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出版者:中国时代经济

作者:滕桂兰等主编

出品人:

页数:453

译者:

出版时间:2004-2

价格:20.00元

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isbn号码:9787800649547

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• 高等数学
• 数学
• 微积分
• 线性代数
• 概率论
• 解析几何
• 函数
• 极限
• 导数
• 积分

好的，以下是一份关于一本假设名为《微积分精要：理论与应用》的图书简介，该书内容与您提到的《高等数学》完全不重叠，且力求内容详实、专业，避免任何技术痕迹： --- 《微积分精要：理论与应用》 导言：跨越直觉的精确之美 在科学、工程乃至现代金融学的版图中，微积分无疑是最为核心的数学工具之一。它不仅仅是求解曲线下面积或瞬时变化率的技巧，更是一种描述和理解动态世界的哲学框架。然而，许多学习者在面对传统的微积分教材时，往往被繁复的计算和僵硬的定义所困扰，未能真正领悟其背后的深刻内涵与无限潜力。 《微积分精要：理论与应用》正是在此背景下诞生的。本书并非对现有主流微积分教科书的重复或替代，而是聚焦于一套更精炼、更强调直观几何意义和严格分析基础的知识体系。我们刻意避开了高等数学课程中可能包含的线性代数（如矩阵运算、特征值）、微分方程的深入求解技巧，以及涉及拓扑学预备知识的细节，将全部篇幅集中于单变量和多变量微积分的核心原理、论证和基础应用。 本书的目标读者是那些渴望建立坚实微积分基础，并希望将所学知识迅速应用于实际问题的学生、工程师和研究人员。我们假设读者已具备扎实的高等代数（基础方程、函数概念）基础，但对高等数学中可能出现的更深层次的理论结构和抽象概念尚不熟悉。 --- 第一部分：极限、连续性与导数的解析基础 本部分奠定了整个微积分体系的分析基石，重点在于严谨的论证过程和对核心概念的精确把握。 第一章：极限的严格构建 我们从对“趋近”这一概念的精确描述入手，详细探讨了 $epsilon-delta$ 语言的哲学意义及其在证明中的实际操作。本章细致区分了单侧极限、双侧极限，以及在无穷大处的极限行为。特别强调了极限在定义连续性中的不可替代性。我们并未深入探讨度量空间中的极限定义，而是将焦点完全锁定在 $mathbb{R}^n$ 空间中的欧几里得范数下的极限。 第二章：连续性与中介值定理 连续性被视为函数在局部保持“不跳跃”的几何直觉的精确数学表达。本章不仅阐述了初等函数的连续性，更深入分析了一致连续性的概念，这是后续积分理论（如黎曼积分的收敛性）成立的关键前提。在此基础上，我们对介值定理、最大值和最小值定理进行了严格的证明，并展示了它们在求解实际优化问题（不涉及多变量优化）中的应用。 第三章：导数——瞬时变化率的精确度量 导数的定义，即极限的差商形式，被置于核心地位。我们详尽分析了微分的几何意义——切线与局部线性近似。本书详细推导了所有基本初等函数的求导法则，包括链式法则的严谨证明。与传统教材可能侧重于复杂复合函数的计算不同，本章着重于导数的应用：利用导数判断函数的单调性、凹凸性，以及利用洛必达法则处理不确定型极限。我们严格限制在求导过程中不引入更复杂的微分几何概念。 --- 第二部分：积分学：累积效应的精确计算 本部分致力于将读者从单纯的计算面积转移到理解积分作为“累积量”的本质，并建立起微分与积分之间的桥梁。 第四章：黎曼积分的构造与性质 积分理论的构建是本部分的难点和重点。我们首先引入了上和与下和的概念，并基于函数的有界性与连续性，给出了黎曼可积的充分必要条件。本章的叙述清晰地展示了为何只有“不太坏”的函数才可积，以及简单不连续点集对可积性的影响。我们仅关注定积分的黎曼和定义，暂不涉及勒贝格积分的理论框架。 第五章：微积分基本定理的威力 这是微积分体系的“灵魂”所在。本书将微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）的两个部分——微积分第一基本定理（变上限积分的导数）和第二基本定理（定积分的求解）——作为独立的定理进行深入探讨和证明。重点在于揭示不定积分与原函数之间的内在联系，以及如何利用不定积分的技巧（换元法、分部积分法）来求解定积分。 第六章：超越有限维度的积分应用 本章将积分工具应用于更广阔的领域。我们详细讨论了定积分在计算平面图形面积、旋转体的体积、曲线上弧长等经典几何问题中的应用。随后，我们将这些概念扩展到物理学中的应用，如计算质心、转动惯量等，但所有应用的推导均严格基于一维或二维的累积求和模型，避免了多重积分（如曲面积分或体积分）的引入。 --- 第三部分：超越有限维度：序列、级数与幂级数 本部分聚焦于如何利用有限项的组合来逼近或精确表示无限复杂的过程或函数，这是现代分析学的基础。 第七章：序列与级数的基础收敛性判定 我们系统地分析了数列的收敛性，并在此基础上深入探讨了无穷级数的收敛问题。本章着重讲解了比值判别法、根值判别法、比较判别法和积分判别法等收敛性判定的核心工具。特别强调了绝对收敛与条件收敛的区别，并探讨了条件收敛级数的重排性质，这些内容对于理解级数在应用中的稳定性至关重要。 第八章：幂级数：函数的局部逼近 幂级数是连接代数、分析与微分方程的桥梁。本章详细定义了幂级数的收敛半径与收敛区间，并展示了如何通过泰勒级数展开来构造常见函数的级数表示。我们严格证明了在收敛区间内，幂级数可以逐项求导和逐项积分的强大性质。本书将泰勒多项式作为核心工具，用于分析函数的局部行为和误差估计，而不会深入到更复杂的傅里叶级数或张量分析的背景中。 --- 总结：超越计算的思维训练 《微积分精要：理论与应用》的设计哲学是“精炼而不失深度，严谨而不失直观”。本书在内容选择上，严格筛选了那些最能体现微积分核心思想的定理、定义和论证，并刻意避免了与《高等数学》中可能包含的线性代数（如向量空间、正交性）、多元函数微积分的复杂梯度、散度、旋度计算，以及微分几何的深入探讨。 通过对极限理论的严格奠基、对积分的精确构建，以及对级数逼近能力的充分挖掘，读者将获得一套独立于其他学科模块的、完整且坚实的微积分知识体系，为未来深入学习任何需要动态分析的领域打下无可动摇的数理基础。 ---

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这本书在“证明”这一环节的处理上，达到了极高的学术水准。很多国内的教材在证明部分往往过于简化，或者直接跳过关键的逻辑链条，美其名曰“读者可自行推导”。然而，这本书却展现出一种对知识体系完整性的尊重。对于每一个重要定理，它都提供了清晰、严谨且完整的证明过程，并且会用不同的颜色或字体来标记出证明中的关键假设和推理步骤。比如在讨论傅里叶级数收敛性时，作者甚至引入了狄利克雷条件作为辅助工具，并对这一条件的物理意义进行了探讨。这种对细节的把握，使得我对数学证明的敬畏感油然而生——原来每一个看似简单的结论背后，都蕴含着如此精密的结构。即便是对于那些复杂的、涉及到拓扑学预备知识的证明，作者也贴心地设置了“预备知识回顾”的模块，防止读者因为某一环的知识断裂而感到挫败。这本教材展现了一种教育者的情怀：确保每一个愿意投入精力的学生，都能真正掌握知识的根基。

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相较于我过去阅读的其他数学书籍，这本书在“可视化”和“直观理解”方面的努力是革命性的。它深刻理解到，人类的认知往往先于逻辑的建构。因此，在讲解诸如梯度、旋度和散度这类三维空间概念时，它大量使用了高质量的、富有动感的示意图。这些图示不仅仅是公式的简单配图，它们本身就是一种语言。例如，它用一系列连续的、略微倾斜的截面图来展示某个二重积分的积分区域是如何被构建起来的，那种动态的构建过程，让我对“切片”和“累加”的思想有了前所未有的清晰认识。我甚至觉得，如果能把书中的一些动态图做成动画，效果会更佳。这种对直观感受的重视，极大地帮助了我建立空间想象力，使得抽象的向量分析不再是漂浮在空中的符号游戏，而是可以被“看见”和“触摸”的物理实在。这本书让我意识到，真正的数学学习，是感性认知与理性思维的完美结合，缺一不可。

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我对这本书的阅读体验，可以形容为一场“逻辑的马拉松”，它要求持久的专注力，但回报是极其丰厚的。这本书的习题设计，可以说是精妙绝伦，它清晰地划分了基础巩固、概念深化和综合应用三大板块。基础题务实可靠，保证了基本技能的熟练掌握；而最精彩的部分在于“综合应用”那些题目，它们往往不再是孤立的计算，而是与物理学中的力学、电磁学，甚至经济学中的优化问题紧密结合。我曾为一个关于‘最佳储料仓形状’的优化问题冥思苦想了三天，最终在书中找到的解析方案，不仅解答了问题，更让我领悟到，微积分的强大之处在于它能够将现实世界中的不确定性转化为精确的数学模型。这种跨学科的融合，让原本冰冷的数字世界变得鲜活和有用。当然，不可否认，有些章节的难度曲线是陡峭的，比如在涉及勒贝格积分概念的拓展部分，我不得不放慢速度，甚至需要结合外部的参考资料才能完全消化其深层含义。这恰恰体现了它的“高等”之处，它不提供廉价的答案，而是为你指明了通往真理的崎岖小径。

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这本书的封面设计，说实话，第一眼吸引我的并不是它厚重的篇幅，而是那种沉静的、近乎古老的蓝灰色调。拿到手里沉甸甸的感觉，立刻让人联想到它所承载的知识的重量。我当时买它，是带着一种近乎朝圣的心情，毕竟在很多人的口中，“高等数学”这四个字本身就自带一种威慑力。然而，当我真正翻开第一章时，那种预期的压迫感奇妙地消散了。作者似乎深谙“引人入胜”的艺术，他没有直接抛出那些令人望而生畏的符号和定义，反而像一位经验丰富的向导，从最基础的集合论概念娓娓道来，用生活中的类比来搭建起抽象概念的初步桥梁。我特别喜欢他对“极限”这个核心概念的阐述，那种细腻的、层层剥开的逻辑推演，让我体会到数学的严谨美，而不是单纯的公式堆砌。对于一个在高中阶段就对微积分心存敬畏的求知者来说，这种平易近人的开篇是至关重要的，它没有让我因为一开始的生涩而选择性地忽略后面的内容，反而激发了我深入探索下去的勇气。书中的排版也极为考究，公式居中且间距适宜，即便是复杂的积分符号，看起来也井井有条，让人在阅读时心情舒畅，这对于长时间面对数学内容来说，是一个巨大的加分项。

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这本书的魅力，在于它对“为什么”的执着探究，而不是简单地罗列“是什么”。很多教科书满足于给出定理和证明，读者只需照做即可。但这本书不同，它似乎总是在试图与读者进行一场深入的对话。例如，在讲解多元函数的偏导数时，作者没有直接给出公式，而是先用一个三维空间中一个曲面上切线斜率的直观想象来铺垫，让我明白了偏导数实际上是控制在一个特定方向上的“变化率”的度量。更令人称道的是，它在关键的理论突破点，会穿插一些简短的历史小插曲，告诉我某个定理是如何被发现、被完善的，这种“人化”的叙述方式，极大地缓解了纯数学的枯燥感。我记得有一次在攻克一个复杂的向量场分析题时，我卡在了某一步骤，反复演算无果。无意中翻到那一页的脚注，发现作者提到了高斯本人在发现该定理时的困惑与突破，那一瞬间，我仿佛穿越了时空，理解了那位伟大的数学家是如何思考的，这种共鸣感带来的顿悟，远比单纯看懂一个公式推导要深刻得多。这本书真正培养的是一种数学家的思维方式，而非应试技巧。

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