值计算中，只取前几项展开就能达到非常高的精度，并且还对比了不同阶数近似误差的差异。这种“知其所以然”的讲解方式，让原本抽象的级数展开变得无比实用和立体。此外，对于多元函数的偏导数和梯度，这本书的处理也是相当到位。它没有让读者沉溺于复杂的公式运算，而是通过一个“山地徒步”的比喻，生动地解释了梯度的方向就是函数值增长最快的方向，这极大地帮助我理解了梯度下降算法的底层逻辑。可以说，这本书的每一部分，都带着一种强烈的“学以致用”的导向，这对于我们这些需要在未来工作中应用数学工具的学生来说，是莫大的福音。

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这本《大学数学2》的出现，简直是数学学习路上的“及时雨”啊！我得说，我拿到这本书的时候，其实对后续的微积分学习是有点忐忑的。我大学数学一的基础说实话，也就是个“半桶水”，很多基础概念模棱两可。翻开这本书，首先映入眼帘的是那种极其清晰的逻辑框架。它没有一开始就抛出那些令人头晕的定义和定理，而是先用非常贴近实际生活的例子，把我们要研究的那个“变化率”和“累积”的概念讲得透彻。比如说，它讲解导数的几何意义时，不是简单地画出切线，而是通过一个汽车加速的过程，让你直观感受到那个瞬时速度是如何被“逼近”出来的。这种教学方式，简直是为我这种需要建立直观理解才能深入理解抽象概念的学生量身定做的。更让我惊喜的是，它对“极限”这个核心概念的处理，简直是教科书级别的严谨又不失温度。它没有急于求成地展示$epsilon-delta$语言的威力，而是先用数列和函数逼近的方式，让读者慢慢适应那种“无限接近”的感觉。书中的例题设计也十分巧妙，从易到难，层层递进，每完成一章的练习，都会有一种“原来如此”的豁然开朗感。尤其是那些稍微复杂点的应用题，它提供的解题步骤是如此详尽，每一步的依据都标注得清清楚楚，这对于我这种容易在复杂计算中迷失方向的人来说，无疑是巨大的帮助。这本书真正做到了，把复杂的数学思想“翻译”成我们可以理解的语言。

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说实话，市面上很多高等数学教材，内容堆砌得像座“知识的迷宫”，读起来枯燥乏味，让人望而却步。但是这本《大学数学2》给我的感觉完全不同，它更像是一位经验丰富的老教授，坐在你身边，耐心而又带着点幽默感地引导你探索数学的奥秘。我特别欣赏它在章节过渡和知识点串联上的处理。很多书在讲完微分，突然跳到积分，中间的衔接就好像是“凭空消失”了一样。这本书里，它用“微积分基本定理”这条主线，把微分和积分这两个看似平行的概念，用一种极其优雅的方式紧密地联系起来，让你清晰地看到它们之间那种对立统一的关系。阅读体验上，这本书的排版也极大地提升了学习的愉悦感。字体大小适中，图示清晰立体，那些复杂的函数图像，不再是黑白模糊的一团，而是色彩分明，关键的拐点和渐近线都被巧妙地标记出来。我记得有一次我为一个定积分的几何意义困惑了很久，翻到书中对应的那一页，作者用了一种三维投影的类比方法，一下子就点亮了我的思路。这种深入的思考和对读者痛点的精准把握，让这本书不仅仅是一本教材，更像是一份贴心的学习伴侣。它教会我的不只是如何解题，更是如何去“思考”数学问题。

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这本书的语言风格可以说是“严谨而不失亲和力”，这在数学教材中其实是很难得的品质。我读过不少教材，要么是过于口语化，导致概念不精确；要么是过于学术化，动辄就是晦涩难懂的专业术语，让人感觉和作者之间隔着一道鸿沟。但《大学数学2》的作者似乎非常懂得如何与初学者沟通。它在定义一个新概念时，总是先给出一个精准的书面定义，紧接着就用一段话进行“白话”解释，告诉你这个定义在数学世界中到底意味着什么，它解决了旧方法中的什么缺陷。例如，在讲解定积分的性质时，作者用了一个非常形象的比喻来解释积分的“可加性”，让我立刻明白了为什么我们可以将一个区间拆分成若干小段进行累加。这种“定义—解释—应用”的结构，形成了一个稳定的学习闭环。另外，书中对一些“陷阱”和“易错点”的提示，处理得非常到位，通常会用一个醒目的方框或不同颜色的字体标注出来，这种细致入微的关怀，让我在自学过程中大大减少了走弯路的时间。这本书让我感觉，学习高等数学并非是一场孤独的战斗，而是有一位高明的“向导”在身边指引，让我能够心无旁骛地专注于理解数学的内在美。

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