实变函数与泛函分析基础教程 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:科学出版社

作者:邵国年

出品人:

页数:214

译者:

出版时间:2005-1

价格:19.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787030101785

丛书系列:

图书标签:

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《数学分析进阶：从实数域到多维空间》 本书旨在为读者提供一套严谨且深入的数学分析进阶体系，着重于构建扎实的理论基础，并逐步拓展至更广泛的数学领域。本书内容涵盖了从实数系的完备性出发，深入探讨实数序列与级数的收敛性质，以及函数概念的精细刻画，包括连续性、可微性等关键性质的深入分析。 第一章：实数系的公理体系与序列的收敛 本章伊始，我们将系统回顾并深入理解实数系的代数性质与顺序性质，尤其聚焦于其完备性这一核心特征。完备性是后续所有分析内容得以建立的基石。我们将在此基础上，严谨地定义实数序列，并引入收敛性的形式化定义。读者将学习如何运用ε-δ语言来刻画序列的收敛，并掌握判定序列收敛性的各种方法，如柯西序列判据、单调有界原理等。此外，本书还将探讨无穷远处的极限，以及子序列的概念及其与收敛性的关系，为理解更复杂的收敛性问题打下坚实基础。 第二章：多变量函数的极限与连续性 本章将分析的视角从一维实数域拓展至多维欧几里得空间。我们将重新审视极限与连续性的概念，并将其推广至多变量函数。定义多变量函数的极限需要引入多维空间的距离概念，我们将详细阐述这些距离的性质及其在极限定义中的作用。连续性的概念也将被深化，读者将学习如何判断多变量函数的连续性，并理解一些重要的连续函数性质，如有界性、一致连续性等。本章还将重点介绍一些在多维空间中具有特殊意义的连续性定理，为后续章节的学习做好铺垫。 第三章：可微性及其应用 本章将深入探讨多变量函数的可微性。我们将从方向导数和梯度出发，引入全微分的概念，并阐述全微分与可微性的等价关系。偏导数在可微性判断中的作用将被详细分析，同时也会讨论偏导数存在但函数不可微的例子，以加深读者对可微性概念的理解。本书将详细介绍高阶偏导数，并推导克莱罗定理，揭示二阶混合偏导数在特定条件下的相等性。此外，本章还将介绍隐函数定理与反函数定理，这些定理在解决方程组问题和分析函数局部性质方面具有至关重要的应用价值。 第四章：积分的理论基础 本章聚焦于黎曼积分在多维空间中的推广。我们将首先回顾一元黎曼积分的定义与性质，并在此基础上引入多重积分的概念。区域的测度、积分的几何意义以及可积性的判据将是本章的核心内容。读者将学习如何计算不同区域上的多重积分，并掌握积分的线性性质、单调性以及积分中值定理。本书还将介绍坐标变换在多重积分计算中的强大作用，包括雅可比行列式的引入及其在改变积分变量时的意义。 第五章：积分的深入探讨与特殊积分 本章将对多重积分的理论进行更深入的探讨，并介绍一些特殊类型的积分。我们将讨论积分的路径无关性，以及与格林公式、高斯公式等微分几何中重要定理的联系。此外，本章还将引入曲线积分与曲面积分的概念，并阐述它们与多重积分之间的内在联系。一些特殊的积分，如勒让德多项式相关的积分、贝塞尔函数相关的积分等，也将得到介绍，并简要提及它们在物理学和工程学中的应用。 第六章：函数的级数表示与收敛性 本章将重点研究函数的级数表示，特别是幂级数和傅里叶级数。我们将详细讨论幂级数的收敛域、收敛半径以及收敛函数的性质。泰勒展开作为幂级数的重要应用，将被深入分析，并探讨其在函数逼近和级数求和中的作用。傅里叶级数作为一种重要的三角函数系展开，将在本章中得到详尽的介绍，包括其定义、收敛性定理以及在信号分析和偏微分方程求解中的应用。 第七章：度量空间与拓扑初步 本章将为读者引入更抽象的数学空间——度量空间。我们将从定义度量空间的基本公理出发，探讨度量空间的开集、闭集、邻域、紧集等基本拓扑概念。读者将学习如何理解度量空间中的距离和集合的性质，以及拓扑结构如何影响函数的连续性。本章还将简要介绍拓扑空间的概念，为理解更一般的拓扑结构做好准备。 第八章：线性空间与线性映射 本章将从线性代数的基础概念出发，引入向量空间的定义及其重要性质。我们将讨论线性无关、基、维数等核心概念。在此基础上，本书将介绍线性映射（或称线性变换）的概念，并探讨其核与像空间。读者将学习如何利用矩阵来表示线性映射，以及矩阵运算与线性映射之间的对应关系。特征值与特征向量的概念也将得到介绍，并阐述它们在分析线性系统和动力学过程中的重要性。 本书力求通过由浅入深的讲解，系统梳理数学分析中的核心概念，引导读者构建严谨的数学思维，为进一步学习更高级的数学理论，如微分几何、复分析、偏微分方程等奠定坚实的基础。本书适合高等院校数学、物理、工程等相关专业的本科生及研究生阅读，也可作为相关领域研究人员的参考书。

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翻开这本书的封面，我立刻被它那种扑面而来的学术气息所吸引。它不是那种追求花哨图表或者轻量化入门的读物，而是实打实地致力于构建扎实的理论基石。书中对勒贝格测度理论的阐述尤为精妙，它没有停留在表面，而是深入剖析了测度构造的必要性与合理性，使得“测度”这个概念不再是教科书上冷冰冰的定义，而是成为了一个有生命力的数学工具。阅读过程中，我常常需要停下来，反复咀嚼那些定义和引理，甚至需要借助草稿纸进行大量的演算和图形想象，这正是一种高效的学习过程。那些精心设计的习题，难度适中且富含启发性，它们并非单纯的计算题，而是对所学理论的深度检验和应用拓展，做完后总有一种豁然开朗的感觉。对于希望真正掌握这一领域精髓的读者而言，这本书无疑是不可多得的珍藏版教材，它要求的投入是巨大的，但回报也是等值的，是对数学素养的一次全面洗礼。

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老实说，这本书的阅读体验是具有挑战性的，它要求读者具备一定的预备知识和极大的专注度。但正是这种“高门槛”保障了其内容的纯粹性和深度。我特别关注了书中关于希尔伯特空间理论的部分，作者在阐述对偶空间和有界线性泛函的Riesz表示定理时，处理得极其干净利落，逻辑链条几乎没有断裂之处。它似乎在对读者发出邀请：“来吧，挑战你的理解极限。” 每当我在阅读中遇到难点，回头查阅前几章的铺垫时，总能找到清晰的线索将当前的问题与基础概念重新连接起来。这说明作者在构建全书的知识体系时，做了极为细致的整体规划，保证了章节之间的内在一致性和逻辑的闭环。对于希望达到专业研究水平的读者，这本书提供的正是那种坚不可摧的理论基础框架。

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这部著作以其严谨的数学逻辑和深入浅出的讲解，为我打开了理解现代数学一个重要分支的大门。初读时，那些抽象的概念和复杂的证明结构让我有些望而生畏，但作者高超的叙述技巧和循序渐进的引导，就像一位耐心且技艺精湛的向导，一步步带领我穿越了看似难以逾越的思维障碍。尤其在处理那些涉及极限、测度和积分的论断时，作者总是能巧妙地结合直观的几何或物理图像进行阐释，这极大地增强了我对理论背后深刻内涵的把握。我发现，很多其他教材中一笔带过或者直接跳跃的中间步骤，在这里都得到了详尽的推导和细致的批注，使得即便是初学者也能在跟进的过程中保持信心。这种对细节的执着，体现了编纂者对教学质量近乎苛刻的要求，使得本书不仅仅是一本知识的罗列，更是一份珍贵的思维训练手册。它教会我的远不止于如何运用某个定理，更重要的是如何构建一个严密的数学论证体系，这对我后续深入研究其他交叉学科领域也产生了深远的影响。

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这本书的排版和装帧设计，虽然朴素，却透露出一种古典的严谨美学。内容组织上，其结构安排体现了作者深厚的教学经验。它巧妙地平衡了理论的深度与学习的连贯性。例如，在引入泛函分析的初步概念时，作者没有急于抛出庞大而复杂的结构，而是先通过有限维向量空间上的线性算子进行铺垫和类比，这种“从熟悉到陌生”的过渡策略，极大地降低了读者的心理门槛。每一次概念的引入，都伴随着清晰的动机说明——“为什么我们需要这个工具？”——这使得学习不再是机械的记忆，而成为了一种主动的探索。我特别欣赏作者在某些关键定理的证明后，会附加一些“注记”或“历史背景”的段落，这不仅丰富了知识的维度，也让枯燥的证明过程充满了人文色彩，让我对数学的发展脉络有了更清晰的认识。

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与其他同类书籍相比，这部教程的独特之处在于它对抽象范畴的“温柔”态度。它深知，对于高等数学的学习者而言，从具体的数值分析跨越到抽象的函数空间，需要一个心理上的适应期。因此，作者在介绍开集、闭集以及拓扑结构时，使用了大量对比鲜明的例子，这些例子既来自经典的欧几里得空间，也拓展到了更广义的度量空间，使得拓扑的概念不再是空中楼阁。它不仅告诉我们“是什么”，更花了大量笔墨解释“为什么必须是这样”。我发现自己在使用这本书时，经常需要查阅附录中对基本分析概念的回顾，但这种回顾是高度提炼和目标明确的，直接服务于当前章节所需的工具，效率极高。它成功地架设了一座桥梁，连接了初等分析与现代数学的严谨殿堂，是一本兼具学术价值和教学实用性的上乘之作。

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