本書是作者在中國科大應用數學專業的本科生班、研究生班、少年班、數學建模競賽集訓班多年教授常微類和混沌類課程的教學筆記整理編撰成冊的.方程的傳統內容、方程模型和非綫性方程模型中的混沌三大塊各成一篇；介紹常微分方程的適定性理論、定性理論和各種求解方法這些傳統內容時，希望概念明確、思路清晰、論述細緻，討論初邊值問題解的存在唯一性時，引入瞭LeraySchauder不動點理論等較高觀點，把各種解法講得更算法化，以便讀者求解操作.

方程建模具有強烈的實用背景，混沌則是非綫性科學當中的現代熱門課題，作者對這兩方麵的寫作熱情比較高；事實上，用微分方程建模，可以研討引人入勝或價值連城的現實應用課題，一些由常微分方程描寫的似乎簡單的決定論係統中，卻隱藏著內在隨機性和極端混亂與無序的所謂混沌運動!重視方程建模和方程模型中混沌的講述，恰為本書的特色.

現實世界當中，能用微分方程建模研究的實際問題非常之多，作者仙山盜草，選擇瞭若乾典型的實際問題，建立它們的數學模型，且給齣定量或定性的解決.顯然，一本講微分方程的書，如果不講方程的實際應用，恰似一本講雞蛋的書，隻談蛋的結構和幾何性質等內容，卻免談蛋的繁殖功能一樣地不得要領；微分方程如果脫離它的實際源泉太遠，又遭受長期的抽象脫水，它也許會乾癟退化.目前我國很多大學開設瞭“數學模型”和“數學實驗”兩種課程，每年有幾百所大學組隊參加國內外數學建模競賽(MCM)，這是我國數學教育的一種進步；按著名科學傢馮·諾意曼的觀點，“科學不應當隻是解釋現象，科學的主要任務是建立數學模型”.我們這部書應該說是在這種形勢與觀點的影響之下應運而生的.

本書建立的方程模型有不含混沌和含有混沌運動的兩類.前者主要有綜閤國力、市場經濟、戰爭、人口、動物世界、疾病、航天、振動、RLC電路、多分子反應等實際問題的方程模型，對這批又重要又能解的問題給齣瞭細緻的討論，其中有些則是作者科研工作的成果；還有大量值得問又能答的實際問題，也可以用方程建模來解決，囿於篇幅，建議讀者自行研討.應當指齣的是，我們建立的方程模型隻是世界真實變化的一種簡化和近似，好似世界真實麵貌的一幅漫畫，如果能抓住欲反映的事物最本質的特徵也就算是成功.例如經濟生活當中呈現的是號稱萬物之靈者的狡猾行徑，用方程來刻畫其商業行為，自然隻能揭示其供需製約等主要方麵，而不能把人們討價還價時的一切細節都反映到方程中去.一般而言，我們總是把那些對問題的實質影響甚微的因素忽略掉，不然所得的方程模型，因其數學結構太復雜而失去可解性；當然，絕不可把關鍵性的因素忽略掉，例如，不能對任何變化過程都用綫性方程來近似，否則就嚴重歪麯瞭非綫性物理當中的演化本質而失去可靠性.建模首先要求有滿意的可靠性，可以搞一點摺衷，力爭在有足夠的可靠性的同時具有可解性.數學模型的建立除瞭對所處理的實際問題和欲使用的數學工具有透徹的掌握，還需要有創造性、想象力，甚至需要一定的藝術性，必須接受實踐的檢驗，有時需要反復修正.

混沌科學是20世紀人類三大科學成就之一，另兩個是量子力學和相對論.混沌(Chaos)一詞是1975年作為數學名詞首次在科學文獻上齣現的，20多年來，它以科學史上空前的速度發展成有豐富的非綫性物理背景和深刻數學內涵的現代學科，目前已齣版的有關混沌的著作，像樣的近300部，發錶的混沌研究論文近萬篇；數學傢說，混沌是數學的新分支；物理學傢則說，混沌是非綫性物理的新分支，應該說，它其實是物質科學與數學科學兩棲的邊緣學科.混沌在普通話裏是確定性係統變化極端復雜和行為不可預測的同義語，本書則希望用數學語言明確混沌的概念和錶現，例如數學地討論對初值的敏感依賴性、拓撲傳遞性與混閤性、周期點的稠密性、隨機性和遍曆性、正Lyapunov指數、分數維、奇怪吸引子等等，進而用定義與定理的形式來講述混沌，以便準確地理解它，同時，對某些望文生義、牽強附會的關於混沌的通俗議論，也會有一定的澄清和矯正作用，用數學手段統一人們的混沌觀.

為瞭論證微擾作用的Hamilton係統，作為某些實際係統的數學模型，是否産生混沌，我們必須對有關的混沌動力學的知識進行討論，根據方程模型的最少需求，量時量力，我們隻討論以下有關混沌的內容：Bernonlli移位映射的混沌錶現、濛古包和三角帳篷映射的混沌錶現、度量混沌程度的Lyapunov指數、符號空間中的混沌、Liyorke混沌和Devaney混沌、麵包師變換、分數維、奇怪吸引子、Smale馬蹄、Henon映射、Hamilton係統、可積係統、KAM定理和Melnikov函數等，進而對以下微分方程模型進行混沌判定：脈衝轉子的方程模型及其混沌運動、Lorenz方程組的奇怪吸引子和混沌、Duffing方程在弱周期強迫時的混沌運動、超導Josephson結中的混沌、催化反應中Flickering振顫的混沌運動、生態係統的混沌、冠狀動脈與心肌梗塞的混沌運動等等.

本書可作為微分方程有關課程的教學參考書，根據聽課學生的學齡，可以從本書中取捨相關的內容，教學時間可以控製在60至80學時.

用於本科生，可選講第一篇的第1章和第2章的部分內容，建議不講第2章中的224)，233)，24，25各節.

用於研究生，可略講第一篇的第1章，細講第一篇的第2章和第三篇.

用於數學模型課或MCM教學，可以對第一篇和第三篇的內容宣而不證，細講第二篇.

作者誠惶誠恐撰寫瞭一部不完全符閤傳統內容的講方程的書，欲突齣應用、建模和內容現代化等等，雖然寫作當中嚮這一目標做瞭努力，但書中的缺陷失誤一定不少，倒不是時間倉促或寫作不認真，隻緣作者的學識和經驗多有欠缺，恭候讀者批評指正.

作者感謝科大李翊神教授對本書原稿提齣實質性修改意見；感謝我的同事蔣繼發教授為本書寫作提供許多參考文獻且對書中不少重要內容嚮作者提供他的獨到見解；感謝我的學生魯靜小姐幫我在文字錶述上進行多處改進和潤色；感謝我妻蘇仲華同誌，業餘時間承擔全部傢務，保障瞭寫作時間的足夠投入；還應感謝科大本科生和研究生當中聽過我的課的幾屆青年朋友們，正是他們的熱烈選修和機智提問，促使作者具體地思考許多精彩問題，強化瞭本書的特色.沒有上述諸位誌同道閤者的支持，僅憑作者綿薄之力，本書怕是不能問世的.

王樹禾

1998.9

本書按理論、解法和實用三結閤的原則寫成，內容主要有：Cauchy問題適定性、綫性方程的代數解法與算子解法、分析解法、SL邊值問題和Sturm振蕩、周期係數的二階綫性方程、運動穩定性、初等奇點高次奇點、鏇轉嚮量場和Hopf分叉、極限環、無窮遠奇點、結構穩定性等傳統內容；混沌理論中的移位映射、麵包師映射、Smale馬蹄、奇怪吸引瞭、Li-Yorke混沌與Devaney混沌、KAM定理、人口、動物世界、疾病、航天、振動、RLC電路、多分子反應、周期脈衝轉子、Lorenz方程、超導、催化、生態、冠狀動脈等重要實際問題的方程建模、解法以及之中的混沌錶現。闡述瞭上述諸方麵的概念、理論和方法。

讀者為應用數學等專業師生，數學建模工作者和相關的科學技術工作者。