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出版者:高等教育出版社

作者:白峰杉

出品人:

页数:213 页

译者:

出版时间:2004年07月

价格:19.60元

装帧:平装

isbn号码:9787040143713

丛书系列:普通高等学校信息与计算科学专业系列丛书

图书标签:

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数值计算引论 内容概要 本书旨在为读者提供一个全面且深入的数值计算领域导论。全书结构清晰，内容组织紧凑，从最基本的数学概念和算法原理出发，逐步深入到现代数值方法的核心内容。本书特别注重理论基础与实际应用的结合，旨在培养读者利用数值方法解决实际工程和科学问题的能力。 全书共分为八个主要部分，涵盖了数值计算的经典与前沿领域。 第一部分：数学基础与误差分析 本部分首先回顾了读者在学习数值计算前所必需的数学预备知识，包括线性代数中的矩阵理论、微积分中的极限与连续性概念，以及函数逼近的基本思想。 误差的来源与控制： 深入探讨了数值计算中不可避免的误差问题。我们详细分析了截断误差（由离散化引入）和舍入误差（由有限精度算术引起）的性质、传播规律及其相互影响。重点介绍了如何通过算法设计和选择适当的机器精度来控制总误差，确保计算结果的可靠性。 有效数字与稳定性： 对有效数字的计算方法进行了详尽阐述，并引入了算法稳定性的概念。稳定性分析是数值方法质量的关键指标，本书通过具体的例子说明了病态问题（ill-conditioned problems）的危害，并介绍了判断和改善算法稳定性的方法。 第二部分：非线性方程求解 本章集中讨论如何寻找函数 $f(x) = 0$ 的根。 基本迭代法： 从最直观的二分法入手，讨论其可靠性但收敛速度较慢的特点。随后引入了不动点迭代的概念，并详细分析了收敛的充要条件。 牛顿法及其变种： 牛顿法因其二次收敛速度而成为核心方法。本书不仅推导了牛顿法的原理，还深入分析了其对初始猜测的敏感性。同时，也讨论了割线法（Secant Method）和假位法（Regula Falsi Method）作为牛顿法替代方案的优缺点。 方程组的预处理： 针对高维非线性方程组，本章介绍了利用雅可比矩阵进行局部线性化的方法，并探讨了拟牛顿法（如BFGS算法）在实际应用中的优势。 第三部分：线性代数方程组的数值解法 线性方程组 $mathbf{A}mathbf{x} = mathbf{b}$ 是工程和科学计算中最常见的问题之一。本部分系统介绍了求解这类问题的直接法和迭代法。 直接解法： 详细阐述了高斯消元法的步骤、复杂度和误差传播特性。在此基础上，引出了LU分解、Cholesky分解（针对对称正定矩阵）和满秩QR分解。分解方法的应用极大地提高了求解效率和数值稳定性。 迭代法： 针对大规模稀疏矩阵，迭代法更具优势。我们深入分析了雅可比法（Jacobi）和高斯-赛德尔法（Gauss-Seidel）的收敛性判据。更进一步，本章介绍了收缩因子（relaxation factor）的引入，催生了超松弛法（SOR），并简要介绍了 Krylov 子空间方法（如共轭梯度法CG，GMRES）在线性系统求解中的基础概念。 第四部分：特征值问题的数值解法 特征值问题 $mathbf{A}mathbf{x} = lambdamathbf{x}$ 在结构分析、量子力学和数据降维中至关重要。 幂法与反幂法： 详细介绍了幂法（Power Method）用于寻找最大特征值及其对应的特征向量，以及反幂法（Inverse Iteration）用于高效地逼近特定特征值。 QR 算法： 本章的核心是QR 迭代算法。我们从 Gram-Schmidt 正交化过程出发，自然地导出了 QR 分解。随后，通过引入 Hesenberg 约简和 Shifted QR 迭代，展示了如何高效、稳定地计算所有特征值和特征向量。 第五部分：多项式插值与逼近 本部分关注如何用简单函数（如多项式）来近似复杂函数。 插值法： 从拉格朗日插值多项式的构造与性质入手，分析了其对高次项的波动性问题。随后，重点介绍了牛顿差商形式和分段插值，特别是三次样条插值（Cubic Spline），它提供了光滑且局部控制的插值方案。 最佳平方逼近： 讨论了在数据点存在噪声或函数形式未知时，如何采用最小二乘法（Least Squares Method）进行函数逼近，从而得到“最佳”拟合曲线。 第六部分：数值微分与积分 本章涉及对函数进行求导和求面积的数值方法。 数值微分： 基于有限差分思想，推导了前向差分、后向差分和中心差分公式，并分析了它们的误差阶数。重点讨论了如何利用高阶差分公式提高精度。 数值积分（Quadrature Rules）： 介绍了梯形法则和辛普森法则的构造原理和代数精度。在此基础上，系统阐述了复化求积公式（复合梯形/辛普森）以提高精度。最后，深入探讨了高斯求积，解释了为何它能在给定节点数下达到最高的代数精度。 第七部分：常微分方程的数值解法 常微分方程（ODE）的初值问题是工程仿真中的基石。 单步法： 详细分析了经典的欧拉法（前向和后向）的稳定性和局部截断误差。在此基础上，引出了具有更高精度和稳定性的龙格-库塔法（Runge-Kutta Methods），特别是经典的四阶龙格-库塔法（RK4）。 多步法与稳定性区域： 介绍了Adams-Bashforth（开型）和Adams-Moulton（闭型）等线性多步法。讨论了方法的稳定性和绝对稳定性区域的概念，这是选择正确时间步长的关键。 第八部分：偏微分方程的初步接触 本部分作为高级主题的引言，简要介绍了求解偏微分方程（PDE）的数值基础。 有限差分法基础： 侧重于热传导方程（抛物型）和泊松方程（椭圆型）的离散化。通过将空间导数用中心差分替换，展示了如何将 PDE 转化为一个大型的线性代数问题，并探讨了显式与隐式时间推进方案的稳定性权衡。 --- 本书的特点在于其严谨的数学推导、丰富的算例演示以及对算法稳定性和收敛性的持续关注。每章末尾均附有精心设计的习题，旨在巩固读者的理论理解并激发其对实际问题的探究精神。本书适用于高等院校的数学、物理、工程技术及计算机科学专业的本科生或研究生作为教材或参考书。

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这本书的装帧设计着实令人眼前一亮。封面采用了深邃的藏蓝色作为主调，搭配着鎏金的字体，散发出一种沉稳而又不失现代感的气息。纸张的质感也颇为上乘，拿在手中有一种温润的触感，翻阅起来非常舒适，完全没有廉价书籍的粗糙感。细节之处见真章，比如书脊的处理，既坚固又方便平摊，即便是长时间阅读也不会感到疲劳。装帧不仅仅是保护内容，更是一种阅读体验的延伸，而这本《数值计算引论》在这一方面无疑是做到了极致。它让人在尚未翻开内容之前，就已经对即将到来的知识探索充满了期待，仿佛预示着这是一次高质量的学术之旅。这种对实体书制作的用心，在如今这个数字阅读盛行的时代，显得尤为珍贵，无疑提升了整体的收藏价值和阅读的愉悦度。

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这本书的配套资源和习题设计，体现了一种平衡的智慧。习题部分并非只是简单地重复计算，而是巧妙地设置了多层次的挑战。基础练习旨在巩固对核心算法流程的机械记忆和执行能力；中级习题则要求读者对算法的稳定性和效率进行初步分析和比较；而那些难度较高的“探索性”问题，则真正触及了数值计算的前沿和未解难题，鼓励读者去思考如何根据特定条件设计或改进算法。更值得称赞的是，作者似乎在某些章节后面提供了对特定问题的编程实现思路或伪代码，这种理论与实践的无缝衔接，极大地激发了我们动手解决实际问题的热情，让学习过程充满了创造性的火花和实实在在的成就感。

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本书的排版和图表质量，绝对达到了行业领先的水准。那些复杂的流程图和算法框图，线条清晰，逻辑层次分明，即便是涉及多变量和高维度的空间关系，也能通过巧妙的二维投影和色彩区分，让人一目了然。特别是那些用于演示误差分析和收敛性的图形，数据点分布和曲线趋势的描绘得极其精准，那些细微的波动和拐点都得到了充分的体现，这对于需要通过视觉来辅助理解数学本质的读者来说，简直是如虎添翼。很多教科书的图表模糊不清，或者为了节省版面而做得过于拥挤，但这本书的处理方式则完全不同，它给予了每一个图形足够的“呼吸空间”，确保了信息的高效传达，体现了出版方对学术严谨性的高度尊重。

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作者在讲解复杂概念时所采用的叙事方式，简直可以称得上是一场精妙的引导。他并没有一上来就抛出艰涩的公式和定理，而是通过一系列精心构建的、贴近实际工程应用的例子，逐步引导读者进入问题的核心。这种“潜移默化”的教学法，极大地降低了初学者面对抽象数学模型的心理门槛。我个人尤其欣赏作者在引入新算法时，总会穿插历史背景的叙述，这使得那些原本冰冷的数字和迭代步骤，瞬间拥有了温度和灵魂，让人理解了这些工具是如何在历史长河中被锤炼和完善的。阅读过程中，仿佛有一位经验丰富的老教授在身边耐心点拨，他总能准确预判到学生可能在哪里卡壳，并提前准备好清晰的类比和视觉化的解释，使得理解过程流畅且自然，丝毫没有被强行灌输知识的生涩感。

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我曾尝试阅读几本市面上的同类教材，常常会因为对某个关键步骤的解释含糊不清而感到挫败，但《数值计算引论》在这方面展现出了惊人的完备性。对于每一个推导过程，作者都进行了近乎苛刻的细致展开，每一个代数变换的依据、每一步的假设条件都被标注得清清楚楚。这种“不跳步”的写作风格，极大地增强了内容的可靠性。它不仅仅是告诉你“是什么”，更是详尽地解释了“为什么会这样”。这种深度和广度的结合，使得读者在掌握基础技能的同时，也能对背后的数学原理有更深刻的洞察，而不是仅仅停留在会套公式的层面。对于希望深入研究算法优化和理论分析的读者来说，这种详尽的论证过程，是无可替代的宝贵财富。

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