具体描述
《高等数学》是教育部“面向21世纪教学内容和课程体系改革计划”的研究成果，是面向2l世纪课程教材，同时也是普通高等教育“九五”国家级重点教材。
本教材思路新，观点高，基础扎实，知识面宽，并注意运用近代数学的思想解决问题。《高等数学》分上、下两册。下册内容包括：级数--函数的分析与研究Ⅲ，微分方程与傅里叶积分，空间的结构与现代数学等。
《高等数学》可作为高等院校理科各专业的教材，也可供各类专业人员学习参考。
深入探索：代数几何与拓扑的奇妙旅程 《现代数学基础：从抽象到直观的构建》 图书定位与目标读者： 本书并非面向微积分初学者的工具书，而是为那些已经掌握了扎实微积分和线性代数基础，渴望深入理解现代数学结构和思想的理工科高年级本科生、研究生，以及对数学理论有浓厚兴趣的科研人员量身打造的进阶读物。本书的重点在于数学结构的内在联系和理论的逻辑严谨性，旨在帮助读者构建起一套完整的、具有高度抽象性和普适性的现代数学思维框架。 内容详述与核心特色： 全书共分为四大核心模块，层层递进，将抽象概念与具体的几何直观巧妙地融合。 第一部分：域与环的代数世界——抽象代数精要 本部分是对传统“高等代数”概念的深化与提升，重点转向抽象代数的核心概念及其在其他数学分支中的应用。 1. 群论的精细化探究： 我们不再满足于基础的群、子群、同态等概念。本章深入探讨了有限群的结构理论，引入了Sylow定理及其在分类小群中的强大作用。随后，我们将视角转向表示论的入门，通过有限群在线性空间上的线性表示，揭示了代数结构如何作用于几何对象。重点分析了置换群（$S_n$）和对称群在伽罗瓦理论中的预备作用。 2. 环与域的深度剖析： 本书细致区分了理想（Ideal）与子环（Subring）的区别，并引入了主理想域（PID）、唯一因子域（UFD）等更精细的代数结构分类。关于域的讨论，则聚焦于域扩张的构造，特别是正规扩张和可分扩张的概念，为理解代数拓扑和代数几何中的基本工具——伽罗瓦群——奠定坚实的代数基础。 3. 模论的初步接触： 将线性代数中对向量空间的讨论提升到更一般的模（Module）的层面。通过对自由模、投射模和内射模的介绍，展示了如何利用同调代数的思想来处理更广泛的代数问题，尽管不深入复杂的同调代数，但其思维方式的引入至关重要。 --- 第二部分：连续性的几何表达——拓扑学基础 本部分旨在建立读者对“空间”和“连续性”的直觉性理解，并将其转化为严格的拓扑语言。 1. 拓扑空间的构造与性质： 超越了通常教材中仅讨论度量空间（如$mathbb{R}^n$）的范畴，本书从拓扑空间的基本定义（开集、闭集、邻域）出发，深入讨论了紧致性和连通性的拓扑定义。特别强调了紧致空间的局部紧致性和其在函数空间中的重要地位。 2. 构造新的拓扑空间： 介绍了构造复杂拓扑空间的方法，包括商拓扑（Quotient Topology）和积拓扑（Product Topology）。商拓扑的应用部分，我们将利用它来严谨地构造环面（Torus）和射影平面（Projective Plane），这为理解后续的几何结构打下基础。 3. 连续映射与同胚： 着重分析了连续映射的性质，特别是开映射和闭映射。同胚（Homeomorphism）的概念被用来定义拓扑空间的本质属性，并提供了多个非同胚空间的清晰例子，例如区分$mathbb{R}^2$中的开圆盘与整个$mathbb{R}^2$（尽管它们在度量空间中是同胚的，但在某些拓扑结构下可能需要更细致的区分，本书侧重于直观区分）。 --- 第三部分：几何的代数化——解析几何的升华 本部分是连接代数与几何的桥梁，聚焦于代数方程如何描述几何对象，以及几何性质如何转化为代数计算。 1. 射影几何的引入： 我们将欧几里得空间提升到射影空间。通过射影坐标和齐次坐标，读者将理解平行线在射影空间中如何相交于“无穷远点”。这不仅是一种几何技巧，更是理解射影变换本质的关键。本书将射影变换清晰地解释为线性变换在射影空间上的作用。 2. 曲线与曲面的代数描述： 专注于平面代数曲线，介绍如何利用代数方程（如二次曲线）来定义几何形状。重点讲解了有理点的概念，以及如何利用代数方法（如参数化）来寻找这些点，这与费马大定理的某些初级证明思想相关联。 3. 基础概念：代数簇的萌芽： 在不引入复杂代数几何工具的前提下，初步接触了代数簇的概念。我们将多项式方程组的零点集视为最基本的几何对象，并探讨了其维度和奇异点的代数判别方法。 --- 第四部分：不变性与结构——基础同伦理论 本部分是拓扑学的高级应用，目的是寻找在连续形变下保持不变的拓扑不变量。 1. 基本群的构造与计算： 本书详细阐述了基本群（Fundamental Group）的构造过程，特别是如何定义群运算（路径的乘法）。重点讲解了如何计算常见空间的（如圆周$S^1$、圆盘$D^2$）基本群，并展示了布劳威尔不动点定理在二维情况下的一个拓扑证明（基于基本群的非平凡性）。 2. 覆盖空间理论的直观理解： 作为基本群理论的自然延伸，我们介绍了覆盖空间的概念。通过将纤维丛的思想具体化为覆盖空间，解释了如何利用覆盖空间来理解映射的“折叠”程度，并展示了万有覆叠空间的唯一性定理。 3. 同伦的比较： 简要对比了基本群与更高级的同调群（如奇异同调）在捕捉空间结构上的差异与互补性，强调了基本群在处理“洞”和“缠绕”问题上的直观优势。 总结： 《现代数学基础：从抽象到直观的构建》旨在搭建一座从微积分到现代数学核心分支的坚实桥梁。本书的叙述风格严谨而不失启发性，力求在保持数学抽象性的同时，通过大量的几何实例和构造性证明，使读者能够真正“看”到数学概念的运作方式。读者在完成本书学习后，将具备进入代数几何、微分几何或代数拓扑等前沿领域的必要理论基础和强大的抽象思维能力。
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