具体描述
本丛书配合人教版现行教材，同时又
《高等数学：微积分与线性代数基础》 作者： 著名高校数学系教授研究组 出版社： 经典教材出版社 装帧： 精装/平装可选 页数： 约 850 页 适用对象： 大学本科一、二年级理工科、经济管理类专业学生，以及需要系统复习高等数学基础的自学者。 --- 内容简介： 本教材旨在为读者提供一套全面、深入且极具系统性的高等数学基础知识体系，重点聚焦于微积分（单变量与多变量）的核心理论、证明方法以及在工程与科学中的应用。全书结构严谨，逻辑清晰，力求在保证数学严谨性的同时，最大程度地降低初学者的理解难度，培养其扎实的数学思维能力。 全书共分为六个主要部分，覆盖了从基础预备知识到多元微积分的完整脉络。 --- 第一部分：函数、极限与连续性（基础构建） 本部分是整个高等数学厦宇的基石。我们首先回顾了函数的基本概念，包括函数的定义域、值域、函数的运算与复合，并详细讨论了几类重要的函数族——初等函数（多项式、有理函数、三角函数、指数函数与对数函数）的性质与图像分析。 核心内容： 极限的严谨定义： 采用 $epsilon-delta$ 语言对极限的概念进行精确的数学描述，并辅以大量的几何直观解释，帮助学生理解“趋近”的本质。 极限的运算法则与性质： 详细阐述了四则运算的极限规律，以及夹逼定理、单调有界定理等关键工具。 无穷小与无穷大： 对比和辨析了无穷小与无穷大的概念，并系统介绍了等价无穷小代换在求解极限中的应用，这是后续微积分计算的重要技巧。 连续性： 定义了函数在一点和区间上的连续性，深入探讨了闭区间上连续函数的性质（如有界性与最值定理、介值定理），这些定理在分析实际问题中具有不可替代的作用。 --- 第二部分：导数与微分（变化率的精确描述） 本部分将抽象的极限概念转化为描述瞬时变化率的强大工具——导数。 核心内容： 导数的定义与几何意义： 从切线斜率的角度引入导数，并探讨了其物理意义（瞬时速度）。 基本求导法则： 系统梳理了幂函数、三角函数、指数函数、对数函数的求导公式，并详细讲解了导数的四则运算、链式法则（复合函数的求导）。 高阶导数： 介绍了二阶及更高阶导数的概念及其在曲线凹凸性判断中的作用。 微分的概念与应用： 阐述了微分与导数的关系，以及微分在近似计算中的实际应用。 中值定理的深入探讨： 完整证明并详细解释了罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。特别强调了拉格朗日中值定理在证明其他重要不等式和性质时的基础地位。 --- 第三部分：导数的应用（定量分析的威力） 本部分展示了导数如何强大地应用于函数的性质分析、曲线描绘以及实际优化问题的求解。 核心内容： 函数性质的分析： 利用一阶导数判断函数的单调性（增减性），利用二阶导数判断曲线的凹凸性与拐点。 极值与最值问题： 详细区分了局部极值与全局极值，并提供了寻找最值的系统步骤，包括对定义域端点的比较。 洛必达法则： 集中讲解了利用导数解决 $0/0$ 和 $infty/infty$ 型未定式极限的洛必达法则，并给出了应用范围和注意事项。 曲线的描绘： 结合以上所有工具，系统地指导读者如何完整准确地描绘复杂函数的图形，包括渐近线的确定。 相关变化率与优化问题： 提供了大量贴近工程和经济学的实际案例，如相关运动的速度关系、资源分配的最优化等，引导学生将实际问题转化为导数问题求解。 --- 第四部分：不定积分与定积分（累积与面积的计算） 本部分是微积分学的核心组成部分，关注如何“逆向”处理导数问题，并计算累积量。 核心内容： 原函数与不定积分： 阐述了原函数的概念，并列举了常见函数的积分表。重点教授积分的线性性质。 积分的基本技巧： 详尽讲解了三大主要积分方法： 1. 换元积分法（Substitution Rule）： 分为第一类和第二类换元法，强调如何选择恰当的替换变量。 2. 分部积分法（Integration by Parts）： 阐述了选择 $u$ 和 $dv$ 的经验法则，并配有大量示例。 定积分的概念与几何意义： 通过黎曼和的定义，严格引入定积分，并阐述其在计算平面图形面积中的应用。 牛顿-莱布尼茨公式（微积分基本定理）： 详细论证了该定理，它连接了微分学和积分学，是计算定积分的根本方法。 定积分的应用拓展： 扩展到体积计算（旋转体的体积）、平面曲线的弧长计算，以及物理学中的功、质心坐标的计算。 --- 第五部分：微分方程初步（动态系统的数学描述） 本部分是连接高等数学与应用科学的重要桥梁，着重介绍解决一阶和简单二阶常微分方程的常用方法。 核心内容： 微分方程的基本概念： 定义了阶数、线性、齐次性等基本术语。 一阶微分方程的求解： 系统讲解了可分离变量方程、齐次方程、一阶线性微分方程（含积分因子法）以及恰当方程的求解。 可降阶的二阶微分方程： 介绍了自由项缺失或显式中不含 $y$ 的特殊二阶方程的降阶处理。 常系数线性齐次微分方程： 详细讨论了特征方程的建立与解法，包括重根和共轭复根的情况。 常系数线性非齐次微分方程： 讲解了未定系数法和常数变易法在求解特定形式非齐次项时的应用。 --- 第六部分：多元函数微积分基础（向高维空间的拓展） 本部分将单变量微积分的思想推广到三维及更高维空间。 核心内容： 空间直角坐标系与向量初步： 简要回顾三维坐标系，引入向量的概念、加减法、点积（数量积）和叉积（向量积）。 偏导数与全微分： 严格定义偏导数，并推广到全微分的概念，强调全微分存在的必要条件。 链式法则的推广： 详细阐述多元复合函数的链式法则，这是多元函数求导的核心。 多元函数的极值与最值： 推广了单变量函数的极值判断方法，引入了二阶偏导数构成的 Hessian 矩阵进行二阶偏导数判别法（鞍点、极小/极大）。 多元函数的条件极值： 重点讲解拉格朗日乘数法，用于求解带等式约束的优化问题。 --- 本书特色： 1. 理论深度与直观性并重： 每项重要定理均提供严谨的证明推导，同时配以大量的几何图形和物理模型辅助理解，确保理论基础扎实而不失生动性。 2. 习题体系精良： 每章后附有“基础巩固题”、“综合应用题”和“思考与探索题”三个层次的习题，总计超过 1200 道，满足不同层次学习者的需求。 3. 强调科学计算： 在应用章节，穿插了如何使用主流科学计算软件（如 MATLAB, Python/SciPy）来验证或求解复杂积分与微分方程的思路，培养现代数学应用意识。 4. 历史背景补充： 穿插介绍重要的数学家及其发现的背景，增加阅读趣味性，激发学生对数学史的兴趣。 本书作为一部严谨的数学工具书，旨在为理工科学生构建坚实的数学思维框架，是理解后续数学分支（如概率论、复变函数、微分几何等）的必备前导教材。
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