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出版者:中国人民大学

作者:张银生，安建业主

出品人:

页数:293

译者:

出版时间:2004-8

价格:35.00元

装帧:

isbn号码:9787300058931

丛书系列:

图书标签:

• 高等数学
• 数学基础
• 微积分
• 线性代数
• 解析几何
• 大学教材
• 理工科
• 数学分析
• 函数
• 极限

深入探索：微积分的基石与应用 图书名称：微积分核心概念与解题策略 内容简介 本书旨在为读者提供一套全面、深入且极具实用性的微积分学习指南，专注于构建坚实的理论基础，并精通各类解题技巧。我们摒弃了过于繁琐的早期预备知识的重复叙述，直接切入微积分学的核心——极限、导数和积分，并辅以大量的应用案例和精选习题，确保读者能够将抽象概念转化为具体的解决问题的能力。 第一部分：极限——微积分的逻辑起点 本部分是理解整个微积分体系的基石。我们从直观的“趋近”概念入手，逐步建立严格的$epsilon-delta$定义。 极限的严谨定义与证明： 详细阐述了函数在一点的极限、单侧极限以及无穷极限的数学定义。着重讲解如何运用 $epsilon-delta$ 语言来正式证明极限存在性，这对于培养严密的数学思维至关重要。我们将通过大量图示和具体函数实例，如 $f(x) = x^2$ 或 $sin(1/x)$ 在特定点处的极限分析，帮助读者克服对 $epsilon-delta$ 形式的恐惧。 极限的性质与运算法则： 系统梳理了四则运算、复合函数的极限法则。特别讨论了不定型极限（如 $frac{0}{0}$ 和 $frac{infty}{infty}$）的处理方法，为后续洛必达法则的应用打下基础。 连续性： 基于极限的定义，精确界定函数在一点和区间上的连续性。深入分析了初等函数、复合函数的连续性。此外，本书详细讨论了闭区间上的重要性质，例如介值定理和最大值-最小值定理，并展示了这些定理在实际问题（如证明方程有根）中的强大威力。 无穷大与无穷小： 明确区分无穷大和无穷小，并探讨它们之间的关系（如互为倒数）。重点在于理解它们在描述函数行为（如渐近线）中的作用。 第二部分：导数——变化的度量 本部分聚焦于导数这一核心工具，它是描述瞬时变化率的数学语言。 导数的定义与几何意义： 从割线斜率的极限过渡到切线斜率，严格定义导数。讨论了导数的物理意义——瞬时速度和加速度。 求导法则的系统推导： 详细推导并应用和、差、积、商的求导法则。特别注重链式法则（复合函数求导法则）的深入讲解和模式识别，这是解决复杂函数导数问题的关键。 常见函数的导数： 系统总结了幂函数、三角函数、指数函数和对数函数（包括自然对数 $y = ln x$ 和常用对数）的求导公式，并辅以特殊的对数求导法和隐函数求导法。 高阶导数与微分： 引入二阶及更高阶导数的概念，并阐述其在描述曲率和凹凸性方面的应用。详细介绍微分 $dy$ 的概念及其与 $Delta y$ 的关系，强调微分作为线性近似的实用价值。 第三部分：导数的应用——洞察函数行为 此部分是将导数工具应用于分析和解决实际问题的关键。 曲线的切线与法线： 讲解如何利用导数求出特定点处的切线和法线方程。 函数的近似与误差估计： 利用线性近似（微分）快速估算函数值变化，并分析误差范围。 函数的性态分析（单调性与极值）： 阐述一阶导数判定函数的增减区间和局部极值点（极大值和极小值）。 函数的凹凸性与拐点： 运用二阶导数判定函数的凹凸方向，并确定拐点。详细讲解利用极值判别法（一阶导数检验和二阶导数检验）来确定绝对极值。 最值问题（优化）： 通过大量的实际应用案例（如图形面积最大化、成本最小化、相关变化率问题），指导读者如何建立数学模型、设定约束条件，并利用微积分方法求解实际世界中的优化问题。 第四部分：积分学基础——累积的艺术 本部分将视角从变化率转向累积量。 定积分的定义与几何意义： 引入黎曼和的概念，严格定义定积分，并阐述其作为曲边梯形面积的几何意义。讨论定积分的基本性质。 微积分基本定理： 深刻剖析微积分的桥梁——牛顿-莱布尼茨公式。详细展示如何利用这一定理将积分问题转化为求原函数的问题，这是计算定积分的核心方法。 原函数与不定积分： 辨析不定积分与原函数的关系，强调积分常数 $C$ 的重要性。系统介绍各种积分技巧： 基本积分公式与凑微分法： 快速识别和应用基础公式。 换元积分法（变量代换）： 深入解析如何根据被积函数结构选择合适的代换 $u$（包括三角代换、指数代换等）。 分部积分法： 详细讲解其原理（源自乘积法则），并提供选择 $u$ 和 $dv$ 的经验法则，特别关注需要多次应用分部积分或循环积分的情况。 积分的应用： 扩展定积分的应用范围，包括计算平面图形的面积、旋转体的体积（圆盘法、壳层法）以及曲线的弧长。 本书特色： 1. 深度与广度并重： 理论推导严谨，但叙述语言力求清晰流畅，避免艰深的术语堆砌。 2. 注重思想构建： 强调微积分学的核心思想——极限思维和动态分析，而非仅仅是公式的堆砌。 3. 丰富的例题解析： 每个核心概念后紧跟结构清晰的例题，例题难度梯度合理，从基础演示到复杂综合应用均有覆盖，所有步骤均详细展开。 4. 专题训练： 在导数和积分章节后设置了专门针对“疑难点”的专题训练，例如处理三角函数的高次幂积分，或复杂分式函数的有理分式积分的预备处理。 本书适合所有需要扎实掌握微积分基础知识的理工科学生、自学者，以及需要回顾和深化理解的工程技术人员。通过系统学习本书内容，读者将构建起独立分析和解决涉及变化与累积问题的强大数学能力。

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