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出版者:清华大学出版社

作者:伊泽莱斯

出品人:

页数:342

译者:

出版时间:2005-5

价格:36.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787302106524

丛书系列:应用数学译丛

图书标签:

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数学中的时空探索：数值计算方法入门 本书是一本面向初学者的数学计算方法入门读物，旨在为读者提供一个理解和运用现代科学计算基本思想的坚实基础。我们将跳脱出纯粹理论的海洋，深入到实际问题求解的广阔天地，尤其侧重于那些仅凭解析手段难以捉摸或无法精确描述的复杂现象。 核心内容概览： 从根源出发：问题的数值化 我们首先会探讨为何需要数值方法。许多实际问题，无论是在物理学、工程学、生物学还是经济学领域，其背后都隐藏着复杂的数学模型，这些模型往往无法得到简单的解析表达式解。本书将带领读者认识到，将连续的、抽象的数学问题转化为离散的、可计算的数值问题是科学研究和工程实践中不可或缺的一步。我们将讨论如何识别问题的“可计算性”，以及数值方法的出现如何拓展了我们认识和改造世界的能力。 误差的艺术：理解与控制计算不确定性 任何数值计算都伴随着误差。本书将以清晰易懂的方式解释误差的来源，包括截断误差（由近似过程产生）和舍入误差（由计算机有限的精度引起）。我们不会回避这些不可避免的挑战，而是会深入探讨各种误差的传播机制，以及如何通过合理的算法选择和步长控制来最小化误差的影响。读者将学会如何评估计算结果的可靠性，理解“多少精度才够用”这一关键问题。 逼近的智慧：插值与逼近技术 在许多情况下，我们可能只有一系列离散的数据点，而需要一个连续的函数来描述这些数据所代表的规律。本书将介绍几种常用的插值方法，例如多项式插值（如拉格朗日插值、牛顿插值）和样条插值。我们将详细分析不同方法的优缺点，以及它们在不同场景下的适用性。此外，我们还会触及函数逼近的概念，介绍最小二乘法等方法，帮助读者理解如何找到最能“贴合”数据的函数。 面积的估算：数值积分方法 计算曲线下面积，即定积分，是许多科学和工程计算中的常见任务。当被积函数形式复杂，或者我们只拥有一系列离散的函数值时，解析积分将变得困难甚至不可能。本书将介绍一系列有效的数值积分技术，包括梯形法则、辛普森法则以及更高级的复化和自适应积分方法。我们会通过直观的几何解释和详细的算法描述，让读者掌握如何用数值方法近似计算定积分，并理解这些方法的精度如何随着采样点数的增加而提高。 变化的追踪：常微分方程的数值解法 许多自然和社会现象的演变过程都可以用常微分方程来描述。例如，物体的运动轨迹、种群数量的增长、电路的响应等。本书将重点介绍求解常微分方程初值问题（IVP）的经典数值方法。读者将学习欧拉法（前向、后向）、改进欧拉法以及更为精确的龙格-库塔方法。我们将深入剖析这些方法的原理，比较它们的稳定性和收敛性，并讨论如何选择合适的步长以获得满足要求的解。 线性系统的基石：方程组的求解 线性方程组是科学计算中最基本、最普遍的数学模型之一。无论是从物理定律推导出的离散方程，还是其他复杂问题的转化，都可能归结为求解 Ax = b 这样的方程组。本书将系统介绍求解线性方程组的两种主要数值方法：直接法和迭代法。对于直接法，我们将重点讲解高斯消元法及其改进（如 LU 分解），分析其计算复杂度和数值稳定性。对于迭代法，我们会介绍雅可比法、高斯-赛德尔法等，探讨它们的收敛条件，并解释它们在处理大规模稀疏矩阵时的优势。 算法的实践：编程与应用 理解数值方法的核心在于能够将其转化为实际可执行的程序。本书将提供清晰的伪代码，并鼓励读者使用自己熟悉的编程语言（如 Python、MATLAB 等）来实现这些算法。我们将在每个章节中嵌入实际算例，引导读者将所学知识应用于解决具体问题，例如模拟简单的物理模型、分析实验数据等。通过动手实践，读者将深刻体会到数值计算的强大威力。 本书特色： 循序渐进，详尽讲解： 我们从最基础的概念入手，逐步引入更复杂的算法，确保读者能够一步一步地掌握核心知识。 理论与实践结合： 每一个算法的介绍都配有直观的解释和图示，并辅以实际算例，帮助读者将理论知识转化为解决实际问题的能力。 强调理解而非记忆： 本书侧重于解释“为什么”和“如何做”，帮助读者建立深刻的理解，而非死记硬背公式。 面向广泛读者： 无论您是数学、物理、工程、计算机科学等专业的学生，还是对科学计算感兴趣的自学者，本书都将是您开启数值分析大门的理想选择。 通过学习本书，您将获得一套强大的数学工具，能够分析和解决那些仅凭解析方法无法企及的复杂问题。您将能够更深入地理解科学现象的内在规律，并为进一步深入学习更高级的数值技术打下坚实的基础。

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我必须承认，这本书的写作风格带着一种鲜明的学术个性，它更偏向于“数学家”的视角而非“工程师”的视角。对于那些急于拿到即用型代码的读者来说，可能需要多一些耐心。每一章的论证都建立在坚实的数学基础之上，推导过程严密，几乎没有跳跃。例如，在关于稳定性分析的讨论中，作者对冯·诺依曼稳定性格因子的推导，清晰地展示了时间步长与空间步长之间的耦合关系，这对于理解为什么某些方法会在特定条件下崩溃至关重要。这种对“为什么”的深入挖掘，无疑提升了读者的数学素养。但反过来看，对于那些只需要快速解决工程仿真问题的读者，前期可能需要花费较多精力去消化这些理论基础，才能真正领会到其数值方法的精髓。

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这本数学专著的封面设计着实引人注目，那种深沉的藏青色调配上简洁的白色字体，透着一股严谨而又不失现代感的学派气息。初次翻阅，我就被作者那种深入浅出的叙述方式所吸引。它不像某些教科书那样，一上来就抛出一堆晦涩难懂的公式和定义，而是巧妙地通过一系列精心构造的实例，引导读者自然而然地进入问题的核心。比如，书中对拉普拉斯算子在不同边界条件下的离散化处理，作者没有直接堆砌有限差分法的矩阵形式，而是先用几何直觉勾勒出物理场景，再逐步过渡到代数方程组，这种循序渐进的教学逻辑，极大地降低了初学者的理解门槛。我特别欣赏它在讨论误差分析时所采取的姿态，那种不回避复杂性，却又总能找到清晰路径进行剖析的笔法，让人在感到挑战的同时，也充满了征服它的信心。它不仅仅是在传授技巧，更像是在培养一种面对复杂数值问题的批判性思维。

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读完这本书的第三章，我简直是豁然开朗。之前在处理非线性偏微分方程时，总感觉像是在黑暗中摸索，对如何选择合适的迭代方法和收敛判据感到迷茫。但作者在这里对牛顿法和拟牛顿法在边界元方法中的应用进行了详尽的阐述。尤其令人称道的是，书中不仅给出了算法的伪代码，还细致地分析了每一步背后的数学原理和计算成本。我尝试将书中的一个二维对流-扩散问题的例子，用自己熟悉的编程语言重新实现了一遍，发现相较于我之前那种“经验主义”的编程方式，作者提供的方法在稳定性和计算效率上有了显著的提升。这种理论与实践紧密结合的编排，使得这本书的实用价值远远超出了普通参考书的范畴，更像是一位经验丰富、耐心细致的导师在身边指导。

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这本书的装帧质量堪称上乘，纸张的选用非常考究，即使是长时间在图书馆昏暗的灯光下研读，眼睛也不会感到明显的疲劳。但这只是表面的赞赏，真正让我赞叹的是其内容的广度与深度。它并没有局限于传统的欧拉方法或龙格-库塔法这些基础内容，而是大胆地将现代计算科学中的前沿进展也纳入了进来。例如，关于谱方法的介绍部分，虽然篇幅不长，但对切比雪夫插值和傅里叶方法的原理介绍得非常到位，为那些希望探索更高精度算法的读者指明了方向。不过，我个人感觉在处理大规模稀疏矩阵求解器的并行化策略上，如果能加入更多实际的案例分析，例如MPI或OpenMP的应用实例，那么这本书的价值会更上一层楼，它当前的深度已经非常接近“专业参考”的定位了。

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从阅读体验的角度来说，这本书的目录结构设计得非常合理，清晰地划分了常微分方程和偏微分方程的求解策略，让读者可以根据自己的兴趣点进行针对性的学习。一个让我印象深刻的细节是，作者在引用其他经典文献时，标注得非常规范和详尽，这为后续的深入研究提供了极大的便利。此外，书后附带的习题设计也很有层次感，从基础的公式验证到复杂的模型建立，环环相扣。我特别喜欢其中几道开放性的设计题，它们没有固定的答案，而是鼓励读者去尝试不同的数值方法，并对比它们的性能表现。这本书的整体基调是沉稳、厚重且极富启发性的，它成功地构建了一个坚实的数值分析知识框架，让人感觉手中握着的不只是一本书，而是一张通往高级计算科学殿堂的地图。

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