Geometry and Its Applications, Second Edition pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Academic Press

作者:Walter A. Meyer

出品人:

页数:560

译者:

出版时间:2006-3-7

价格:USD 114.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780123694270

丛书系列:

图书标签:

• 几何
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• Applications
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几何及其应用，第二版 书籍简介 本书旨在为读者提供一个全面而深入的几何学基础，同时重点阐述其在现代科学与工程领域中的广泛应用。第二版在保留第一版核心内容的基础上，进行了大量的修订与补充，旨在更好地反映当前数学研究的前沿进展和实际应用的需求。本书结构清晰，逻辑严密，内容涵盖了从古典几何到现代微分几何、拓扑学以及离散几何等多个重要分支，旨在培养读者严谨的数学思维和解决实际问题的能力。 本书的目标读者包括但不限于数学、物理、工程学、计算机科学以及相关交叉学科的高年级本科生、研究生以及专业研究人员。对于希望深入理解几何学理论基础及其在应用中扮演角色的读者，本书是理想的参考资料。 --- 第一部分：欧几里得几何基础与分析方法 本部分着重于巩固读者对经典几何学的理解，并引入分析工具来处理几何问题，为后续更高级的主题打下坚实的基础。 第一章：欧几里得空间与基础变换 本章从集合论和向量空间的基础出发，回顾欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 的基本性质。重点讨论内积、范数、距离和角度的定义。详细分析了欧几里得空间中的刚体运动，即正交变换（旋转与反射）和欧几里得刚体运动（如平移与旋转的组合）。通过矩阵表示法，探讨如何用线性代数工具来描述这些几何操作。此外，本章引入了正交基和特征值分解在几何变换中的作用，为理解高维空间中的几何结构提供了分析框架。 第二章：解析几何的深化 本章将几何概念与解析工具紧密结合。我们详细考察平面（$mathbb{R}^2$）和三维空间（$mathbb{R}^3$）中的曲线和曲面。在 $mathbb{R}^2$ 中，重点分析二次曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）的参数方程、极坐标表示以及它们的几何性质（如焦点、准线、离心率）。在 $mathbb{R}^3$ 中，我们引入了二次曲面（如球面、椭球面、抛物面、双曲面）的分类，并使用二次型理论来识别和简化它们的标准形式。本章还探讨了从高维视角看待低维对象的投影与截面，为理解更高维几何做铺垫。 第三章：射影几何的引入 射影几何作为欧几里得几何的自然推广，在本章中被引入。我们构建了射影空间 $mathbb{P}^n$，并探讨了齐次坐标系的概念。本章的核心是射影变换（或称透视变换）的研究，这些变换保持直线性和交点不变。我们分析了射影平面上的对偶性原理，以及交点、完全四点、交比等重要不变量。通过射影几何的视角，许多看似复杂的欧几里得性质（如平行线的消失）得到了统一的解释。本章为理解计算机图形学中的透视投影奠定了理论基础。 --- 第二部分：微分几何导论：曲线与曲面 本部分是本书的核心内容之一，它将微积分的工具应用于研究光滑曲线和曲面的内在与外在几何性质。 第四章：空间曲线的微分几何 本章聚焦于三维空间中光滑曲线的研究。我们严格定义了曲线的自然参数化——弧长参数化，并引入了描述曲线弯曲程度的曲率概念。随后，我们发展了弗雷内-塞尔公式（Frenet-Serret Formulas），这是一组描述曲线在空间中局部行为的微分方程组。通过引入挠率（Torsion）来度量曲线偏离平面的程度，我们实现了对空间曲线在三维空间中形态的完全描述。本章还探讨了曲线的等距变换（Isometry）以及在各种力学问题（如轨道力学）中的应用。 第五章：曲面的第一、第二基本形式 本章将分析工具推广到二维曲面。我们首先定义了曲面的参数化表示，并引入了第一基本形式（First Fundamental Form），它允许我们在不离开曲面本身的情况下，度量曲面上的长度、角度和面积，从而定义了曲面的内蕴几何。随后，我们引入了第二基本形式（Second Fundamental Form），它描述了曲面嵌入三维空间中的弯曲程度，是研究曲面的外在几何的关键。 第六章：曲面的曲率理论 基于第一和第二基本形式，本章深入研究了曲面的曲率概念。我们定义了主曲率、高斯曲率（Gaussian Curvature）和平均曲率（Mean Curvature）。高斯曲率作为曲面的一个内蕴不变量，其意义在高斯绝妙定理（Theorema Egregium）中得到了深刻的揭示——高斯曲率可以通过曲面第一基本形式的函数计算出来，而无需参考曲面在外部空间中的嵌入方式。本章还分析了特殊曲面（如球面、圆柱面、环面）的曲率性质，并讨论了测地线（Geodesics）——曲面上的“直线”。 --- 第三部分：拓扑学与几何的联结 本部分将视野从度量几何扩展到更抽象的拓扑结构，探讨形状的本质不变性。 第七章：一般拓扑空间基础 本章引入了拓扑学的基本概念。我们从点集拓扑出发，定义了拓扑空间、开集、闭集、邻域、连续性、紧致性（Compactness）和连通性（Connectedness）。这些概念使我们能够讨论空间在连续形变下的不变量。我们特别关注度量空间（Metric Spaces）作为拓扑空间的一个重要子类，并复习了完备性（Completeness）的概念。 第八章：基本群与连通性 本章的核心是研究空间的代数拓扑不变量——基本群（Fundamental Group）。我们定义了路径和同伦，并使用基本群来区分那些无法通过连续形变相互转化的空间（例如圆和圆盘）。通过计算一些基本几何对象（如圆周 $S^1$、圆盘 $D^2$、环面 $T^2$）的基本群，读者将体会到拓扑学在区分几何形状上的强大能力。 --- 第四部分：几何学的现代应用 本部分将前述理论应用于现代科学与工程中的具体领域，展示了几何学作为解决实际问题的强大工具的价值。 第九章：黎曼几何初步 本章将微分几何推广到更一般的流形（Manifolds）上。我们从一个正定二次型（黎曼度量）的观点来定义黎曼流形。这使得我们可以在不依赖嵌入空间的情况下，讨论流形上的长度、角度和曲率。本章简要介绍了切空间、协变导数和黎曼曲率张量，为理解爱因斯坦的广义相对论中的时空几何提供了数学框架。 第十章：离散几何与计算几何 在计算机和数据科学时代，离散几何的重要性日益凸显。本章探讨了连续几何概念在离散结构上的离散化。重点内容包括Delaunay三角剖分、Voronoi图及其在最近邻搜索、网格生成中的应用。我们还讨论了计算几何中的凸包算法，以及如何使用离散微分几何的工具来处理计算机图形学中的曲面建模和网格优化问题。 第十一章：应用案例：数据形状分析 几何学在数据科学中的应用日益深入。本章介绍拓扑数据分析 (TDA) 的基本思想，特别是持续同调 (Persistent Homology)。通过将数据点集视为一个模糊的拓扑空间（通过构建 Vietoris-Rips 复合体），我们可以使用持续同调来识别数据内在的“洞”和“连通分量”，从而揭示高维数据结构中的本质特征，这在生物信息学和复杂网络分析中具有重要价值。 --- 总结与展望 《几何及其应用，第二版》力求在深度和广度之间取得平衡。通过从欧几里得空间出发，逐步过渡到微分几何和拓扑学的抽象世界，再回归到现代计算和数据分析的应用，本书旨在展示几何学作为一门统一的科学，如何为理解我们周围的世界提供最基础和最优雅的语言。第二版对应用章节的加强，确保了本书的理论框架能够与最新的技术发展保持同步。

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说实话，这本书的深度超出了我原先的预期，它并非那种只停留在公式推导和习题堆砌的平庸之作。我更倾向于将其视为一本思想的钥匙，它不仅仅是在教我“如何做几何”，更是在启发我“如何思考几何”。书中对拓扑学和微分几何的初探部分，虽然我只能理解其皮毛，但那种从平面想象跃升至高维空间的思维跳跃感，着实令人震撼。我感觉到作者是一位极富耐心的导师，他总能在一堆看似无关的定理之间，搭建起清晰的逻辑桥梁。这种叙事结构非常流畅，使得原本枯燥的证明过程，读起来也像是在跟随侦探解开谜题，充满了发现的乐趣。我注意到，不同章节之间的衔接处理得非常巧妙，前面对射影几何的铺垫，为后续更抽象的结构分析打下了坚实的基础，显示出编纂者深厚的整体把握能力。它让我开始重新审视我们日常生活中那些被视为理所当然的“形状”与“空间”，培养了一种更加审慎和批判性的几何直觉。

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作为一名对应用数学略有涉猎的人，我更关注的是理论如何与实际世界产生共鸣，而这本书在这一点上，给我留下了非常深刻的印象。虽然我尚未深入阅读应用篇章，但从目录和引言的字里行间，我能感受到作者试图构建一座连接纯粹理论与工程实践的坚固桥梁。尤其对某些经典几何构造在现代密码学和计算机图形学中的潜在应用的历史回顾，极具启发性。这种对“历史必然性”的挖掘，让冰冷的数学公式染上了一层人性的色彩，不再是高高在上的真理，而是人类智慧的结晶。书中对某些证明方法的演变也做了细致的对比，比如欧几里得方法的严谨性与笛卡尔坐标系带来的代数简洁性之间的取舍，这种对比分析展示了数学工具箱中不同工具的适用场景。我对书中对“精确性”与“实用性”之间张力的探讨非常感兴趣，这通常是理论书籍所回避的灰色地带，而这本书却敢于直面它，并给出深刻的见解。

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从纯粹的物理感受上来说，这本书的重量和尺寸，恰好符合一本严肃学术著作应有的“分量感”。但真正让我难以忘怀的是它在逻辑层面上所展现出的那种令人敬畏的严密性。即便是那些看似最基础的几何公设，作者也进行了近乎吹毛求疵的审视与辩护，确保读者在踏入更高阶内容之前，地基是绝对牢固的。我发现，这本书非常注重培养读者“几何直觉的自我修正能力”，它不仅仅是给出结论，更是引导读者去质疑结论的边界。比如，当探讨空间维度时，它会适时地引入一些悖论性的思考，迫使读者跳出三维的舒适区。这种不断挑战读者思维定势的写作手法，使得每一次翻阅都有新的感悟，它不是一本可以“一次性读完”的书，而是一部可以伴随学习生涯不断回溯和深入的工具箱。它的文字简洁有力，没有多余的修饰，所有的笔墨都精准地用在了构建逻辑骨架上，这对于需要高度专注力的学习者来说，简直是福音。

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这部作品的阅读体验，很大程度上取决于你期望从中获得什么。如果你只是想快速掌握考试所需的技巧，这本书可能会显得有些“啰嗦”和“慢热”。但如果你的目标是真正领会几何学的精髓与宏伟蓝图，那么它的价值无可替代。它的叙事节奏是缓慢而坚定的，仿佛一位老派的学者在壁炉旁，以一种近乎娓娓道来的方式，引导你进入他构建的世界。我特别喜欢它在处理一些关键定义时的多角度阐述——有时是纯粹的公理化视角，有时是操作性的直觉描述，这极大地增强了理解的深度和弹性。书中的参考文献和历史注释部分也做得极为详尽，对于每一个重要的定理或概念，都能追溯到最初的提出者及其时代背景，这为那些想要深挖文献的读者提供了绝佳的指引。这种对知识源流的尊重和细致考证，使得这本书的学术品味得到了极大的提升，它散发着一种历久弥新的经典气息，而非转瞬即逝的潮流感。

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这部厚重的书卷，初翻时便给我一种沉甸甸的学术气息，它远不止是一本教科书那么简单，更像是一部融合了历史、哲学与现代科学的宏大叙事。虽然我目前还没深入到几何的深层奥秘中，但光是阅读那些关于欧几里得时代社会背景的引言，就已经足够引人入胜。作者对于数学思想演变的描摹细致入微，特别是对非欧几何思想萌芽阶段的探讨，那种筚路蓝缕的探索精神，读来让人热血沸腾。我特别欣赏它在讲解基础概念时所采取的“情境化”教学法，它似乎能感受到初学者在面对抽象定义时的困惑，并用一系列生动的生活实例作为缓冲垫，让复杂的概念得以平稳过渡。我留意到书中大量的图示，那些精妙的几何构造图，不仅仅是辅助理解的工具，本身就具有极高的艺术价值，仿佛每一条线、每一个角度都在无声地诉说着宇宙的和谐与秩序。整体来看，这本书的排版和装帧都体现了一种对知识的尊重，纸张的质感也相当出色，长时间阅读也不会感到疲惫，这对于一本涉及大量符号和图形的专业书籍来说，是极其重要的加分项。

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