概率论与数理统计 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:高等教育出版社

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出版时间:1900-01-01

价格:15.0

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isbn号码:9787040076905

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离散的几何：非线性动力系统导论 内容提要： 本书并非一本关于概率论或数理统计的教科书，它深入探索了被称为“非线性动力系统”的数学领域。本书旨在为读者提供一个清晰、直观的框架，理解复杂、混沌现象的内在规律和几何结构。我们将从基本的常微分方程（ODE）出发，逐步引入相空间、流、吸引子等核心概念，最终触及决定论的混沌、分岔理论以及拓扑学的基本思想。全书结构严谨，强调几何直觉的培养，并辅以大量的实例和图形演示，力求使抽象的数学概念变得可感、可触。 第一章：系统的构建与基础的几何 本章是全书的基石。我们首先定义什么是“动力系统”，它不仅仅是方程的集合，更是一种描述事物随时间演化的框架。我们将重点讨论连续时间系统，即由常微分方程描述的系统。 1.1 系统的数学模型：从牛顿力学到相空间。我们解析性地探讨一个简单的线性系统（如阻尼振子）是如何在二维平面上描绘其所有可能运动轨迹的。这里的核心是“相空间”——一个容纳系统所有可能状态的抽象空间。 1.2 轨线与流：运动的轨迹。我们引入“流”的概念，即时间参数化的一族映射，它描述了系统在相空间中状态的演化路径。我们区分了稳定的、不稳定的以及中心方向上的轨线。对一个线性系统，我们识别并绘制了鞍点、结点、焦点和中心等基本不动点。 1.3 能量与守恒律：欧拉-拉格朗日方程在动力系统中的体现。对于保守系统，我们探讨了能量如何在相空间中表现为不相交的闭合轨线，这构成了相图的拓扑结构。 第二章：稳定性的本质与不动点的分类 本章的核心任务是研究系统的长期行为。一个系统最终会趋向何处？这完全取决于其“稳定性”。 2.1 线性稳定性分析：雅可比矩阵的应用。我们使用线性化方法来分析不动点附近的局部行为。通过计算雅可比矩阵的特征值，我们可以精确地判断一个不动点是稳定的（吸引的）还是不稳定的（排斥的）。 2.2 庞加莱-李雅普诺夫稳定性概念：超越线性的视角。我们引入李雅普诺夫函数，这是一种更强大的工具，无需线性化即可判断全局稳定性，尤其适用于非线性系统的分析。我们详细讨论了全局渐近稳定性和指数稳定性。 2.3 极限环：周期性运动的几何。极限环代表了系统的一种稳定或不稳定的周期性振荡。我们使用庞加莱截面法（Poincaré Section）来简化高维系统的分析，并将极限环的存在性问题转化为一个离散映射中的不动点问题。 第三章：拓扑学的视角与庞加莱截面 动力系统的几何结构比其精确的代数解更重要。本章引入拓扑学的思想，关注系统的性质在小扰动下是否保持不变。 3.1 拓扑等价与结构稳定性：什么是本质的？我们讨论了什么是拓扑共轭，即两个系统虽然表现形式不同，但其运动轨迹的“连接性”是相同的。结构稳定性强的系统对参数变化不敏感。 3.2 庞加莱截面的威力：降维的艺术。对于一个三维或更高维的连续系统，直接分析其流非常困难。我们通过选取一个适当的“截面”与轨线相交，将连续系统转化为离散映射。这个截面上的点映射描述了系统穿过该平面的历史。 3.3 离散映射的分析：皮卡德迭代与轨道周期。本章利用截面上的映射来分析周期轨道的重复性。我们探讨了对策问题（如 Logistic 映射的早期探索），并为后续的混沌理论做铺垫。 第四章：分岔理论：定性变化的科学 当系统的参数缓慢变化时，系统的长期行为可能会突然发生剧烈的、定性的改变。这就是分岔（Bifurcation）。 4.1 不动点的分岔图景：鞍结分岔。我们详细分析了最简单的分岔类型——鞍结分岔，即一对不动点（一个鞍点和一个结点）的产生或消失。 4.2 周期性运动的诞生：霍普夫分岔。本章的重点是 Hopf 分岔，这是从一个稳定的不动点产生一个稳定的极限环的过程，物理上对应于系统从静止到周期性振荡的转变。我们讨论了超临界和次临界 Hopf 分岔的区别。 4.3 级联分岔与周期倍增：通往混沌的阶梯。我们介绍了周期倍增序列的概念，即系统通过一系列分岔，其周期不断加倍，最终导致混沌的出现。 第五章：混沌的几何与吸引子 混沌系统以其对初始条件的极端敏感性而闻名，但混沌并非完全随机，它具有深刻的内在几何结构。 5.1 确定性混沌的标志：李雅普诺夫指数。我们量化了系统对初始条件的敏感程度，通过计算最大的李雅普诺夫指数来判断一个系统是否处于混沌状态。 5.2 奇异吸引子：混沌的几何形状。对于耗散系统，轨线最终会聚集到一个特定的集合上，这被称为“吸引子”。对于混沌系统，这个吸引子是“奇异的”，它具有非整数的维数（分形结构）。我们引入洛伦兹吸引子作为研究奇异吸引子的经典案例。 5.3 分形的维度：豪斯多夫测度和信息维数。我们探讨了如何用数学工具来描述奇异吸引子的“粗糙”和“多孔”的结构，认识到在混沌中，运动的集合本身是分形几何的体现。 附录：必要的数学工具 本附录回顾了分析动力系统所需的一些核心数学概念，包括常微分方程解的存在唯一性定理、线性代数中特征值和特征向量的计算、以及基本的拓扑概念（如紧集和完备性）。这些工具将作为理解前述章节内容的坚实基础。 --- 本书特色： 几何直觉优先： 强调相图、轨线和吸引子的可视化，而非纯粹的代数运算。 从简单到复杂： 循序渐进地引入线性、稳定性和非线性概念。 物理直觉的渗透： 许多数学概念（如振荡、稳定性、耗散）均与实际物理过程紧密关联。 本书适合具有微积分和线性代数基础的理工科学生、物理学、工程学以及对复杂系统科学感兴趣的研究人员和爱好者阅读。

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这本书的装帧和纸张质量简直是收藏级的享受。我是一个对书籍的物理感非常看重的人，这本书拿在手里沉甸甸的，油墨印刷清晰，没有任何异味，即使长时间阅读，眼睛也不会感到疲劳。然而，抛开硬件上的优点不谈，这本书的内在逻辑结构才是真正让人赞叹的地方。它不像有些教材那样，将概率论和数理统计硬生生地切割开来，而是巧妙地将它们编织在一起，展示出两者之间密不可分的内在联系。作者在引入统计推断的概念时，非常自然地回顾了前面概率论的知识，形成了一个有机的整体。这种宏观的视角，让我意识到统计学并非孤立的学科，而是建立在坚实的概率基础之上的科学大厦。这本书的章节过渡极其流畅，几乎没有“突然跳转”的感觉，读起来犹如行云流水，非常顺畅。对于追求系统性学习和阅读体验的读者而言，这本书无疑是上乘之选。

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我是一个偏爱哲学思辨的读者，在阅读这本书的过程中，我惊讶地发现，即便是如此“硬核”的数学学科，也蕴含着深刻的哲学思辨。这本书在论述“不确定性”这一核心概念时，探讨了客观世界与人类认知之间的张力。作者并没有将概率简单地视为一个计算工具，而是将其置于认识论的高度进行探讨，这极大地拓宽了我的思路。例如，在描述大数定律时，书中引述的历史背景和哲学争论，让我开始思考“随机性”在自然界中究竟意味着什么，这种对底层逻辑的探究，远比单纯的公式推导来得更有吸引力。这本书的语言风格非常内敛而深刻，它很少使用夸张的词汇，但每一个精确的用词都像一把手术刀，直指问题的本质。它要求读者不仅要动手计算，更要动脑思考，去追问每一个假设背后的合理性。这本书适合那些渴望在技术之外寻求更深层次理解的求知者。

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坦白说，这本书的阅读难度不低，它绝对不是那种可以随便翻阅的“轻松读物”。对于初学者来说，可能需要投入相当大的精力去啃读每一个定理的证明。我记得有几个关于极限和收敛性的证明部分，我反复看了不下五遍才勉强理清头绪。然而，正是这种挑战性，使得最终的收获显得格外珍贵。这本书的严谨性毋庸置疑，它忠实地记录了数学推导的每一步细节，毫不含糊地展示了从公理到结论的完整路径。它教会了我耐心，教会了我面对复杂问题时，不应轻易妥协于表面的答案，而要深入挖掘其数学本质。对于那些已经有一定数学基础，希望将知识体系打磨得更坚固、更无懈可击的进阶学习者来说，这本书就像一座难以攀登却风景绝佳的高峰。一旦你征服了它，你看待一切量化分析问题的方式都会随之升华。

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这本书简直是打开了我对数字世界理解的一扇新大门，尤其是它对于抽象概念的阐述，简直可以用庖丁解牛来形容。作者似乎有一种魔力，能将那些原本看起来高深莫测的公式和定理，转化为一系列逻辑严密、层层递进的故事。我记得刚开始接触这方面的知识时，经常被各种符号和定义绕得晕头转向，感觉就像在迷雾中摸索。然而，读了这本书后，那种豁然开朗的感觉真是令人陶醉。它不仅仅是罗列知识点，更注重构建一个完整的思维框架，让你明白“为什么”会是这样，而不是仅仅记住“是什么”。特别是关于随机变量和期望的章节，作者用生活中的例子来阐释，让人在捧腹大笑之余，对核心概念有了深刻的把握。这本书的排版和插图也很有匠心，清晰的图表有效地辅助了复杂的推导过程，大大减轻了阅读负担。毫无疑问，这是一本值得反复品读的佳作，对于任何想深入理解背后数字逻辑的人来说，都是一份厚礼。

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老实说，我买这本书的初衷只是为了应付期末考试，没想到竟收获了意外的惊喜。这本书的行文风格非常务实，直击核心，没有过多冗余的理论铺垫，而是大量采用案例分析和问题导向的教学方式。我特别欣赏它对统计推断部分的讲解，那种严谨的论证过程，每一步都像是工匠在打磨一件精美的器物，一丝不苟。作者在介绍假设检验和置信区间时，清晰地勾勒出了决策的逻辑链条，这一点对于我们未来在实际工作中需要基于数据做出判断时，是极其宝贵的财富。这本书的习题设计也非常巧妙，难度适中，既能巩固基础，又能适度地挑战读者的思维极限。我常常做完一套习题后，会花时间去研究一下书后提供的解析，往往能从中发现自己思维的盲区。总的来说，这本书的实用性远超我的预期，它教会我的不仅是解题技巧，更是一种严谨的、基于证据的思考模式。

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