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微积分学：修订版，ISBN：9787040108224，作者：华中科技大学数学系编
《代数几何基础与应用》 作者： 张伟、李明 教授 出版社： 华东科学技术出版社 出版日期： 2023年10月 --- 内容简介 本书旨在为高等数学学习者、数学专业本科生以及对代数几何有浓厚兴趣的理工科研究人员提供一套严谨、系统且富有启发性的教材。全书聚焦于经典代数几何的基本概念、核心理论结构以及在现代数学与其他学科中的重要应用，尤其侧重于理解几何直觉与代数工具之间的深刻联系。 本书的结构设计力求循序渐进，从基础的代数结构引入，逐步过渡到抽象的簇（Scheme）理论的初步接触，确保读者在没有微积分或复杂拓扑学背景的前提下，也能扎实地掌握代数几何的精髓。 第一部分：基础代数与几何的桥梁 本部分首先回顾了必要的预备知识，包括环论（特别是Noetherian环、主理想域、分数域的构造）和基本拓扑空间的概念，但所有内容均以代数几何的视角进行重新审视。 第1章：仿射空间与多项式环 本章详细阐述了仿射空间 $mathbb{A}^n(K)$ 的定义，它作为多项式环 $K[x_1, ldots, x_n]$ 的零点集合的几何意义。我们深入探讨了理想与代数集的对应关系——希尔伯特零点定理（Hilbert’s Nullstellensatz）的叙述与证明，这是连接代数与几何的第一个里程碑。通过实例分析，读者将理解如何用多项式方程组来刻画几何图形，例如曲线和曲面的奇异点。 第2章：经典代数簇的性质 本章聚焦于不可约性（Irreducibility）的概念及其代数判据。我们引入了维度理论的初步概念，通过分析主理想域上的代数曲线，展示如何通过代数运算（如因式分解）来确定几何对象的内在维度。此外，对投影空间 $mathbb{P}^n$ 的初步介绍，强调了仿射空间在无穷远处的“补齐”操作的必要性，为后续处理有理函数打下基础。 第二部分：簇的理论与局部性质 随着对基础几何对象理解的加深，本部分开始引入更具操作性和抽象性的工具，这些工具是现代代数几何的基石。 第3章：结构层与局部环 结构的概念是代数几何的灵魂所在。本章详细讲解了如何构造在簇上的“层”（Sheaf），特别是结构层 $mathcal{O}_X$。我们重点阐述了函数域的概念，并深入分析了局部环 $ mathcal{O}_{X, p}$ 在点 $p$ 附近的局部性质所扮演的角色。通过研究局部环的极大理想，读者可以理解局部化（Localization）在分离奇异点和分析局部行为上的强大作用。 第4章：有理映射与函数域 本章探讨了超越代数簇的映射——有理映射（Rational Maps）。我们定义了函数域 $K(X)$，并证明了代数簇是准射影的（Quasi-projective）这一重要结论。针对非奇异点，本章引入了割线空间（Tangent Space）的代数定义，它依赖于局部环上的导子（Derivations）概念，从而为后续的微分几何连接提供了纯代数的视角。 第三部分：奇性和分解 本部分处理代数几何中两个核心问题：如何判断一个几何对象是否“光滑”，以及如何将其分解为更简单的“部分”。 第5章：奇异点与正则性 我们正式定义了正则点和奇异点。基于局部环的性质，本章提供了一系列判据来识别奇异点，例如利用环的正则性（Regularity）与正则局部环（Regular Local Ring）的等价性。通过对平面三次曲线（如椭圆曲线的简化模型）的分析，直观展示了节点和尖点等典型奇异点的代数结构。 第6章：模空间与稳定性（初步） 本章是全书最具前沿性的章节之一。我们简要介绍了模空间（Moduli Spaces）的概念——它们是参数化几何对象的空间。虽然不深入到深奥的稳定性理论，但本章通过实例展示了如何用代数方法来对特定类型的对象（如平面曲线的同构类）进行“计数”和“分类”，为读者理解现代代数几何中几何对象分类的意义提供一个入口。 第四部分：代数几何的应用 本书的最后一部分旨在拓宽读者的视野，展示代数几何工具在其他数学分支中的实际效用。 第7章：数论中的应用：费马大定理的背景 本章展示了如何将代数几何的概念（如曲线的亏格）应用于数论问题。我们讨论了代数曲线的黎曼-罗赫定理（Riemann-Roch Theorem）的几何直观含义，并简要阐述了其在理解丢番图方程（Diophantine Equations）中的作用，为读者理解费马大定理的现代证明思路奠定基础。 第8章：复流形与阿贝尔簇 我们将代数几何的框架扩展到复数域 $mathbb{C}$ 上。复代数簇天然带有拓扑结构，本章讨论了代数几何中的拓扑不变量，如霍姆群（Homology Groups）和上同调（Cohomology）的初步概念。重点分析了作为复代数簇的椭圆曲线，引入了阿贝尔簇（Abelian Varieties）的概念，揭示了其群结构与几何结构之间的完美统一。 --- 本书特色 1. 强调代数与几何的互译： 全书致力于打通多项式环、理想、模与仿射空间、簇、局部性质之间的对等关系，避免将代数工具视为纯粹的计算手段。 2. 严格的定义与丰富的例子： 在保证数学严谨性的前提下，每引入一个抽象概念，均配以从 $mathbb{A}^2$ 到 $mathbb{P}^3$ 的具体例子进行阐释。 3. 侧重核心结构： 聚焦于簇的理论，为后续深入学习范畴论、方案理论（Scheme Theory）提供必要的语言基础，而不涉及过度复杂的现代构造。 4. 清晰的逻辑链条： 从最基本的代数集开始，逐步引入局部化、结构层，直至对光滑性的理解，逻辑层次分明，适合自学或作为进阶教材使用。 本书不依赖于微积分中的极限、导数等分析概念进行定义，而是完全建立在抽象代数（环论）的基础之上，使得代数几何的几何直觉可以在更纯粹的代数框架下得以建立和发展。它为读者开启了一扇通往现代几何学，尤其是代数几何前沿研究的大门。
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