数学分析习题解析（上下） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:陕西师大

作者:任亲谋 编

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2004-10

价格:35.00元

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isbn号码:9787561309940

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深入解析微积分的基石：经典教材的精妙补充 本书并非专注于某一本特定的教材的习题解析，而是立足于数学分析这一学科的本质与核心脉络，旨在为所有学习和使用主流微积分教材（如托马斯、鲁丁、费诺、阿德勒等）的读者提供一个全面、深入且富有启发性的习题解答与概念深化指南。我们的目标是构建一座桥梁，连接理论知识与实际应用，帮助读者跨越从“知道”到“理解”再到“熟练运用”的鸿沟。 全书分为上下两册，紧密围绕现代数学分析的两大核心支柱——一元与多元函数的微积分，以及序列、级数与更深层次的收敛性理论展开。 --- 上册：基础构建与微分学精粹 上册的重心在于夯实读者对极限、连续性、导数以及黎曼积分等基础概念的理解，并着力于展示这些概念在具体问题中的灵活运用。 第一部分：极限与连续性的精微推敲 本部分涵盖了数列极限、函数极限的严格定义（$epsilon-delta$ 语言），以及连续性的深入探讨。我们并未简单罗列定义和例题，而是精选了大量具有迷惑性或陷阱的极限问题。 关键解析点： 详细剖析了如何通过构造反例来证明极限不存在，如何运用夹逼定理处理复杂的三角函数或指数函数的极限。在连续性部分，重点解析了介值定理、极值定理在实际物理模型（如函数的最值问题）中的应用，并对反函数、复合函数的连续性给出了清晰的逻辑推导。例如，对于涉及绝对值的函数，我们会详细展示如何分区间讨论以准确判断其连续性，而非仅凭图像直觉。 第二部分：导数与微分——变化的精确量度 导数的概念是微积分的灵魂。本部分对求导法则的推导（链式法则、乘积法则的归纳证明）进行了详尽的梳理，并聚焦于高阶导数的应用。 核心应用与技巧： 深入分析了罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的几何意义和代数用途。习题解析中，我们会花费大量篇幅讲解洛必达法则的正确使用前提和适用范围，特别指出当两个极限形式都趋于不定式但洛必达法则不适用时，应如何巧妙地变换表达式。隐函数求导和参数方程求导的混合题型，也被系统地分类和解答，强调变量替换的逻辑链条。 第三部分：积分学的初步探索——定积分的构造与性质 本册的后半部分转向定积分。我们从黎曼和的定义出发，细致地展示了如何通过逼近来构造积分，理解积分的几何意义——面积的精确计算。 技术与理论结合： 对于基本积分公式的推导，我们强调了变上限函数的求导性质，这是连接微分与积分的桥梁。在定积分的计算技巧方面，我们不仅涵盖了分部积分法和换元积分法的标准步骤，更侧重于何时选择特定方法（例如，如何识别出适合使用三角代换的积分形式，或何时应利用定积分的对称性来简化计算）。对于涉及反常积分的初步引入，我们也给出了严格的收敛性判断入门案例。 --- 下册：深度拓展与理论的严谨性 下册将视角转向更复杂的函数结构、无穷级数，并引入更严谨的分析工具，为读者迈向高等数学（如实分析）打下坚实的基础。 第一部分：积分的应用与进阶技巧 本部分深化了定积分的应用，并引入了积分的广义概念。 几何应用与物理建模： 详细解析了曲率、弧长、旋转体的体积和表面积的计算。对于这些几何问题，我们的解析重点在于如何正确地建立积分的上下限，以及如何选择合适的截面或薄片进行积分。此外，针对具有奇点的积分（反常积分），我们系统地梳理了判断其收敛性的判别法（比较判别法、极限比较判别法），并给出了具体的收敛与发散的实例分析。 第二部分：序列、级数与收敛性的严密考察 这是本书最具挑战性、也是最能体现数学分析严谨性的部分。我们详细解答了关于无穷序列极限的判定和无穷级数和的求解问题。 级数判别法的综合运用： 针对调和级数、p-级数、几何级数等基础级数，给出了严格的证明。对于更复杂的级数，我们系统地演示了比值判别法、根值判别法、积分判别法以及狄利克雷判别法（用于条件收敛）。特别强调了幂级数的收敛半径和收敛区间的确定方法，以及如何通过对已知幂级数进行逐项求导或积分来构造新的级数表达式。 第三部分：多变量微积分的奠基 本部分是向多元分析过渡的关键环节，重点关注偏导数、方向导数和多重积分的初步概念。 偏导数的理解与链式法则的扩展： 我们解析了偏导数与全微分的联系，并针对偏导数在空间几何（如切平面、法向量）中的应用题进行了解答。在二重积分方面，重点阐述了直角坐标系、极坐标系以及一般坐标变换下的积分区域的设定与雅可比行列式在面积（或体积）缩放中的作用。我们通过具体实例，演示了如何根据积分区域的形状，灵活地选择最优的积分次序（dx dy vs dy dx）。 --- 整体特色：超越“标准答案” 本书的精髓不在于提供一个标准化的解题流程，而在于解析每一步背后的数学逻辑和思维模型。对于每一个习题，我们都遵循以下模式进行解答： 1. 问题识别： 明确该题考察的核心概念和技巧。 2. 理论回顾： 简要提及相关定理或公式的适用前提。 3. 解题路径： 展示多种可能的解题思路（如果存在），并说明最优路径的选择依据。 4. 关键步骤详述： 对易错点、技巧点进行特别标注和详细推演。 5. 结论与延伸： 总结此题能引申出的更深层次的结论或在其他领域中的联系。 通过这种结构化的解析，读者将不再满足于“算出答案”，而是能够真正掌握数学分析中从定义到证明，从计算到理论升华的完整思维体系。本书适合作为任何主流数学分析教材的学习伙伴，是自学、备考或查漏补缺的理想资源。

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这本书的“习题解析”部分，用“解析”来形容实在有些夸张，更像是“答案罗列”。我期待的是那种充满启发性的步骤分解，是能够展示如何将抽象理论应用于具体问题的思维路径。然而，我打开习题后面，看到的往往是一串令人费解的符号推演，关键的、需要灵感的步骤直接被省略了。比如面对一个复杂的级数收敛性判断，书中可能直接给出了一个大胆的替换和结论，中间那段需要读者自己去“顿悟”的桥梁完全是缺失的。这对于培养独立解题能力是非常有害的，因为它没有教会我“如何思考”，只是告诉我“正确的结果是什么”。对于依赖解析来巩固理解的人来说，这种“光给鱼不给网”的做法，让人倍感挫败。

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从装帧质量上来说，这本书的耐用性令人担忧。我买了上下两册，才使用不到一个月，胶装的部分就已经开始松动，侧面已经能看到书页和书脊之间出现了细微的裂痕。尤其是内页的纸张，反射光线严重，在任何非直射光源下阅读，都会产生刺目的反光，这对于长时间伏案演算的读者来说，简直是种折磨。更糟糕的是，纸张的吸墨性似乎也不太理想，有些使用钢笔书写的笔记，边缘出现了轻微的洇墨现象。一本承载如此重要知识体系的工具书，理应具备与其学术价值相匹配的物理品质，但很显然，这套书在选择材料和制作工艺上是极度节俭的，完全没有考虑到长期使用的需求。

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这本书最大的问题在于其示例和习题的覆盖面严重失衡。它似乎偏爱于那些结构规整、易于代数操作的经典案例，对于现代分析中出现的一些更具挑战性、需要结合拓扑或泛函思想的新型问题，几乎没有涉猎。我希望通过习题来拓展我的视野，了解这些理论在更广阔的数学领域中的应用边界，但这本书提供的练习大多停留在五十年代的标准考察点上。当你试图将书中学到的知识点应用到一个稍微偏离常规的变体问题时，你会发现无处可寻，没有哪怕一个“拓展阅读”或者“高级选做”来指引方向。它像是一个固定在过去时代的标本，精确但缺乏生命力和前瞻性。

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我必须承认，这本书的内容深度是无可挑剔的，它确实涵盖了高等数学分析领域内最核心、最精妙的部分。从 $epsilon-delta$ 语言的严谨性建立，到傅立叶分析的巧妙应用，几乎每一个知识点都被挖掘到了极致。然而，这种对深度的追求似乎是以牺牲读者的可接近性为代价的。作者的叙述风格极其精炼，有时候简洁到近乎冷漠，仿佛读者已经完全掌握了前置知识，可以直接跃升到最前沿的思考层面。对于那些初次接触这些概念，或者需要更细致引导的自学者来说，这本书的门槛高得令人望而却步。它更像是一本给研究生或已经有扎实基础的同行准备的参考手册，而不是一本面向大众的教学用书。如果你想快速入门或者找一本能“手把手教你”的书，请避开它，它不会给你任何温和的过渡。

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这本教材的排版简直是灾难，看得我头都大了。明明是大学数学的经典内容，却被印成了这个样子，简直是对知识的侮辱。字体大小不一，行距忽宽忽窄，很多公式的编号和正文挤在一起，根本没法集中注意力去理解那些抽象的概念。尤其是那些涉及到极限和积分的证明过程，本该清晰明了的逻辑推导，在这样的排版下显得杂乱无章，常常需要我反复对照才能搞清楚哪个步骤承接了上一个。感觉作者和编辑在制作这本书的时候，对阅读体验完全没有概念，纯粹就是把手头上的资料一股脑塞进书里，然后随便找个印刷厂交差了事。对于需要长期面对这些复杂理论的学习者来说，这种粗糙的物理呈现，极大地增加了学习的心理负担和实际阅读的难度。我花了大量时间试图适应这种混乱，但最终还是决定放弃，另寻他法。

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