离散数学导论 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:科学出版

作者:王元元

出品人:

页数:279

译者:

出版时间:2002-1

价格:32.00元

装帧:

isbn号码:9787030039934

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 计算语言学
• 离散数学
• L
• 离散数学
• 数学基础
• 计算机科学
• 集合论
• 逻辑学
• 图论
• 组合数学
• 算法
• 数据结构
• 数学建模

《高等代数基础》内容概要 第一部分：集合论与逻辑基础 本书首先从集合论的基础概念入手，严谨地阐述了集合的定义、子集、幂集、集合的运算（并、交、差、对称差）及其相关的代数律。我们详细探讨了笛卡尔积和关系的基本性质，特别是等价关系和偏序关系的定义、判别方法及其在结构分类中的作用。紧接着，引入了函数的概念，区分了单射、满射和双射（一一对应），并讨论了函数的复合与反函数。 逻辑学部分构建了形式逻辑的基石。我们深入解析了命题演算，包括命题的构成、连接词（与、或、非、蕴含、等价）的真值表，以及重言式、矛盾式和可满足式的判定。随后，我们将视角转向一阶谓词逻辑，详细介绍了量词（全称量词 $forall$ 和存在量词 $exists$）的用法、辖域的确定，以及利用自然演绎法或语义方法对论证的有效性进行检验。对逻辑推理规则，如肯定前件、否定后件、假言三段论等的严谨推导与应用是本节的重点。 第二部分：群论的初识与深入 群论是代数结构的核心。本章从二元运算的性质出发，定义了半群、独异点（幺半群）和群。群的定义要求满足封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性。我们系统地分析了群的基本性质，如单位元和逆元的确唯一性，以及元素乘幂的运算规则。 在此基础上，本书引入了子群的概念，并详细考察了生成元、陪集（左陪集和右陪集）的性质。拉格朗日定理作为群论中的里程碑，被完整证明，并由此推导出群的阶与子群的阶的关系。循环群的结构被完全揭示，证明了所有循环群都同构于 $mathbb{Z}$ 或 $mathbb{Z}_n$。 同态与同构是研究群之间结构关系的关键工具。我们定义了群同态和同构，并探讨了它们保持的代数结构特性。核（Kernel）和像（Image）的概念被引入，特别是关于正规子群的判定及其在构造商群（或因子群）中的核心作用。商群的构造和其性质，特别是万有性，为理解更复杂的代数结构奠定了基础。 第三部分：环论与域的构造 从群论过渡到环论，我们引入了两个二元运算的代数结构——环。环的定义包括加法群的性质和满足分配律的乘法运算。我们区分了交换环、带单位的环，并着重研究了整环（Integral Domain）的定义及其特征。 在环的结构中，理想（Ideal）扮演着类似于子群的角色。本书详细讨论了主理想、极大理想和素理想的定义和相互关系，并证明了它们在构造商环中的重要性。同态和同构的概念被推广到环的层面，核与像的性质被重新审视。 域（Field）被定义为特殊的交换环，其中所有非零元素都存在乘法逆元。我们深入探究了有理数域 $mathbb{Q}$、实数域 $mathbb{R}$ 和复数域 $mathbb{C}$ 的代数结构，并探讨了有限域（伽罗瓦域）的存在性与构造原理。 第四部分：多项式代数与构造 多项式环 $F[x]$（其中 $F$ 是一个域）是代数结构中应用最为广泛的结构之一。我们首先定义了多项式的加法和乘法，确立了多项式环的结构。在多项式环中，除法算法（带余除法）是基础，它保证了商和余式的唯一性。 随后，我们利用最大公约式（GCD）的概念，介绍了欧几里得整环的性质，并展示了如何通过扩展的欧几里得算法来求解多项式方程的 Bézout 等式。多项式的根（零点）是其重要特性，我们探讨了代数基本定理（尽管其完备证明需要依赖复分析，但我们会给出其在域扩张背景下的重要意义）以及有理根定理。 不可约多项式的概念是构建更高阶域的关键。我们讨论了如何判定一个多项式是否在给定域上不可约，并利用艾森斯坦判别法等工具进行实例分析。最后，通过对不可约多项式的构造，我们展示了如何从域 $F$ 构造出域的扩张 $F(alpha)$，从而为理解伽罗瓦理论的后续发展打下坚实基础。 第五部分：初步数论与同余关系 虽然本书的核心是抽象代数，但数论的某些基础概念在理解模运算和环结构时至关重要。本章回顾了整数环 $mathbb{Z}$ 上的整除性、素数和算术基本定理。 同余关系是本章的重点，它被定义为整数环上的一个等价关系。我们详细分析了模 $n$ 运算的性质，并证明了整数模 $n$ 构成的集合 $mathbb{Z}_n$ 事实上是一个环。特别是，当 $n$ 为素数时，$mathbb{Z}_n$ 成为一个域。我们还探讨了中国剩余定理（CRT）在求解线性同余方程组中的应用，该定理本质上体现了环的直积结构分解原理。 全书的结构旨在提供一个从具体到抽象、层层递进的代数学习路径，强调严谨的定义、充分的定理证明和丰富的结构实例分析。

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