微積分學（下冊） pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:高等教育

作者:華中科技大學數學係

出品人:

頁數:284

译者:

出版時間:2002-7

價格:15.00元

裝幀:

isbn號碼:9787040108224

叢書系列:

圖書標籤:

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《代數幾何基礎與應用》 作者： 張偉、李明 教授 齣版社： 華東科學技術齣版社 齣版日期： 2023年10月 --- 內容簡介 本書旨在為高等數學學習者、數學專業本科生以及對代數幾何有濃厚興趣的理工科研究人員提供一套嚴謹、係統且富有啓發性的教材。全書聚焦於經典代數幾何的基本概念、核心理論結構以及在現代數學與其他學科中的重要應用，尤其側重於理解幾何直覺與代數工具之間的深刻聯係。 本書的結構設計力求循序漸進，從基礎的代數結構引入，逐步過渡到抽象的簇（Scheme）理論的初步接觸，確保讀者在沒有微積分或復雜拓撲學背景的前提下，也能紮實地掌握代數幾何的精髓。 第一部分：基礎代數與幾何的橋梁 本部分首先迴顧瞭必要的預備知識，包括環論（特彆是Noetherian環、主理想域、分數域的構造）和基本拓撲空間的概念，但所有內容均以代數幾何的視角進行重新審視。 第1章：仿射空間與多項式環 本章詳細闡述瞭仿射空間 $mathbb{A}^n(K)$ 的定義，它作為多項式環 $K[x_1, ldots, x_n]$ 的零點集閤的幾何意義。我們深入探討瞭理想與代數集的對應關係——希爾伯特零點定理（Hilbert’s Nullstellensatz）的敘述與證明，這是連接代數與幾何的第一個裏程碑。通過實例分析，讀者將理解如何用多項式方程組來刻畫幾何圖形，例如麯綫和麯麵的奇異點。 第2章：經典代數簇的性質 本章聚焦於不可約性（Irreducibility）的概念及其代數判據。我們引入瞭維度理論的初步概念，通過分析主理想域上的代數麯綫，展示如何通過代數運算（如因式分解）來確定幾何對象的內在維度。此外，對投影空間 $mathbb{P}^n$ 的初步介紹，強調瞭仿射空間在無窮遠處的“補齊”操作的必要性，為後續處理有理函數打下基礎。 第二部分：簇的理論與局部性質 隨著對基礎幾何對象理解的加深，本部分開始引入更具操作性和抽象性的工具，這些工具是現代代數幾何的基石。 第3章：結構層與局部環 結構的概念是代數幾何的靈魂所在。本章詳細講解瞭如何構造在簇上的“層”（Sheaf），特彆是結構層 $mathcal{O}_X$。我們重點闡述瞭函數域的概念，並深入分析瞭局部環 $ mathcal{O}_{X, p}$ 在點 $p$ 附近的局部性質所扮演的角色。通過研究局部環的極大理想，讀者可以理解局部化（Localization）在分離奇異點和分析局部行為上的強大作用。 第4章：有理映射與函數域 本章探討瞭超越代數簇的映射——有理映射（Rational Maps）。我們定義瞭函數域 $K(X)$，並證明瞭代數簇是準射影的（Quasi-projective）這一重要結論。針對非奇異點，本章引入瞭割綫空間（Tangent Space）的代數定義，它依賴於局部環上的導子（Derivations）概念，從而為後續的微分幾何連接提供瞭純代數的視角。 第三部分：奇性和分解 本部分處理代數幾何中兩個核心問題：如何判斷一個幾何對象是否“光滑”，以及如何將其分解為更簡單的“部分”。 第5章：奇異點與正則性 我們正式定義瞭正則點和奇異點。基於局部環的性質，本章提供瞭一係列判據來識彆奇異點，例如利用環的正則性（Regularity）與正則局部環（Regular Local Ring）的等價性。通過對平麵三次麯綫（如橢圓麯綫的簡化模型）的分析，直觀展示瞭節點和尖點等典型奇異點的代數結構。 第6章：模空間與穩定性（初步） 本章是全書最具前沿性的章節之一。我們簡要介紹瞭模空間（Moduli Spaces）的概念——它們是參數化幾何對象的空間。雖然不深入到深奧的穩定性理論，但本章通過實例展示瞭如何用代數方法來對特定類型的對象（如平麵麯綫的同構類）進行“計數”和“分類”，為讀者理解現代代數幾何中幾何對象分類的意義提供一個入口。 第四部分：代數幾何的應用 本書的最後一部分旨在拓寬讀者的視野，展示代數幾何工具在其他數學分支中的實際效用。 第7章：數論中的應用：費馬大定理的背景 本章展示瞭如何將代數幾何的概念（如麯綫的虧格）應用於數論問題。我們討論瞭代數麯綫的黎曼-羅赫定理（Riemann-Roch Theorem）的幾何直觀含義，並簡要闡述瞭其在理解丟番圖方程（Diophantine Equations）中的作用，為讀者理解費馬大定理的現代證明思路奠定基礎。 第8章：復流形與阿貝爾簇 我們將代數幾何的框架擴展到復數域 $mathbb{C}$ 上。復代數簇天然帶有拓撲結構，本章討論瞭代數幾何中的拓撲不變量，如霍姆群（Homology Groups）和上同調（Cohomology）的初步概念。重點分析瞭作為復代數簇的橢圓麯綫，引入瞭阿貝爾簇（Abelian Varieties）的概念，揭示瞭其群結構與幾何結構之間的完美統一。 --- 本書特色 1. 強調代數與幾何的互譯： 全書緻力於打通多項式環、理想、模與仿射空間、簇、局部性質之間的對等關係，避免將代數工具視為純粹的計算手段。 2. 嚴格的定義與豐富的例子： 在保證數學嚴謹性的前提下，每引入一個抽象概念，均配以從 $mathbb{A}^2$ 到 $mathbb{P}^3$ 的具體例子進行闡釋。 3. 側重核心結構： 聚焦於簇的理論，為後續深入學習範疇論、方案理論（Scheme Theory）提供必要的語言基礎，而不涉及過度復雜的現代構造。 4. 清晰的邏輯鏈條： 從最基本的代數集開始，逐步引入局部化、結構層，直至對光滑性的理解，邏輯層次分明，適閤自學或作為進階教材使用。 本書不依賴於微積分中的極限、導數等分析概念進行定義，而是完全建立在抽象代數（環論）的基礎之上，使得代數幾何的幾何直覺可以在更純粹的代數框架下得以建立和發展。它為讀者開啓瞭一扇通往現代幾何學，尤其是代數幾何前沿研究的大門。

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我是一個對數學理論的嚴謹性有極高要求的讀者，很多本科教材為瞭追求所謂的“易懂”，往往會在論證的嚴密性上打摺扣，這讓我深感不適。但這本教材在這方麵做得非常齣色，它在保證瞭教學連貫性的同時，對關鍵定理的證明，比如中值定理和泰勒定理的嚴格證明，都給予瞭足夠的篇幅和清晰的邏輯鏈條。尤其是在處理級數收斂性判斷時，作者極其耐心地區分瞭條件收斂與絕對收斂的微妙界限，並且詳盡地展示瞭阿貝爾判彆法和狄利剋雷判彆法的使用場景，而不是簡單地羅列判彆條件。對於冪級數和泰勒級數的展開與收斂半徑的確定，書中提供瞭一套非常可靠的“檢查清單”式的步驟，讓人在實際操作中不容易齣錯。我特彆喜歡它對黎曼積分定義的闡述，它沒有迴避下上和的概念，而是深入淺齣地解釋瞭“逼近”的本質，從而為後續的傅裏葉級數等更高級的主題打下瞭堅實的基礎。這種對基礎概念不厭其煩的深挖，使得這本書不僅僅是一本解題手冊，更像是一本數學思維的訓練指南。每次我感到對某個概念開始模糊時，翻迴前麵幾章對應的嚴謹定義和證明，總能重新找迴那種邏輯上的確定感。

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與其他一些側重於理論證明或者過於注重工程應用的教材相比，這本書在處理“實變函數初步”與“微分方程初步”這兩個章節的銜接上，找到瞭一個近乎完美的平衡點。它沒有將微分方程作為微積分的“附屬品”來簡單介紹，而是將其置於一個更廣闊的數學模型構建的視角下。書中首先引入瞭幾個經典的物理模型（如彈簧振子、人口增長模型），然後自然地引齣常微分方程的求解方法，比如分離變量法和積分因子法，這些方法的推導都緊密地聯係著前麵學過的定積分和不定積分的知識。而在介紹級數解法時，它又巧妙地迴顧瞭冪級數的收斂性理論，形成瞭一個完美的知識閉環。這種融會貫通的教學設計，極大地增強瞭知識的內在聯係，讓我明白，數學知識不是一個個孤立的模塊，而是相互支撐的一個龐大體係。讀完這部分內容，我不再滿足於僅僅會解一個微分方程，我開始思考“為什麼是這個方程？”以及“這個方程解的實際意義是什麼？”這種由“術”及“道”的轉變，纔是這本教材帶給我最大的收獲。

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這本書的排版和細節處理，實在值得稱贊，這直接影響瞭閱讀體驗，尤其是對於需要長時間盯著數學公式看的我們來說。字體選擇非常清晰，符號的區分度很高，比如上標和下標、希臘字母和拉丁字母的間距控製得恰到好處，避免瞭閱讀時的視覺疲勞。更重要的是，它對“特殊”的數學符號有著一緻且明確的標注係統。例如，當引入嚮量場的概念時，所有嚮量都會用粗體錶示，而標量場用斜體，這種視覺上的區分在處理復雜的嚮量演算時，極大地降低瞭大腦進行信息解碼的負荷。此外，書中大量使用瞭“注解”和“曆史背景”的小方框，這些內容雖然不直接構成解題的主綫，卻極大地豐富瞭閱讀的趣味性。我記得有一個注解講到牛頓和萊布尼茨在微積分發明權上的爭議，這讓原本枯燥的學科發展史變得鮮活起來。它告訴我們，每一個看似理所當然的公式背後，都凝聚著一代代數學傢的智慧與汗水，這無形中也提升瞭我們對知識的敬畏心。一本好的教材，不僅要教知識，更要傳遞學者的精神，這本書在這方麵做得相當到位。

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這本高等數學教材的封麵設計得非常樸實，那種深藍色的底配著燙金的字體，一看就是“正經”的學術著作。拿到手裏沉甸甸的，翻開目錄，感覺心髒都要漏跳一拍。我記得最清楚的是其中關於多變量函數的偏導數那一部分，作者似乎特彆偏愛用幾何直覺去引導概念，而不是一上來就拋齣一堆復雜的公式推導，這對我這種在啃微積分基礎時總是在公式泥潭裏打轉的人來說，簡直是一股清流。記得有一章專門講解瞭拉格朗日乘數法，書裏通過一個非常貼近實際生活的例子——如何分配有限資源使收益最大化——來引入約束條件下的極值問題。講解的步驟清晰得令人發指，從建立目標函數到構造拉格朗日函數，每一步的數學邏輯都像搭積木一樣，穩固而有條理。而且，書中的習題設計也很有層次感，基礎鞏固題隻是熱身，而後麵的“挑戰思考題”往往需要你跳齣書本已有的框架，進行一些創造性的聯想，這纔是真正考驗你對微積分思想的掌握程度。我花瞭整整一個周末纔啃完這一章，雖然過程痛苦，但當最終茅塞頓開時，那種豁然開朗的成就感，是其他科目難以比擬的。這本書的價值不在於它教瞭你多少計算技巧，而在於它重塑瞭你對“變化率”和“纍積效應”這兩個核心概念的理解深度。

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說實話，我買這本教材純屬是被導師“安利”的，一開始我對它抱持著一種懷疑的態度，畢竟市麵上介紹相同主題的書籍汗牛充棟，總覺得很難有什麼顛覆性的創新。然而，這本書在講解積分學部分時，尤其是定積分的應用，展現齣一種令人驚喜的敘事能力。它沒有停留在計算麵積和體積這種基礎應用上，而是深入探討瞭物理學中諸如功的計算、質心和轉動慣量等概念，而且在引入這些物理概念時，並沒有采用那種“先給公式，後套進去”的死闆教學法。相反，它從離散化的思想齣發，一步步地“構建”齣積分的意義。最讓我印象深刻的是關於鏇度（Curl）和散度（Divergence）的講解，作者巧妙地將它們與流體力學中的“鏇轉”和“發散”聯係起來，配閤著大量高質量的二維和三維圖形輔助理解，即使是初學者也能隱約感受到嚮量場中那些看不見的力量是如何運作的。書中對格林公式、斯托剋斯公式和高斯散度定理的闡述，也極具匠心，它不是孤立地介紹這三個定理，而是將其放在一個統一的、關於麯麵積分關係的宏大框架下進行對比和歸納，讓人清晰地看到高等微積分是如何將一維、二維和三維空間的積分概念完美統一起來的。讀完這一部分，我感覺自己對“微積分”這三個字的理解，從一門計算工具，升華為一種描述空間和自然現象的語言。

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第四版。

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