具体描述
本书由华中科技大学数学老师编写。依据国家教育部颁布的“概率论与数理统计课程教学基本要求”组织教材内容。内容包括：随机事件与概率；随机变量及其分布；多维随机变量及其分布；随机变量的数字特征；大数定律和中心极限定理；数理统计的基本概念；参数估计；假设检验。
本书可供高等院校不同层次各专业的概率统计课程作为教材使用，也可供工程技术人员和管理人员自学以及有关人员参加自学考试作为参考书使用。
《高等代数基础与应用》 内容简介 本书旨在为理工科学生提供一套全面且深入的《高等代数》基础知识体系，并侧重于其在现代科学与工程领域中的实际应用。全书结构严谨，逻辑清晰，力求在理论深度与实用性之间找到最佳平衡点。我们深知，高等代数是后续学习线性规划、数值分析、信号处理、机器学习等高级课程的基石，因此本书在内容编排上力求打通理论与实践的壁垒。 全书共分为七个主要部分，涵盖了高等代数的核心概念： 第一部分：集合、逻辑与基础代数结构 本部分首先对集合论的基本概念进行回顾和深化，包括集合的运算、映射的性质等。随后，引入数域的概念，重点讨论实数域 $mathbb{R}$ 和复数域 $mathbb{C}$ 的代数性质。在此基础上，我们开始探讨更抽象的代数结构，如群、环和域的初步概念，为后续理解向量空间奠定抽象思维的基础。虽然涉及抽象结构，但我们依然通过大量的实例，尤其是与几何变换和方程求解相关的例子，来增强读者的直观理解。 第二部分：矩阵代数与线性方程组 这是本书的核心内容之一。我们详细阐述了矩阵的定义、运算（加法、乘法、转置、求逆）及其性质。矩阵的秩是本部分的关键概念，我们通过初等行变换（行简化阶梯形）系统地讲解了如何计算矩阵的秩以及如何利用秩来判断线性方程组解的存在性和唯一性。高斯消元法和克拉默法则被详尽推导和比较，并提供了处理大规模线性方程组的数值稳定性考量。矩阵的行列式理论被置于一个独立且深入的章节，不仅包括代数定义和性质，还包括其几何意义——作为线性变换“体积”或“面积”的缩放因子。 第三部分：向量空间 向量空间是理解线性代数精髓的钥匙。本书严格定义了向量空间和子空间，并引入了线性相关性、基和维度的核心概念。我们用大量的篇幅讨论了如何构造向量空间的基，以及坐标变换下的矩阵表示变化规律。对偶空间的概念被适当地引入，以拓宽读者对线性结构的理解视野。本部分强调向量空间是抽象的“线性容器”，其元素可以是向量、多项式、函数乃至矩阵，这极大地拓宽了其应用范围。 第四部分：线性变换与特征值问题 线性变换（或称线性映射）是连接不同向量空间之间的桥梁。本书详细分析了线性变换的核（零空间）与像（值域），以及它们与矩阵的零空间和列空间之间的深刻联系。特征值和特征向量的理论被系统地构建起来，这部分是理解动态系统稳定性和矩阵对角化的基础。我们详细讨论了如何求解特征多项式，并分析了特征值在线性递归关系（如斐波那契数列）和微分方程解法中的作用。 第五部分：相似理论与矩阵的对角化 本部分聚焦于如何简化矩阵的表示。相似矩阵的概念被引入，核心目标是将一个复杂的线性变换转化为一个更简单（如对角形）的矩阵表示。我们深入探讨了对角化的充要条件，并详细分析了若尔当标准形（Jordan Canonical Form）的构造过程，尤其是在特征值存在重根但矩阵不满秩对角化的情况下的重要性。矩阵的函数（如矩阵指数 $e^A$）的定义与计算方法，也通过对角化技术得到了清晰的阐释。 第六部分：欧几里得空间与正交性 在实数域上，我们引入内积空间的概念，即欧几里得空间。重点讲解了内积的性质、向量的长度和角度。施密特（Gram-Schmidt）正交化过程被详细展示，它是构造正交基和理解最小二乘法的基础。正交矩阵在几何旋转和刚体运动中的作用被强调。本部分还引入了正交投影的概念，并将其应用于线性最小二乘问题的求解，这是数据拟合和回归分析的理论根基。 第七部分：二次型与矩阵分解 二次型是涉及变量平方项和交叉项的多项式，在优化问题和几何（如圆锥曲线和二次曲面）中有广泛应用。我们利用正交变换将二次型化为标准形，即主轴变换。对称矩阵的正交对角化理论是本部分的核心，它保证了二次型的简化总能通过旋转实现。此外，本部分还简要介绍了更强大的矩阵分解技术，如奇异值分解（SVD），并阐述了SVD在数据压缩和主成分分析（PCA）中的核心地位。 本书特色： 1. 理论的严谨性与应用的衔接： 每章的理论推导后，均配有“应用实例”专栏，涵盖了工程控制、图论、密码学基础以及数值计算的初步概念。 2. 几何直觉的培养： 大量使用二维和三维空间的几何图像来解释抽象概念，如子空间、线性变换的伸缩与旋转效果。 3. 计算方法的强调： 除了理论证明，对实际计算中常用的算法（如LU分解、QR分解、迭代法求解大型稀疏系统）给予了足够的篇幅介绍，尽管未深入数值分析的细节。 本书适合于修读过微积分的工科、理科本科生作为教材或参考书，也是需要复习或深入理解线性代数原理的研究生入门的理想读物。通过本书的学习，读者将不仅掌握代数运算技巧，更能建立起严谨的数学建模和抽象分析思维能力。
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