同调与同伦原理 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:中国科学技术大学出版社

作者:黄保军

出品人:

页数:211

译者:

出版时间:2005-2

价格:15.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787312017704

丛书系列:

图书标签:

• 数学
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《同调与同伦原理》导读 这是一部深入探索数学核心领域——代数拓扑学的力作。本书并非对特定数学分支的简单罗列，而是以一种统合的视角，揭示同调论与同伦论这两大理论体系之间深刻的内在联系，以及它们作为强有力工具在理解几何对象和代数结构时所展现出的普适性和威力。本书的目标读者是对抽象代数、拓扑学有一定基础，并渴望深入理解现代数学前沿研究的学生、研究者以及对数学有浓厚兴趣的爱好者。 本书的结构设计精巧，循序渐进，从基础概念出发，逐步构建起复杂的理论框架。开篇并非直接抛出艰深的定义，而是从直观的几何直觉入手，引导读者体会拓扑空间“形状”的不可压缩性与连续形变的性质。在此基础上，引入同调论的核心概念——链复形、同调群。作者将抽象的代数构造与几何“洞”的数量和连接性等直观的拓扑不变量巧妙地联系起来，使读者能够清晰地理解同调群所代表的意义。例如，通过讨论圆、球面、环面等基本拓扑空间的同调群计算，读者将深刻体会到同调论如何有效地辨别不同拓扑空间。本书对各种同调论的构造，如奇异同调、胞腔同调、羌同调（Čech cohomology）等，都进行了详尽的阐述，并重点分析了它们各自的优缺点及适用范围。特别是对羌同调，本书将深入探讨其在研究非紧空间和更一般拓扑结构时的不可替代性。 紧随其后，本书将笔锋转向同伦论。同伦论关注的是连续映射的等价性，即能否通过连续形变将一个映射转化为另一个。这一定义下的“同伦等价”揭示了空间在更高层次上的“形状”信息。本书将详细介绍同伦群的概念，特别是基本群（即一维同伦群）的计算，并阐释它与空间中“环路”的深刻关联。通过对基本群的讲解，读者将理解为何像圆和球面这样的空间，尽管在同调论上可能表现相似，但在同伦上却存在本质的区别。本书还将介绍高阶同伦群，并探讨它们在刻画空间中“高维洞”方面的作用。 本书最核心的贡献和亮点在于，它系统地阐述了同调论与同伦论之间的“同调与同伦原理”，即如何利用同伦不变量来计算同调不变量，反之亦然。这其中，著名的长正合序列（long exact sequence）是连接两者，并进行理论推导的关键工具。本书将详细讲解如映射圆柱（mapping cylinder）和映射锥（mapping cone）等构造，以及它们在构造长正合序列中的作用。读者将看到，如何通过分析一个空间的分割或一个映射的核与像，利用长正合序列推导出关于同调群和同伦群的深刻结论。例如，斯蒂芬·斯梅尔（Stephen Smale）利用这些工具证明了高维球面上的庞加莱猜想（Poincaré conjecture for higher dimensions），以及塞缪尔·埃伦贝格（Samuel Eilenberg）和诺曼·斯蒂恩罗德（Norman Steenrod）发展的公理化同调论理论，都离不开同调与同伦原理的支撑。 为了支撑这些理论，本书的第二部分将深入探讨重要的代数工具。对于代数拓扑而言，阿贝尔群（Abelian groups）的理论是基础。本书将回顾阿贝尔群的性质，重点介绍自由阿贝尔群、有限生成阿贝尔群的结构定理，以及其在同调群计算中的应用。此外，本书还将涉及张量积（tensor product）、上同调（cohomology）的乘法结构，特别是杯积（cup product）和叉积（cap product）等概念。这些代数结构不仅丰富了同调理论的表达能力，也为研究映射的组合和分类提供了重要的代数工具。本书将通过具体的例子，展示杯积如何揭示空间的更深层次的结构，例如，在研究射影空间（projective spaces）时，杯积就扮演了至关重要的角色。 本书在论述理论的同时，也非常注重理论的应用。例如，在讨论同伦论时，本书将介绍霍普夫纤维丛（Hopf fibration）及其在分类映射到球面的同伦群上的应用，这为理解奇点理论和微分拓扑奠定了基础。在同调论方面，本书将探讨特征类（characteristic classes）的概念，并展示如何利用同调理论的工具来定义和计算布尔类（Chern classes）、斯蒂夫尔-惠特尼类（Stiefel-Whitney classes）等，这些特征类在微分几何、代数几何以及理论物理等领域有着广泛的应用。本书将以一个或多个具体应用案例，例如，如何利用特征类来判断一个流形是否存在特殊的结构，或者如何研究向量丛的拓扑性质，来展示同调与同伦原理的强大解决问题的能力。 此外，本书还会触及一些更高级的主题，作为对前沿研究方向的引导。例如，会简要介绍谱序列（spectral sequence）的概念，并将其视为长正合序列在复杂情况下的推广。谱序列是连接不同层级的同调信息的重要工具，在研究流形、纤维丛以及代数簇的同调时展现出强大的计算能力。本书将以一个简化的例子，例如，利用弗罗贝尼乌斯谱序列（Eilenberg-Moore spectral sequence）来计算一个纤维丛的同调群，来展示谱序列的威力。 为了使读者能够更好地掌握这些抽象的概念，本书在每个章节都精心设计了大量的例题和习题。这些例题不仅仅是对理论的简单应用，更是对概念理解的深化和拓展。习题则从易到难，涵盖了对基本概念的检验、对计算方法的训练以及对理论证明的锻炼，旨在帮助读者将所学知识内化，并培养独立解决问题的能力。本书的附录还将提供必要的背景知识回顾，例如，群论、环论、范畴论（category theory）等基础概念，以确保不同背景的读者都能顺利阅读。 总而言之，《同调与同伦原理》并非一本仅仅陈述公式和定理的枯燥教科书。它是一部引导读者踏上数学探索之旅的向导，它将抽象的数学思想与直观的几何想象相结合，通过同调与同伦这两个核心理论，展现出理解和刻画数学对象的深刻洞察力。通过本书的学习，读者将不仅掌握一套强大的数学工具，更能培养出严谨的数学思维，深刻理解现代数学研究的逻辑脉络和前沿动态。本书致力于为有志于在代数拓扑、几何学、理论物理等领域进行深入研究的学者和学生，打下坚实的基础，并激发他们探索更广阔数学世界的兴趣。

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这本书的参考文献和注释部分，可以说是一份宝藏级别的导览图。作者在引用每一处关键的理论或观点时，都标注了原始出处和相关的经典文献，这使得任何一个对某个特定领域有深入探究欲望的读者，都能顺藤摸瓜找到更专业、更前沿的研究方向。我个人就是通过查阅其中一处关于早期研究的脚注，发现了几篇我之前完全不知道的奠基性论文，极大地拓宽了我对该领域历史演进的认识。这种严谨的学术态度，体现了作者对知识传承的尊重，也为后续的研究者铺设了一条清晰的道路。总而言之，这本书不仅为我们提供了扎实的理论基础，更提供了一套探索未知领域的科学方法论，其价值是深远且持久的。

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阅读这本书的过程，就像是在攀登一座知识的高峰，每完成一个章节，都有一种征服感和成就感油然而生。书中大量的图示和模型构建得极其精妙，那些复杂的拓扑结构被分解成了易于观察的平面图景，辅助线和标记点都恰到好处，极大地增强了空间想象力。我发现，很多我以前只能通过死记硬背来记住的结论，在读完书中详细的几何推导后，已经自然而然地内化成了直觉。特别是那些由多位不同学派思想汇聚而成的论证链条，展现了数学真理的多元性与统一性，让人不禁感叹人类智慧的伟大。这本书的编排逻辑性极强，知识点层层递进，没有丝毫的跳跃或疏漏，仿佛有一条无形的线索，始终牵引着读者的思绪，保证了阅读的连贯性与深刻性。

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这本书的封面设计简直是一场视觉的冒险，那种深邃的蓝色调配上烫金的标题字体，一下子就抓住了我的眼球。拿到手里掂量了一下，分量十足，厚厚的精装本让人感觉这就是一本沉甸甸的学术著作。内页的纸张质量也相当不错，光滑细腻，印刷的字迹清晰锐利，阅读体验非常舒适，即使长时间沉浸其中也不会感到眼睛疲劳。装帧的工艺也看得出是下了真功夫的，书脊处非常坚固，可以完全摊平，这对于需要频繁查阅的参考书来说简直是福音。我尤其喜欢扉页上印制的那句话，虽然我记不清原文了，但那种寥寥数语却道出了全书的精神内核，让人在正式进入章节前就对接下来的阅读内容充满了敬畏和期待。翻阅目录时，那些复杂的术语和清晰的章节划分，已经预示着这是一次对知识深度挖掘的旅程，它不仅仅是一本书，更像是一件精心打磨的艺术品。

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我必须承认，这本书的阅读难度是毋庸置疑的，它绝不是那种可以轻松消遣的读物。对于我这样的业余爱好者来说，很多章节需要反复研读，甚至需要结合其他辅助材料才能勉强跟上作者的思路。然而，正是这种挑战性，才使得这本书的价值愈发凸显。它不是简单地“告诉”你答案，而是系统地“教导”你如何去思考和论证。书中出现的那些精巧的证明技巧，比如反证法的运用，或者构造特定函数来简化问题的思路，都展现了深厚的数学直觉和技巧，这些都是教科书上很少能详细剖析的“内功心法”。读完它，我感觉自己的思维框架被彻底重塑了一遍，看待问题的方式变得更加立体和审慎，这种思维能力的提升，远超出了对具体知识点掌握的范畴。

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这本书的语言风格简直是出乎我的意料，它完全没有那种传统教科书的枯燥与晦涩，反而流淌着一种近乎诗意的叙述感。作者的文字功底深厚，即使在阐述那些极为抽象的数学概念时，也能用非常形象的比喻和生动的例子来辅助理解。我记得有一次我卡在某个定理的证明上无法突破，后来翻到某一页，作者用了一个关于河流走向的比喻，瞬间茅塞顿开，那种豁然开朗的感觉，至今记忆犹新。更难得的是，作者在保持学术严谨性的同时，还巧妙地融入了一些历史轶事和科学家的思考过程，让人感觉自己不是在阅读一篇冷冰冰的公式堆砌，而是在跟随一位智者进行一场穿越时空的对话。这种温暖而富有洞察力的笔触，极大地降低了理解门槛，让即便是初涉该领域的读者也能找到乐趣和方向。

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通俗易懂，适合初学者

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写作简明，类似于一种读书笔记的味道，但是不失是一本作为复习用书

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