线性代数·复变函数·概率统计习题全解(中册) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:大连理工大学出版社

作者:陈小柱

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2000-10-01

价格:7.0

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isbn号码:9782000004998

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• 复变函数
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深入解析与应用：高等数学核心专题精讲 本书聚焦于高等数学体系中的几个核心且相互关联的领域：微积分（单变量与多元）、常微分方程（ODE）基础以及向量代数与空间几何初步。我们力求提供一个既扎实于理论基础，又紧密联系实际应用的深度解析框架，旨在帮助学习者建立起对这些数学工具的直观理解和熟练运用能力。 本书的编排逻辑遵循“概念引入—理论推导—典型例题—综合应用”的路径，确保读者能够逐步消化吸收复杂概念。我们深知，高等数学的学习往往需要在抽象思维与具体计算之间找到平衡点，因此，本书在每一章节都投入了大量的篇幅来剖析解题思路的形成过程，而非简单地罗列公式和答案。 第一部分：微积分的精湛技艺——从极限到积分的完整构建 本部分是全书的基石，详细覆盖了单变量函数和多元函数微积分的全部核心内容。 第一章：极限与连续性——数学分析的起点 我们首先从严格的 $epsilon-delta$ 定义出发，确立极限的严密概念。对于数列极限和函数极限，我们不仅展示了计算技巧（如洛必达法则的精确使用条件、等价无穷小替换的适用范围），更深入探讨了极限在傅里叶分析预备知识中的作用。 连续性分析： 详细区分了点态连续、一致连续的概念。在讨论闭区间上连续函数的性质时，我们特意引入了反证法的构建，以证明介值定理和极值定理的必要性。 无穷小与无穷大： 辨析了高阶无穷小与比无穷小之间的数量关系，强调在进行渐近分析时，必须保持等价替换的精确度，避免在涉及级数求和或积分估计时引入不可接受的误差。 第二章：导数与微分——瞬时变化率的精确捕捉 导数的定义被视为切线斜率和瞬时变化率的统一描述。本章重点强化对微分法则的熟练运用，尤其是复合函数求导（链式法则）的层次分解。 微分在近似计算中的应用： 详细阐述了一阶微分 $mathrm{d}y$ 如何作为 $Delta y$ 的线性近似，并在误差分析中扮演的角色。 中值定理的几何与代数意义： 罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的几何直观被充分可视化。特别是拉格朗日中值定理，作为后续泰勒公式和微分方程解的存在性证明的关键工具，我们对其证明过程进行了详尽的分解。 第三章：不定积分的技巧与策略 不定积分被视为求导的逆运算，其难度主要在于技巧的选择和整合。本章不追求覆盖所有罕见积分类型，而是专注于构建一套高效的解题策略树。 基本积分公式的熟练运用： 包括指数函数、三角函数、反三角函数和双曲函数的积分。 积分技巧的层级选择： 明确了在面对一个积分式时，应优先尝试的策略顺序：有理函数（部分分式分解）、三角代换（依据根式特征）、分部积分（判断选择哪个函数被积分、哪个函数被求导）。 特殊积分： 对形如 $int R(x, sqrt{ax^2+bx+c}) mathrm{d}x$ 的积分进行了专门的讨论，强调欧拉替换法的适用性。 第四章：定积分与微积分基本定理——连接微分与积分的桥梁 本章的核心是微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式），它将定积分的计算与不定积分的求解完美联结起来。 定积分的物理与几何意义： 讨论了定积分在计算面积、体积、弧长、功和质心等物理量中的应用。 广义积分： 深入探讨了瑕积分（积分区间无限或被积函数在区间内有无穷间断点）的收敛性判断标准，特别是利用比较判别法和极限比较判别法来判定瑕积分的敛散性。 第二部分：多元函数的精妙世界与空间几何基础 本部分将视野从一维扩展到多维空间，引入了偏导数、多重积分和向量场分析的初步概念。 第五章：多元函数微积分的扩展 本章将一元函数的概念推广至 $mathbb{R}^n$ 空间，重点在于处理多维结构带来的复杂性。 偏导数与全微分： 明确区分偏导数（沿着坐标轴方向的变化率）与方向导数（任意方向的变化率），并利用全微分对函数进行局部线性近似。 高阶偏导数与混合偏导数： 讨论了 Clairaut 定理（混合偏导数相等）的条件和意义，并将其应用于极值判别。 泰勒公式在多元函数中的应用： 构建了二元函数的泰勒公式，并利用其二阶项（海森矩阵）来确定局部极值的性质。 第六章：多重积分与坐标变换的威力 多重积分（二重、三重）是求解空间内累积效应的强大工具。本章强调坐标系变换在简化积分计算中的决定性作用。 直角坐标系下的计算： 详细分析了积分次序的交换（Fubini 定理的实际应用），这是处理复杂区域积分的关键技巧。 坐标变换的几何解释： 深入剖析了极坐标、柱坐标和球坐标变换的雅可比行列式 $J$ 的物理意义——它代表了坐标系微小变化时面积或体积的局部放大（或缩小）因子。我们通过具体案例演示了如何利用 $J$ 来简化复杂边界下的积分。 第七章：线积分与面积分（初步） 本部分引入了对曲线和曲面的积分概念，这是物理场论的数学前奏。 格林公式的奠基： 在平面上，我们将线积分的计算与二重积分联系起来，重点理解 $oint_L Pmathrm{d}x + Qmathrm{d}y$ 中 $P$ 和 $Q$ 的物理意义（如保守场中的势能与旋度）。 第三部分：向量代数与解析几何的严谨表述 本部分是连接代数、几何与微积分的桥梁，使用向量语言来清晰地描述空间中的点、线、面关系。 第八章：空间向量与直线、平面方程 本章的核心是利用向量（特别是点积和叉积）来解决空间几何问题。 点积（内积）： 用于度量两个向量的“共线”程度，是求解投影和判断垂直关系的基础。 叉积（外积）： 用于生成一个同时垂直于两个给定向量的向量，其模长与由这两个向量构成的平行四边形的面积成正比。这为法向量的确定提供了直接方法。 直线与平面的交点、夹角： 阐述如何利用方向向量和平行于平面的法向量，统一解析地表达这些空间关系。 本书的特色在于强调数学工具的通用性，要求读者不仅记住公式，更要理解公式背后的几何直觉和逻辑推导。通过对每一步计算的细致分解和对关键定理的深入剖析，我们旨在帮助读者跨越从“会计算”到“能建模”的鸿沟。

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从一个工科研究生的角度来看，这本书的侧重点似乎更偏向于理论的严谨性和计算的准确性，而不是那种花哨的、偏向于应用数学的“速成”技巧。复变函数中的积分计算部分，处理得极其细致，涉及到的围道选取和奇异点判断，都给出了非常详尽的分类讨论。这对于我目前正在进行的理论建模工作非常有帮助，因为它要求我对每一步的数学推导都有绝对的把握。概率统计部分，对于大数定律和中心极限定理的证明思路阐述得非常清晰，虽然推导过程略显繁琐，但正是这种繁琐，保证了我们不会在实际应用中因为对定理前提条件的误解而得出错误的结论。这本书的装帧虽然不算豪华，但它的内容密度和知识的深度，绝对值回票价。

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我是一名大三的学生，在准备专业课的期末考试时，手头已经堆了好几本参考书，但总感觉缺乏一本能够将复变函数和概率统计这两个看似不相关的领域有机结合起来的工具书。这本习题全解恰好填补了我的这个空白。它的复变函数部分对留数定理和共形映射的讲解尤为精彩，尤其是那些在工程实际中很有应用背景的例子，让我看到了纯理论知识的实际价值。而概率统计那块，从基础的随机变量到复杂的假设检验，逻辑链条一气呵成，没有丝毫的跳跃感。最让我感到惊喜的是，它在某些章节后面附带了一些“拓展阅读”的建议，虽然不是直接内容，但那种引导我去探索更深层次知识的姿态，让我对这本书的编撰者充满了敬意。这本书的价值，不在于它包含了多少题目，而在于它如何引导你思考。

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说实话，我买这本书是冲着它名字里“习题全解”这四个字去的，因为我个人学习数学最大的短板就是练习不足，而且很多网上的解析都零散且质量参差不齐。这本书的解析部分简直可以单独拿出来作为一本讲义来研究。它不是那种把所有步骤都写得满满当当、让人失去思考空间的解析，而是恰到好处地留白，让你在关键转折点需要自己动脑筋。我发现，即便是那些看似简单的代数运算，作者也会指出其中蕴含的定理依据，这种对基础的尊重非常难得。我用它来巩固之前在课堂上学到的知识，效果立竿见影。它帮助我发现了很多之前被我忽略的、关于符号选择和边界条件处理上的细微差别，这些小细节往往是考试失分的关键。

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这本书的难度梯度设置得非常人性化。它通常以一个基础的概念引入，紧接着就是几个相对简单的例题来巩固理解，然后才开始挑战那些需要综合运用多个知识点的难题。这种由浅入深的结构，让我在攻克那些“拦路虎”式的习题时，没有产生过强的挫败感。我尤其喜欢它在处理一些混合概念的习题时的巧妙设计，比如如何用矩阵变换的思想去理解复平面上的几何操作，这种跨学科的视角非常开阔。虽然我还没有完全做完所有的题目，但就目前接触到的部分来看，这本书无疑是一本可以信赖的、能够陪伴我度过整个高等数学学习阶段的“良师益友”。它的实用性和深度兼具，是我书架上不可或缺的一本工具书。

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这本书的封面设计得非常朴实，几乎没有什么花哨的装饰，这让我一开始对它的期望值不高。然而，翻开目录后，我立刻被其内容的系统性和覆盖范围所吸引。它不仅仅是简单地罗列公式和例题，而是深入浅出地讲解了每一个核心概念背后的逻辑。比如，在涉及线性代数的部分，作者对于向量空间和线性变换的阐述非常到位，即便是初学者也能通过清晰的图示和循序渐进的文字描述来理解这些抽象的概念。我特别欣赏它对“为什么”而不是仅仅“怎么做”的强调，这对于构建扎实的数学思维至关重要。做习题时，如果遇到困难，书后的详细解析能像一位耐心的导师一样，一步步引导你找到症结所在，而不是直接给出标准答案，这种精细的教学方式极大地提升了我的学习效率。这本书的纸张质量也很好，阅读起来眼睛不容易疲劳，长时间学习也不会感到不适。

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