微积分学（下册） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:高等教育

作者:华中科技大学数学系

出品人:

页数:284

译者:

出版时间:2002-7

价格:15.00元

装帧:

isbn号码:9787040108224

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《代数几何基础与应用》 作者： 张伟、李明 教授 出版社： 华东科学技术出版社 出版日期： 2023年10月 --- 内容简介 本书旨在为高等数学学习者、数学专业本科生以及对代数几何有浓厚兴趣的理工科研究人员提供一套严谨、系统且富有启发性的教材。全书聚焦于经典代数几何的基本概念、核心理论结构以及在现代数学与其他学科中的重要应用，尤其侧重于理解几何直觉与代数工具之间的深刻联系。 本书的结构设计力求循序渐进，从基础的代数结构引入，逐步过渡到抽象的簇（Scheme）理论的初步接触，确保读者在没有微积分或复杂拓扑学背景的前提下，也能扎实地掌握代数几何的精髓。 第一部分：基础代数与几何的桥梁 本部分首先回顾了必要的预备知识，包括环论（特别是Noetherian环、主理想域、分数域的构造）和基本拓扑空间的概念，但所有内容均以代数几何的视角进行重新审视。 第1章：仿射空间与多项式环 本章详细阐述了仿射空间 $mathbb{A}^n(K)$ 的定义，它作为多项式环 $K[x_1, ldots, x_n]$ 的零点集合的几何意义。我们深入探讨了理想与代数集的对应关系——希尔伯特零点定理（Hilbert’s Nullstellensatz）的叙述与证明，这是连接代数与几何的第一个里程碑。通过实例分析，读者将理解如何用多项式方程组来刻画几何图形，例如曲线和曲面的奇异点。 第2章：经典代数簇的性质 本章聚焦于不可约性（Irreducibility）的概念及其代数判据。我们引入了维度理论的初步概念，通过分析主理想域上的代数曲线，展示如何通过代数运算（如因式分解）来确定几何对象的内在维度。此外，对投影空间 $mathbb{P}^n$ 的初步介绍，强调了仿射空间在无穷远处的“补齐”操作的必要性，为后续处理有理函数打下基础。 第二部分：簇的理论与局部性质 随着对基础几何对象理解的加深，本部分开始引入更具操作性和抽象性的工具，这些工具是现代代数几何的基石。 第3章：结构层与局部环 结构的概念是代数几何的灵魂所在。本章详细讲解了如何构造在簇上的“层”（Sheaf），特别是结构层 $mathcal{O}_X$。我们重点阐述了函数域的概念，并深入分析了局部环 $ mathcal{O}_{X, p}$ 在点 $p$ 附近的局部性质所扮演的角色。通过研究局部环的极大理想，读者可以理解局部化（Localization）在分离奇异点和分析局部行为上的强大作用。 第4章：有理映射与函数域 本章探讨了超越代数簇的映射——有理映射（Rational Maps）。我们定义了函数域 $K(X)$，并证明了代数簇是准射影的（Quasi-projective）这一重要结论。针对非奇异点，本章引入了割线空间（Tangent Space）的代数定义，它依赖于局部环上的导子（Derivations）概念，从而为后续的微分几何连接提供了纯代数的视角。 第三部分：奇性和分解 本部分处理代数几何中两个核心问题：如何判断一个几何对象是否“光滑”，以及如何将其分解为更简单的“部分”。 第5章：奇异点与正则性 我们正式定义了正则点和奇异点。基于局部环的性质，本章提供了一系列判据来识别奇异点，例如利用环的正则性（Regularity）与正则局部环（Regular Local Ring）的等价性。通过对平面三次曲线（如椭圆曲线的简化模型）的分析，直观展示了节点和尖点等典型奇异点的代数结构。 第6章：模空间与稳定性（初步） 本章是全书最具前沿性的章节之一。我们简要介绍了模空间（Moduli Spaces）的概念——它们是参数化几何对象的空间。虽然不深入到深奥的稳定性理论，但本章通过实例展示了如何用代数方法来对特定类型的对象（如平面曲线的同构类）进行“计数”和“分类”，为读者理解现代代数几何中几何对象分类的意义提供一个入口。 第四部分：代数几何的应用 本书的最后一部分旨在拓宽读者的视野，展示代数几何工具在其他数学分支中的实际效用。 第7章：数论中的应用：费马大定理的背景 本章展示了如何将代数几何的概念（如曲线的亏格）应用于数论问题。我们讨论了代数曲线的黎曼-罗赫定理（Riemann-Roch Theorem）的几何直观含义，并简要阐述了其在理解丢番图方程（Diophantine Equations）中的作用，为读者理解费马大定理的现代证明思路奠定基础。 第8章：复流形与阿贝尔簇 我们将代数几何的框架扩展到复数域 $mathbb{C}$ 上。复代数簇天然带有拓扑结构，本章讨论了代数几何中的拓扑不变量，如霍姆群（Homology Groups）和上同调（Cohomology）的初步概念。重点分析了作为复代数簇的椭圆曲线，引入了阿贝尔簇（Abelian Varieties）的概念，揭示了其群结构与几何结构之间的完美统一。 --- 本书特色 1. 强调代数与几何的互译： 全书致力于打通多项式环、理想、模与仿射空间、簇、局部性质之间的对等关系，避免将代数工具视为纯粹的计算手段。 2. 严格的定义与丰富的例子： 在保证数学严谨性的前提下，每引入一个抽象概念，均配以从 $mathbb{A}^2$ 到 $mathbb{P}^3$ 的具体例子进行阐释。 3. 侧重核心结构： 聚焦于簇的理论，为后续深入学习范畴论、方案理论（Scheme Theory）提供必要的语言基础，而不涉及过度复杂的现代构造。 4. 清晰的逻辑链条： 从最基本的代数集开始，逐步引入局部化、结构层，直至对光滑性的理解，逻辑层次分明，适合自学或作为进阶教材使用。 本书不依赖于微积分中的极限、导数等分析概念进行定义，而是完全建立在抽象代数（环论）的基础之上，使得代数几何的几何直觉可以在更纯粹的代数框架下得以建立和发展。它为读者开启了一扇通往现代几何学，尤其是代数几何前沿研究的大门。

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这本书的排版和细节处理，实在值得称赞，这直接影响了阅读体验，尤其是对于需要长时间盯着数学公式看的我们来说。字体选择非常清晰，符号的区分度很高，比如上标和下标、希腊字母和拉丁字母的间距控制得恰到好处，避免了阅读时的视觉疲劳。更重要的是，它对“特殊”的数学符号有着一致且明确的标注系统。例如，当引入向量场的概念时，所有向量都会用粗体表示，而标量场用斜体，这种视觉上的区分在处理复杂的向量演算时，极大地降低了大脑进行信息解码的负荷。此外，书中大量使用了“注解”和“历史背景”的小方框，这些内容虽然不直接构成解题的主线，却极大地丰富了阅读的趣味性。我记得有一个注解讲到牛顿和莱布尼茨在微积分发明权上的争议，这让原本枯燥的学科发展史变得鲜活起来。它告诉我们，每一个看似理所当然的公式背后，都凝聚着一代代数学家的智慧与汗水，这无形中也提升了我们对知识的敬畏心。一本好的教材，不仅要教知识，更要传递学者的精神，这本书在这方面做得相当到位。

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我是一个对数学理论的严谨性有极高要求的读者，很多本科教材为了追求所谓的“易懂”，往往会在论证的严密性上打折扣，这让我深感不适。但这本教材在这方面做得非常出色，它在保证了教学连贯性的同时，对关键定理的证明，比如中值定理和泰勒定理的严格证明，都给予了足够的篇幅和清晰的逻辑链条。尤其是在处理级数收敛性判断时，作者极其耐心地区分了条件收敛与绝对收敛的微妙界限，并且详尽地展示了阿贝尔判别法和狄利克雷判别法的使用场景，而不是简单地罗列判别条件。对于幂级数和泰勒级数的展开与收敛半径的确定，书中提供了一套非常可靠的“检查清单”式的步骤，让人在实际操作中不容易出错。我特别喜欢它对黎曼积分定义的阐述，它没有回避下上和的概念，而是深入浅出地解释了“逼近”的本质，从而为后续的傅里叶级数等更高级的主题打下了坚实的基础。这种对基础概念不厌其烦的深挖，使得这本书不仅仅是一本解题手册，更像是一本数学思维的训练指南。每次我感到对某个概念开始模糊时，翻回前面几章对应的严谨定义和证明，总能重新找回那种逻辑上的确定感。

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说实话，我买这本教材纯属是被导师“安利”的，一开始我对它抱持着一种怀疑的态度，毕竟市面上介绍相同主题的书籍汗牛充栋，总觉得很难有什么颠覆性的创新。然而，这本书在讲解积分学部分时，尤其是定积分的应用，展现出一种令人惊喜的叙事能力。它没有停留在计算面积和体积这种基础应用上，而是深入探讨了物理学中诸如功的计算、质心和转动惯量等概念，而且在引入这些物理概念时，并没有采用那种“先给公式，后套进去”的死板教学法。相反，它从离散化的思想出发，一步步地“构建”出积分的意义。最让我印象深刻的是关于旋度（Curl）和散度（Divergence）的讲解，作者巧妙地将它们与流体力学中的“旋转”和“发散”联系起来，配合着大量高质量的二维和三维图形辅助理解，即使是初学者也能隐约感受到向量场中那些看不见的力量是如何运作的。书中对格林公式、斯托克斯公式和高斯散度定理的阐述，也极具匠心，它不是孤立地介绍这三个定理，而是将其放在一个统一的、关于曲面积分关系的宏大框架下进行对比和归纳，让人清晰地看到高等微积分是如何将一维、二维和三维空间的积分概念完美统一起来的。读完这一部分，我感觉自己对“微积分”这三个字的理解，从一门计算工具，升华为一种描述空间和自然现象的语言。

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与其他一些侧重于理论证明或者过于注重工程应用的教材相比，这本书在处理“实变函数初步”与“微分方程初步”这两个章节的衔接上，找到了一个近乎完美的平衡点。它没有将微分方程作为微积分的“附属品”来简单介绍，而是将其置于一个更广阔的数学模型构建的视角下。书中首先引入了几个经典的物理模型（如弹簧振子、人口增长模型），然后自然地引出常微分方程的求解方法，比如分离变量法和积分因子法，这些方法的推导都紧密地联系着前面学过的定积分和不定积分的知识。而在介绍级数解法时，它又巧妙地回顾了幂级数的收敛性理论，形成了一个完美的知识闭环。这种融会贯通的教学设计，极大地增强了知识的内在联系，让我明白，数学知识不是一个个孤立的模块，而是相互支撑的一个庞大体系。读完这部分内容，我不再满足于仅仅会解一个微分方程，我开始思考“为什么是这个方程？”以及“这个方程解的实际意义是什么？”这种由“术”及“道”的转变，才是这本教材带给我最大的收获。

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这本高等数学教材的封面设计得非常朴实，那种深蓝色的底配着烫金的字体，一看就是“正经”的学术著作。拿到手里沉甸甸的，翻开目录，感觉心脏都要漏跳一拍。我记得最清楚的是其中关于多变量函数的偏导数那一部分，作者似乎特别偏爱用几何直觉去引导概念，而不是一上来就抛出一堆复杂的公式推导，这对我这种在啃微积分基础时总是在公式泥潭里打转的人来说，简直是一股清流。记得有一章专门讲解了拉格朗日乘数法，书里通过一个非常贴近实际生活的例子——如何分配有限资源使收益最大化——来引入约束条件下的极值问题。讲解的步骤清晰得令人发指，从建立目标函数到构造拉格朗日函数，每一步的数学逻辑都像搭积木一样，稳固而有条理。而且，书中的习题设计也很有层次感，基础巩固题只是热身，而后面的“挑战思考题”往往需要你跳出书本已有的框架，进行一些创造性的联想，这才是真正考验你对微积分思想的掌握程度。我花了整整一个周末才啃完这一章，虽然过程痛苦，但当最终茅塞顿开时，那种豁然开朗的成就感，是其他科目难以比拟的。这本书的价值不在于它教了你多少计算技巧，而在于它重塑了你对“变化率”和“累积效应”这两个核心概念的理解深度。

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第四版。

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