偏微分方程的数值方法 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:世界图书出版公司北京公司

作者:J.W.Thomas

出品人:

页数:436

译者:

出版时间:1997-9

价格:65.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787506232999

丛书系列:

图书标签:

• 偏微分方程
• 数值方法
• 有限差分法
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• 谱方法
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• 工程数学
• 数学模型

现代数值分析基础与应用 内容简介 本书系统性地介绍了现代数值分析领域的核心概念、基本算法及其在工程与科学计算中的实际应用。全书内容结构严谨，逻辑清晰，旨在为读者构建一个坚实的理论基础，并使其掌握解决实际问题的有效工具。 本书首先从误差分析与浮点数运算的理论出发，深入探讨了计算机中数的表示方式及其带来的精度问题，包括绝对误差、相对误差、截断误差和舍入误差的量化与控制。理解这些基础至关重要，它是后续所有数值方法稳定性和可靠性的基石。 接着，本书详细阐述了线性代数方程组的数值解法。这部分内容涵盖了直接法（如高斯消元法、LU分解、Cholesky分解）和迭代法（如雅可比法、高斯-赛德尔法、共轭梯度法（CG））。对于大型稀疏系统，本书重点分析了预处理技术（Preconditioning）对迭代收敛速度的显著影响，并对比了各种方法的适用场景和计算复杂度。 在非线性方程求解方面，本书覆盖了单变量和多变量情形。对于单变量方程，讨论了牛顿法、割线法（Secant Method）以及保证收敛的诸如Bisection法和False Position法，并深入分析了牛顿法在收敛域、超线性收敛率以及雅可比矩阵奇异性下的鲁棒性。对于多变量系统，则侧重于牛顿法的矩阵形式扩展及其在优化问题中的初步应用。 插值与函数逼近是数值分析的核心组成部分。本书详尽讲解了插值理论，包括拉格朗日插值、牛顿有限差分插值，并引入了分段插值，尤其是三次样条插值（Cubic Spline Interpolation），分析了其在保证二阶连续性方面的优势及其在光滑数据拟合中的应用。此外，本书还探讨了最小二乘逼近，用于处理数据点过多或存在噪声的情况，区分了等距和加权最小二乘的构建方法。 数值积分（Quadrature）部分，本书从构造性的角度介绍了牛顿-科茨公式（Newton-Cotes Formulas），如梯形法则和辛普森法则，并推导了其误差项。随后，重点引入了效率更高的高斯求积（Gaussian Quadrature），解释了正交多项式在确定最优节点和权重中的关键作用。对于积分区域复杂或被积函数奇异的情况，本书讨论了自适应积分策略。 常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）的数值解法是本书的另一重点。从单步法出发，系统地介绍了欧拉法（前向、后向）及其局部截断误差的分析。随后，深入讲解了龙格-库塔（Runge-Kutta, RK）方法，特别是RK4方法的构建原理和高阶精度。对于刚性（Stiff）方程组，本书专门介绍了隐式方法（如后向欧拉法）和Bويل法，并讨论了绝对稳定性域的概念。此外，多步法，如Adams-Bashforth和Adams-Moulton方法，也进行了详尽的对比分析。 最后，本书涵盖了特征值问题的数值计算。除了直接利用矩阵分解求解小规模问题外，本书主要关注大规模稀疏矩阵的求解。详细介绍了幂迭代法（Power Iteration）用于寻找最大特征值，以及QR算法的迭代步骤和其在求解所有特征值方面的强大能力。对于对称矩阵，共轭梯度法（CG）在求解特征值问题中的应用也得到了阐述。 全书辅以大量实际算例和伪代码，帮助读者将理论知识转化为可执行的计算方案。 --- 目标读者 本书适合于数学、物理、工程学（航空航天、机械、土木、电子）、计算机科学以及经济学等领域的高年级本科生、研究生以及从事科学计算、数据建模的科研人员和工程师。读者应具备微积分、线性代数和基础程序设计能力。 核心特色 1. 理论与实践紧密结合： 每一个算法的推导都伴随着严格的误差分析，并提供了在实际应用中选择算法的指导性原则。 2. 算法的稳定性与收敛性分析： 强调对算法稳定性的考察，而不是仅仅关注其形式上的正确性。 3. 面向现代计算需求的覆盖： 重点内容覆盖了处理大规模问题时所必需的迭代技术和稀疏矩阵处理方法。 --- 章节概览 第一章：引论与计算基础 1.1 数值分析的地位与挑战 1.2 浮点数表示与计算机算术 1.3 误差的来源与度量：截断误差与舍入误差 1.4 算法的稳定性、收敛性与效率 第二章：线性方程组的数值解法 2.1 直接法：高斯消元、LU分解与Cholesky分解 2.2 矩阵的条件数与误差敏感性 2.3 迭代法：雅可比、高斯-赛德尔与SOR方法 2.4 求解大型稀疏系统的预处理技术与共轭梯度法基础 第三章：非线性方程求解 3.1 单变量方程：二分法、不动点迭代 3.2 牛顿法及其收敛性分析 3.3 多变量非线性系统的求解：牛顿法的矩阵形式 第四章：插值与函数逼近 4.1 线性插值与插值误差 4.2 多项式插值：拉格朗日与牛顿形式 4.3 分段插值：三次样条插值的构造与性质 4.4 最小二乘逼近：等距与加权拟合 第五章：数值积分 5.1 复合积分法则：梯形与辛普森法则 5.2 牛顿-科茨求积公式的推导与误差分析 5.3 高斯求积：正交多项式与最优节点选择 5.4 自适应数值积分策略 第六章：常微分方程的数值解法（ODEs） 6.1 欧拉方法及其一阶精度分析 6.2 龙格-库塔方法：RK2与经典RK4 6.3 多步法概述：Adams-Bashforth与Adams-Moulton 6.4 刚性方程的数值处理：隐式方法与稳定性域 第七章：特征值问题的数值方法 7.1 问题的背景与应用 7.2 幂迭代法与反向迭代法 7.3 QR算法的原理与实现 7.4 对称矩阵特征值问题的求解：雅可比方法 7.5 求解大型稀疏系统的迭代方法简介 附录A：相关数学工具回顾（向量范数、矩阵分解、泰勒级数） 附录B：常用算法的MATLAB/Python实现示例

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这本书的内容深度和广度都令人咋舌，它仿佛是一部浓缩了数十年研究精华的宝典。我尝试快速浏览了一下关于有限元方法的那几章，发现作者对单元选择、边界条件的离散化处理，乃至刚度矩阵的组装过程，都进行了极其细致入微的探讨。尤其是在处理非结构化网格时，书中提供的那些优化算法的描述，简直是教科书级别的范本，清晰到即便是初次接触这些复杂概念的读者，也能通过他严谨的数学语言和附带的示意图，快速建立起直观的认识。更难能可贵的是，作者似乎并不满足于停留在理论层面，书中穿插了大量实际工程应用中的案例分析，这些案例的选取角度非常刁钻，正好能暴露出现行主流软件在处理某些极端条件时的计算缺陷。这种将纯粹的数学理论与赤裸裸的工程现实紧密结合的写作手法，极大地提升了本书的实用价值，让我感觉手中握着的不是一本理论教材，而是一套解决实际棘手问题的“工具箱”。

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这本书的作者显然是一位思想非常独立、不墨守成规的学者。我注意到，在很多经典方法的介绍部分，作者往往会提供一些非常规的、但在特定场景下效率惊人的替代方案，这些方案在主流教材中鲜有提及。例如，书中对某些非线性问题的处理，并未完全依赖于传统的牛顿法或拟牛顿法，而是巧妙地结合了全局优化思想，使得算法在处理多峰值解空间时表现出了非凡的鲁棒性。这种敢于挑战既有范式的勇气和创新精神，极大地激发了我的研究兴趣。此外，作者在全书的论述中，始终保持着一种清醒的批判性视角，不会盲目推崇某一种“万能”的数值技术，而是强调“对症下药”的哲学。这种务实而又充满智慧的叙事风格，使得这本书不仅仅是一本工具手册，更像是一份关于如何进行科学研究和工程实践的深刻洞见。读完后，我感觉自己对如何选择和设计数值算法，有了一个全新的、更具前瞻性的认知框架。

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这本书的封面设计着实引人注目，那种深沉的蓝色调和简洁的字体搭配，立刻给人一种严谨、专业的学术氛围。我一拿到手，就被它厚实的质感吸引了，这显然不是一本可以轻松翻阅的“速成读物”，而是需要投入大量时间和精力的深度学习材料。翻开扉页，里面的排版设计也相当考究，图表清晰，公式推导过程逻辑严密，没有任何含糊不清的地方。作者在引言部分就旗帜鲜明地指出了当前数值分析领域中存在的一些瓶颈问题，并暗示了本书将如何系统性地、甚至可以说是颠覆性地去尝试解决这些难题。我特别留意了目录结构，它没有采用那种传统的、按部就班的章节划分，而是更注重于将不同的数值技巧放在一个更宏大的框架下进行比较和剖析，这对于那些希望建立全局观的读者来说，无疑是一大福音。我感觉作者对内容的组织充满了自信，似乎在告诉读者：“这不是简单的知识堆砌，而是一次结构化的思维重塑之旅。” 这种开篇的气势，让我对后续内容的深度充满了期待，也隐隐感觉到，要真正掌握它所传授的精髓，恐怕需要反复咀赖、甚至配合大量的动手实践才能真正消化。

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这本书的结构安排堪称精妙，它不像某些学术著作那样将不同主题割裂开来，而是用一种流畅的、层层递进的方式将各种数值技术串联起来，构建了一个完整的知识体系。例如，作者在引入某种高阶近似方法时，并没有立即跳到复杂的证明，而是先从一个更基础的、易于理解的离散化思想入手，通过对比不同时间步长和空间网格对误差的贡献，自然而然地引出了改进方法的必要性。这种“提出问题—分析不足—引入新解”的叙事逻辑，让阅读过程充满了发现的乐趣。再者，书中对误差估计的讨论部分非常到位，它不仅仅是给出了误差的渐进表达式，更重要的是，作者强调了在实际计算中如何通过残差分析和后处理技术来动态评估解的可靠性，这对于需要进行可信度评估的工程师来说，简直是至关重要的指引。整本书读下来，感觉像是在进行一次结构严谨的探险，每翻过一页，都会发现通往更深层次知识的隧道入口。

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阅读体验上，这本书给我一种非常“硬核”的挑战感，但这种挑战绝非无意义的卖弄。它更像是一位经验极其丰富的老教授，耐心地在为你揭示那些隐藏在标准公式背后的“陷阱”。比如在讨论迭代收敛性时，作者花费了大量的篇幅去分析不同预处理器的选择如何影响解的稳定性和计算效率，那种对细节的苛求，远超我以往接触到的任何同类书籍。书中对数值稳定性的讨论，简直是教科书级别的范例，它没有简单地给出“该用什么方法”，而是深入挖掘了“为什么这个方法在特定条件下会失效”的内在机理。当我合上书本，试图回顾刚才读过的内容时，我发现自己对很多原本自认为已经掌握的概念，又产生了一层更深、更精妙的理解。这本书迫使我不断地停下来，拿起笔进行演算和验证，它真正做到了引导读者去思考，而不是被动接受信息。

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