整体微分几何初步 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:浙江大学出版社

作者:沈一兵

出品人:

页数:274

译者:

出版时间:2005-10

价格:13.50元

装帧:

isbn号码:9787308045018

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 微分几何
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• 整体微分几何
• 流形
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• 张量分析
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• 微分形式
• 联络理论

现代数学的几何视角：从拓扑到解析的桥梁 图书简介 本书旨在为读者系统介绍微分几何的现代基础，重点聚焦于可微流形、张量分析以及黎曼几何的核心概念。这不是一本对任何特定教材的模仿或重复，而是力图以一种清晰、循序渐进的方式，为读者构建一个坚实的理论框架，使他们能够独立理解和应用现代几何学工具。本书的独特之处在于，它不仅强调纯粹的拓扑结构，更深入挖掘了由黎曼度量引入的解析结构，探讨这两者如何有机地结合，为物理学和更广泛的数学领域提供强有力的描述工具。 --- 第一部分：流形的基础与拓扑结构 微分几何的基石在于“流形”这一概念。本部分将从拓扑空间出发，逐步过渡到可微流形（Differentiable Manifolds）的严格定义。 1.1 拓扑回顾与推广 首先，我们将简要回顾必要的拓扑学知识，包括连通性、紧致性以及分离公理。然后，我们引入拓扑流形的概念，强调局部欧几里得性的重要性。这部分内容旨在建立一个直观的几何图像：即局部看来是平坦的、可用坐标描述的空间。 1.2 可微结构：从图作成映射 流形之所以“可微”，依赖于其上的坐标图册（Atlas）和转移映射（Transition Maps）的平滑性。我们将详细讨论如何保证在不同坐标系切换时，微积分的运算保持一致性。重点分析了 $ ext{C}^k$ 级可微性的精确要求，并区分了光滑流形（$ ext{C}^infty$）与解析流形。 1.3 切向量空间与向量场 微分几何的“微分”一词，其核心在于对切空间（Tangent Space）的构建。我们将严格定义切向量，阐明它是如何通过链式法则和对曲线的导数来捕捉流形上“方向”的。切向量空间 $T_pM$ 是理解后续所有微分运算的基础。 随后，我们将切向量场定义为光滑地指定流形每一点切向量的向量赋值函数。这为研究向量场的积分曲线、局部流（Local Flow）以及微分方程在流形上的解提供了工具。我们还将探讨流的生成元性质及其与李导数（Lie Derivative）的初步联系。 1.4 张量：多线性代数的几何化 张量是微分几何中不可或缺的语言。本部分将细致区分协变张量（余切空间 $T^M$ 上的多重线性函数）和反变张量（切向量空间上的多重线性函数）。我们将利用张量积和张量积空间的分解，清晰界定 $k$ 阶（$p, q$）张量的精确含义。 更重要的是，我们将展示张量是如何在坐标变换下保持其本质不变性的，这证明了张量是内禀于流形本身的几何对象，而不是坐标系的产物。 --- 第二部分：微分形式与积分 本部分将引入微分几何中描述“量”和“流”的关键工具——微分形式，并为其在流形上进行积分奠定基础。 2.1 外微分代数 我们从切空间上的线性函数（1-形式）开始，构造楔积（Wedge Product），从而构建出外代数 $Lambda^k(T^M)$。详细讨论了楔积的反对称性及其与叉积在欧几里得空间中的联系。 2.2 外导数（Exterior Derivative） 外导数 $d$ 是微分几何中最重要的算子之一。我们将它定义为自然地推广了传统微积分中的梯度、旋度和散度。重点讨论其满足的牛顿-莱布尼茨公理的推广，即 $d^2 = 0$ 的深刻含义。 2.3 同调与拓扑的联系 通过引入德拉姆上同调群 $ ext{H}^k_{ ext{dR}}(M)$，我们将微分形式的代数结构与流形的拓扑不变量联系起来。严格阐述庞加莱引理（Poincaré Lemma）和德拉姆定理（De Rham's Theorem），展示了闭微分形式模恰当微分形式的空间如何刻画流形的拓扑结构，为证明拓扑不变性提供了强大的分析工具。 2.4 流形上的积分 最后，我们将定义定向流形的概念，这是进行积分的先决条件。在此基础上，我们构建了 $k$ 维流形上 $k$ 形式的积分。随后，我们将严格证明斯托克斯定理（Stokes' Theorem），这是连接微分运算（外导数）与积分的终极桥梁，它统一了微积分中的基本定理，如格林公式、高斯公式和斯托克斯定理本身。 --- 第三部分：黎曼几何的引入 在建立了流形和微分形式的框架后，本部分引入度量结构，从而将“形状”和“长度”的概念赋予流形。 3.1 黎曼度量：内积的局部化 黎曼流形是微分几何的核心研究对象。我们将黎曼度量张量 $g$ 定义为每个切空间上的一个正定对称双线性形式。这使得我们能够测量切向量的长度（范数）和它们之间的夹角。 3.2 度量诱导的结构 黎曼度量使得切空间 $T_pM$ 成为一个内积空间，从而我们可以自然地定义： 1. 上指标与下指标的升降：利用度量张量 $g$ 及其逆 $g^{-1}$ 在协变和反变张量之间进行转换。 2. 拉普拉斯-德拉姆算子 ($Delta$)：此算子是黎曼度量下推广的拉普拉斯算子，它在几何分析中占据核心地位。 3.3 联络与测地线 为了描述流形上“平行移动”的概念，我们必须引入联络（Connection）。我们将重点放在黎曼联络（Levi-Civita Connection）上，该联络是唯一满足无挠性（Torsion-free）和度量兼容性（Metric Compatibility）的联络。 基于黎曼联络，我们将定义测地线（Geodesics）——它们是流形上“最短路径”的推广。通过将测地线方程解释为特定的二次微分方程，我们探讨了它们如何成为黎曼流形上的“直线”。 3.4 曲率的度量：黎曼曲率张量 最后，我们将曲率定义为联络偏离“平直”的程度。黎曼曲率张量 $R$ 是衡量流形局部弯曲程度的关键量。我们将展示如何利用曲率张量来定义截面曲率（Sectional Curvature），并探讨这些曲率不变量如何影响流形上的几何性质，例如： 里奇曲率（Ricci Curvature）：它与爱因斯坦场方程中的物质能量张量有直接联系。 标量曲率（Scalar Curvature）：它是曲率张量的度量总结。 通过对这些核心概念的深入剖析，读者将能够从基础拓扑结构出发，掌握描述空间形状、长度和曲率的强大分析工具，为进一步研究广义相对论、规范场论或代数拓扑中的相关主题打下坚实的基础。

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（三）《高等代数：结构与抽象》这本书，老实说，初读时有些令人望而生畏，因为它毫不留情地直面了群、环、域这些抽象概念的核心。然而，一旦你跨越了最初的障碍，就会发现其内在的美感和逻辑的严密性。作者的行文风格非常“欧式”，偏爱用最简洁的语言勾勒出最宏大的结构。书中对同态和同构的论述精妙绝伦，尤其是通过构造函数和核空间来揭示不同代数结构之间的内在联系，让人不得不惊叹于数学家们构建理论体系的优雅。它没有过多地纠缠于具体的矩阵运算细节，而是将焦点完全放在了结构本身——什么是保持运算的性质？什么样的元素可以被视为“相同”？这种高度的抽象性，虽然对初学者要求较高，但对于希望深入理解数学本质的人来说，它提供了一个坚实而可靠的基石。我感觉自己仿佛在攀登一座逻辑的珠穆朗玛峰，每征服一个定理，对整个数学世界的理解就更清晰一分。

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（五）我必须承认，《材料科学基础：微观结构与宏观性能》这本书的深度远超我的预期。它成功地架起了一座坚固的桥梁，连接了原子尺度的晶体结构缺陷与宏观的力学性能变化。作者对晶体学和热力学的结合运用堪称一绝，尤其是对相图的解读，不仅仅是“看懂图例”，而是深入剖析了为什么在特定温度和压力下材料会选择特定的微观组织形态，这直接决定了它的强度和韧性。书中对于位错理论的阐述非常透彻，如何从最基础的点缺陷扩展到线缺陷对金属塑性变形的影响，逻辑链条完整且令人信服。此外，关于陶瓷和聚合物的特殊性能介绍也十分到位，并没有简单地将其视为金属的边缘案例，而是分别论述了其独特的微观结构如何产生与其类别相匹配的优异特性。对于想从事材料研发或失效分析工作的专业人士来说，这本书提供了必要的、扎实的理论框架，阅读过程虽然需要投入大量的精力，但最终收获的知识广度和深度绝对物超所值。

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（二）读完《概率论与数理统计：现代视角》，我有一种醍醐灌顶的感觉，它彻底颠覆了我过去对统计学“枯燥、全是公式”的刻板印象。这本书的撰写者显然是一位在教学和实践中摸爬滚打多年的行家，他巧妙地将抽象的概率模型与现实世界中的复杂决策场景紧密结合起来。最让我印象深刻的是，它并没有把重点放在那些繁琐的证明上，而是着重于如何运用统计思维去分析数据、做出合理的推断。例如，在介绍贝叶斯推断时，作者没有直接抛出复杂的积分公式，而是通过一个生动的医学诊断案例，让读者直观感受到先验知识和观测数据如何共同作用形成后验概率，这种叙事手法极大地降低了理解门槛。关于假设检验的部分，书中强调了“犯错的代价”，提醒读者统计结论并非绝对真理，而是基于特定置信水平下的最佳判断，这种严谨而审慎的态度非常值得称赞。总之，这本书不仅教会了我“怎么算”，更重要的是教会了我“怎么想”。

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（四）关于《计算机网络：从协议到应用》这本书的评价，我只想用“实用主义的典范”来形容。它不像某些教科书那样，将精力过度集中在 OSI 七层模型的僵硬划分上，而是非常注重协议栈在实际网络环境中是如何协同工作的。作者的叙述节奏把握得非常好，先搭建起应用层（HTTP、DNS）的用户视角，然后再层层向下钻探到传输层（TCP 的拥塞控制细节）和网络层（路由选择算法的直观解释）。书中对于 TCP 三次握手和四次挥手的动态过程描述得极其细致，配上了清晰的序列图，即便是网络初学者也能瞬间理解其中的状态转换和可靠性保障机制。更赞的是，书中包含了大量关于性能优化和故障排除的案例分析，这些内容在实际工作中简直是救命稻草。它不是一本纯粹的理论参考书，而是一本真正能帮助工程师解决实际问题的工具手册，每一章的末尾都有助于将理论知识转化为可操作的技能。

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（一）这本《经典力学导论》简直是物理学初学者的福音！它的叙述方式非常清晰明了，循序渐进地引导读者进入理论物理的殿堂。作者似乎深谙如何将那些抽象晦涩的概念用生动形象的语言表述出来，比如对拉格朗日量和哈密顿量的引入，绝不是干巴巴的公式堆砌，而是充满了对物理直觉培养的考量。我特别欣赏书中对约束系统和虚功原理的讲解，那种层层剥开迷雾的感觉，让人在解题时不仅仅是套用公式，而是真正理解了力是如何在特定约束下运作的本质。此外，书中附带的大量例题和习题，设计得非常巧妙，难度梯度控制得恰到好处，从基础的单摆到更复杂的陀螺仪问题，都提供了详尽的解答步骤和思考路径，这对于自学者来说简直是无价之宝。读完前几章，我对牛顿力学的局限性以及向分析力学过渡的必要性有了深刻的认识，感觉自己的物理视野被极大地拓宽了。这本书绝对值得所有对理论物理感兴趣的读者，尤其是本科阶段的学生，反复研读。

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运动方程微分得到结构方程，结构方程内蕴，结构方程是运动方程的可积条件；已知结构方程和运动方程就可以知道联络曲率第一第二基本形式，高维欧氏空间运动方程和其微分得到结构方程通过限制得到了超曲面的运动方程

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运动方程微分得到结构方程，结构方程内蕴，结构方程是运动方程的可积条件；已知结构方程和运动方程就可以知道联络曲率第一第二基本形式，高维欧氏空间运动方程和其微分得到结构方程通过限制得到了超曲面的运动方程

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从第零章开始`````蛮清楚的~

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从第零章开始`````蛮清楚的~

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运动方程微分得到结构方程，结构方程内蕴，结构方程是运动方程的可积条件；已知结构方程和运动方程就可以知道联络曲率第一第二基本形式，高维欧氏空间运动方程和其微分得到结构方程通过限制得到了超曲面的运动方程