应用数学(下册) (平装) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:上海科技文献出版社

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页数:0

译者:

出版时间:1997-08-01

价格:21.4

装帧:平装

isbn号码:9787543909625

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穿越时空的数学殿堂：一部关于高等代数与抽象结构的精深探索 书名：数论基础与椭圆曲线几何 (精装) 作者：[虚构作者名] 史密斯 / [虚构作者名] 陈 出版年份：[虚构年份] --- 导言：数之本质与域的边界 本书并非聚焦于工程应用中的数值计算或微分方程的求解，而是将读者的目光引向纯数学的深邃核心——数论的严谨证明与现代代数几何的宏大叙事。我们旨在构建一座坚实的桥梁，连接伽罗瓦理论的抽象美感与费马大定理背后的代数逻辑。对于那些在微积分和线性代数的基础上，渴望触及数学真谛的学者和研究生而言，这本专著提供了一套从基础公理到前沿研究的完整路径。 本书的基石在于数论，但其广度远超经典的勾股定理或质数分布。我们从佩尔方程（Pell's Equation）的丢番图解法出发，迅速过渡到代数数论的殿堂。读者将深入理解唯一因式分解整环 (UFD) 的概念，并探索唯一因式分解域 (Dedekind Domain) 的重要性。这要求读者具备对环论（Ring Theory）的扎实基础，理解理想（Ideals）在数域扩张中的行为，特别是类群 (Class Group) 的结构，这是衡量一个数域偏离完美因式分解程度的关键工具。 第一部分：超越整数——代数数论的基石 本书的第一部分致力于为读者建立一个严密的代数数论框架。我们摒弃了对具体实例的过度依赖，转而强调定义和定理的普适性。 第一章：代数整数与环的扩张 本章深入探讨代数数 (Algebraic Numbers) 的定义，并详述如何构建代数整数环 (Ring of Integers) $mathcal{O}_K$。对于一个给定的数域 $K = mathbb{Q}(alpha)$，我们详细阐述了如何计算判别式 (Discriminant)，以及判别式与素理想分解之间的深刻联系。一个关键的论述点是迹 (Trace) 与范数 (Norm) 的性质，它们是连接线性代数与代数数论的纽带。我们使用极化恒等式 (Polarization Identity) 来展示如何通过矩阵方法确定一个整数基。 第二章：理想的分解与伽罗瓦群的作用 在代数数论中，素数的行为变得复杂。本章的核心在于素理想的分解 (Prime Ideal Factorization)。我们将详细分析一个有理素数 $p$ 在扩张 $mathcal{O}_K$ 中如何分解为一系列素理想的乘积。这完全由伽罗瓦群 (Galois Group) 的结构所决定。我们引入了惯性群 (Inertia Group) 和分解群 (Decomposition Group) 的概念，展示了它们如何精确控制素理想的重数和次数。读者将学习如何利用密词 (Chebotarev Density Theorem) 预言素数的分布，这标志着从局部（特定素数）到全局（数域）的统一。 第三章：类群与单元群的结构 本书最具挑战性也最具美感的部分之一是类群的构造。我们证明了任何有限扩张数域的类群都是有限的，并阐述了计算类数 $h_K$ 的方法，尽管这通常非常繁琐。重点在于理解希尔伯特类域理论 (Hilbert Class Field Theory) 的初步概念，该理论建立了类群与最大阿贝尔扩张之间的同构关系。 紧随其后的是对单元群 (Unit Group) $mathcal{O}_K^ imes$ 的深入分析。狄利克雷单元定理（Dirichlet’s Unit Theorem）是本章的皇冠。我们不仅证明了它的存在性部分，更详尽地论述了其结构：$mathcal{O}_K^ imes cong mathbb{Z}^r imes T$，其中 $r$ 是基本单位 (Fundamental Unit) 的数量，以及 $T$ 是有限阶的挠群。如何找到这些基本单位，特别是对于高次域，是本章实践性的高潮。 第二部分：几何的语言——椭圆曲线的代数框架 第二部分将视角转向现代代数几何的基石——椭圆曲线。这部分内容超越了传统微积分中对这类曲线的简单描绘，转而探究其深层代数结构。 第四章：椭圆曲线的定义与模函数 我们首先严格定义椭圆曲线，通常是在复平面上作为复环面 $mathbb{C}/Lambda$ 的商空间，或者在特征不为 2 或 3 的域上，通过魏尔斯特拉斯方程 $y^2 = x^3 + Ax + B$ 来描述。关键在于建立代数方程与拓扑结构之间的精确对应。 本章后续将引入模函数 (Modular Functions) 的概念，它们是连接椭圆曲线构造与数论的桥梁。我们探讨j-不变量 (j-invariant)，它唯一地（在同构意义下）确定了一条椭圆曲线，并展现了模函数如何作为椭圆曲线的分类工具。 第五章：有理点群的结构——莫德尔尔定理 椭圆曲线上的点构成一个阿贝尔群。本章的核心是莫德尔尔-韦伊定理 (Mordell-Weil Theorem)，它指出有理点群 $E(mathbb{Q})$ 是有限生成群，即 $E(mathbb{Q}) cong mathbb{Z}^r oplus E_{tors}$，其中 $E_{tors}$ 是挠点群，而 $r$ 是秩 (Rank)。 我们首先通过局部-全局原理（Hasse 原理的推广）来理解曲线在 $mathbb{Q}_p$ 上的性质。随后，我们将集中论述如何通过下降法 (Method of Descent) 证明挠点群的结构，这需要用到域的扩张和二次域的代数知识。秩的计算，虽然在一般情况下极其困难，但我们将演示如何利用BSD 猜想 (Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture) 的局部信息来推测秩的下界。 第六章：L-函数与函数方程 本书的最高抽象层次触及了L-函数 (L-functions) 的世界。我们从黎曼 $zeta$ 函数出发，自然地推广到椭圆曲线的Hasse-Weil L-函数 $L(E, s)$。该函数的构造依赖于曲线在有限域 $mathbb{F}_p$ 上的点数，由韦伊越界 (Weil Bound) 保证了其解析性质。 本章的终点在于理解函数方程 (Functional Equation)，这是 L-函数对称性的体现。函数方程不仅揭示了 L-函数在复平面上的解析延拓，更重要的是，它将曲线上的代数几何性质（如秩）与 L-函数的零点分布紧密联系起来，为现代数论研究指明了方向。 结语：结构与统一 本书要求读者有能力在高度抽象的语言中进行思考，并能将不同数学分支的工具融会贯通。它不是一本关于“如何计算”的指南，而是关于“为什么会是这样”的深入探究。对抽象代数和拓扑有深刻理解的读者，将能从本书中领略到数论和代数几何之间深刻且令人惊叹的统一性。最终目标是让读者能够理解费马大定理的代数证明思路，以及现代数论研究中椭圆曲线扮演的核心角色。

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这本书的语言风格可以说是非常“接地气”了。我之前接触过一些数学类的书籍，很多都写得晦涩难懂，仿佛是在和读者玩文字游戏。但这本书完全不一样，它更像是老师在课堂上循循善诱地讲解，用词朴实，句子流畅，很少出现那些令人望而生畏的专业术语。即便是第一次接触到的概念，作者也会用通俗易懂的比喻来解释，让我能够迅速抓住核心要义。我特别欣赏作者在举例时所选择的场景，很多都和我们的日常生活息息相关，比如在讲到概率统计的时候，作者就从抛硬币、抽奖等我们熟悉的例子入手，让我觉得数学并非高高在上，而是渗透在生活的方方面面。这种亲切感，极大地降低了我的学习门槛，让我能够更自信地投入到学习中。而且，书中在讲解完一个知识点后，通常会附带一些思考题，这些题目难度适中，既能巩固所学，又能激发我的思考，让我不仅仅是被动接受知识，而是主动去探索和理解。

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这本书的结构安排堪称经典。它遵循了由浅入深、由易到难的学习逻辑，让我在阅读的过程中感受到一种清晰的脉络。章节之间的过渡非常自然，上一个章节的知识点往往能够为下一个章节的学习奠定基础，形成一个有机的整体。我喜欢它在开始新章节前，都会简要回顾前一章的重点内容，并引出本章将要学习的新知识，这种“承上启下”的设计，让我的思维能够始终保持连贯性，不会感到突兀。而且，书中在讲解某个难点时，会反复从不同的角度进行阐述，有时还会结合历史背景来介绍概念的演变过程，这让我不仅理解了“是什么”，更理解了“为什么”。这种深度挖掘的讲解方式，让我对数学的理解不再停留在表面，而是能够触及到更深层次的内涵。

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拿到这本书的第一个感觉就是它的分量，沉甸甸的，翻开书页，一股淡淡的油墨香扑鼻而来，瞬间就勾起了我对知识的渴望。这本书的排版设计非常考究，字体大小适中，行间距也刚刚好，阅读起来一点都不费眼。我尤其喜欢它在概念引入部分的处理，总是能够从一个非常直观的例子出发，层层剥茧，将复杂的数学概念化繁为简，让我这个数学“小白”也能看得津津有味。书中的插图也运用得恰到好处，那些精美的图表不仅美化了页面，更重要的是帮助我理解抽象的数学原理。我记得在学习某个关于优化的章节时，书中绘制的那个立体模型图，简直是神来之笔，一下子就把我困扰了很久的问题给点通了。而且，作者在讲解过程中，似乎总能预见到读者可能会遇到的困惑，并提前给出解答，这种“先见之明”的设计，让我在学习的道路上少走了许多弯路。总而言之，这本书给我留下了深刻的第一印象，我对后续的学习充满了期待。

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我之所以会选择这本书，很大程度上是因为它的封面设计和作者的声誉。拿到书后，我发现它的内容质量更是超出了我的预期。书中在某些章节，特别是涉及到一些前沿理论的介绍时，作者似乎倾注了大量的心血，将一些最新研究成果以一种易于理解的方式呈现出来。我注意到书中还引用了一些非常有价值的参考文献，这为我进一步深入学习提供了方向。更让我惊喜的是，书中还附带了一些在线学习资源和辅助工具的链接，这使得学习不再局限于纸质书本，而是能够利用更丰富的多媒体资源进行辅助。这种与时俱进的学习方式，让我感觉自己能够紧跟数学发展的步伐。而且，这本书在细节处理上也非常到位，例如书签页的设计、索引的清晰度等等，都体现了出版方的专业和用心。

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作为一名学生，我最看重的是一本书的实用性和可操作性。这本书在这方面做得非常出色。在讲解每一个理论之后，作者都会给出大量的实际应用案例，并且清晰地展示了如何将理论模型应用于解决实际问题。例如，在介绍某个数据分析方法时，书中不仅详细阐述了算法的原理，还提供了相应的代码实现思路，甚至还引用了实际项目中的数据进行模拟分析。这对于我来说，简直是如获至宝。我能够通过这些案例，将书本上的知识与我未来的专业方向联系起来，了解到这些数学工具在实际工作中究竟能发挥什么样的作用。书中的练习题设计也很有层次感，从基础的计算练习到复杂的应用分析，循序渐进，能够有效地提升我的解题能力。我尝试做了几道应用题，发现书中的讲解确实能够指导我一步步地得出正确答案，这种成就感是学习中最宝贵的财富。

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