Transformation Groups for Beginners (Student Mathematical Library, Vol. 25) (Student Mathematical Li pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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☆☆☆☆☆

出版者:American Mathematical Society

作者:S. V. Duzhin

出品人:

页数:246

译者:

出版时间:2004-09

价格:USD 41.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821836439

丛书系列:Student Mathematical Library

图书标签:

抽象代数
几何
其余代数7
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algebra
mathematics
transformation
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beginners
student
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25

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具体描述

The notion of symmetry is important in many disciplines, including physics, art, and music. The modern mathematical way of treating symmetry is through transformation groups. This book offers an easy introduction to these ideas for the relative novice, such as undergraduates in mathematics or even advanced undergraduates in physics and chemistry.

The first two chapters provide a warm-up to the material with, for example, a discussion of algebraic operations on the points in the plane and rigid motions in the Euclidean plane. The notions of a transformation group and of an abstract group are then introduced. Group actions, orbits, and invariants are covered in the next chapter. The final chapter gives an elementary exposition of the basic ideas of Sophus Lie about symmetries of differential equations.

Throughout the text, examples are drawn from many different areas of mathematics. Plenty of figures are included, and many exercises with hints and solutions will help readers master the material.

好的，这里为您提供一本图书的详细简介，内容涵盖数学、物理、化学等多个领域的前沿研究和经典理论，旨在为不同背景的研究者和学生提供深入的学习资源。 --- 前沿科学探索：理论、方法与应用本书概述本书汇集了当代科学研究中的多个关键领域，涵盖了从抽象的数学结构到具体的物理模型，再到复杂化学反应动力学的广泛主题。它不仅是对现有知识体系的系统梳理，更是对未来研究方向的深入探讨。本书特别强调跨学科的视角，旨在促进不同学科间的知识迁移与创新应用。全书结构严谨，内容深入浅出，适合高年级本科生、研究生以及相关领域的专业研究人员作为参考教材和进阶读物。 --- 第一部分：高等数学与拓扑学基础第一章：黎曼几何与微分流形本章深入探讨了微分流形的构造、光滑结构以及张量场的概念。重点分析了黎曼度量的引入如何赋予流形以几何结构，包括测地线的定义、曲率的计算（里奇曲率、斯卡拉曲率）及其物理意义。通过对拓扑空间到微分流形的过渡，读者将理解如何将微积分工具应用于非欧几里得空间。此外，本章还介绍了规范场论中纤维丛的数学框架，为后续的物理学应用打下坚实基础。核心内容：向量丛、联络的定义、曲率形式的计算、指数映射与局部坐标系。重点案例：对球面 $S^n$ 和射影空间 $mathbb{RP}^n$ 的几何结构分析。第二章：代数拓扑的新进展本章聚焦于代数拓扑在解决几何和分析问题中的应用。内容从基础的同调论（奇异同调、简氏同调）出发，逐步过渡到更精细的同伦群理论。特别关注了同调代数在代数几何中的作用，例如通过德拉姆上同调理论，将微分形式与拓扑结构联系起来。章节末尾探讨了更高同伦群的计算复杂性及其在低维流形分类中的局限性。核心内容：迈耶-维托里斯序列的应用、CW复形的构造、纤维丛的同伦性质。 --- 第二部分：理论物理学的核心模型第三章：量子场论中的重整化群方法本章系统阐述了量子场论（QFT）中处理发散问题的核心工具——重整化群（RG）。从微扰论中的紫外线灾难出发，详细解释了如何通过“截断”和“跑动耦合常数”的概念来定义有效的物理理论。内容深入到 Wilsonian 观点，强调了RG流在相图分析中的关键作用，包括固定点、普适性以及临界指数的确定。核心内容：维度正则化、有效作用量、Callan-Symanzik 方程、非微扰重整化。应用实例：阐述了格点QCD中重整化群的数值模拟方法。第四章：弦理论的低维嵌入与 AdS/CFT 对偶本章考察了弦理论在低维度空间中的具体表现形式，尤其是与反德西特空间（AdS）相关的背景。详细介绍了玻色化技术在处理二维共形场论中的应用，并对 AdS/CFT 对偶（Maldacena 猜想）进行了深入的理论剖析。读者将学习如何利用 AdS 空间的几何性质来理解边界上的量子场论，反之亦然，重点关注引力与规范场之间的对应关系。核心内容： D-膜的构造、BPS态的稳定性、保形块的展开、全息原理的数学基础。 --- 第三部分：计算科学与复杂系统第五章：非线性动力学与混沌理论的数值分析本章致力于分析复杂系统中的非线性行为，特别是混沌现象。内容涵盖了庞加莱截面、李雅普诺夫指数的计算及其对系统稳定性的判据。着重讨论了在有限精度计算中如何准确识别和量化混沌系统的长期行为。此外，本章还引入了基于信息论的复杂性度量，如样本熵和近似熵，用于量化时间序列的不可预测性。核心内容：洛伦兹吸引子、Rössler系统、分岔分析（倍周期分岔、鞍结分岔）。算法实现：使用高精度算法模拟高维系统的混沌轨道。第六章：随机过程与金融数学模型本章探讨了随机过程在建模自然界和金融市场中的应用。内容从布朗运动和伊藤积分的严格定义开始，逐步推导出随机微分方程（SDEs）。重点分析了 Black-Scholes 模型及其在衍生品定价中的应用，并讨论了局部波动率模型（如 Heston 模型）对经典模型的改进。在数值方法方面，详细介绍了蒙特卡洛模拟在求解高维SDE时的误差控制和加速技术。核心内容：鞅的性质、伊藤引理、欧式期权与奇异期权的定价公式推导、有限差分法求解平价方程。 --- 第四部分：现代化学与材料科学第七章：密度泛函理论（DFT）的高效计算本章深入讲解了现代计算化学的核心工具——密度泛函理论（DFT）。内容侧重于理论基础（ Hohenberg-Kohn 定理）与实际应用中的挑战，特别是交换关联泛函的选择。详细比较了 LDA、GGA 以及最新的混合泛函（如 $omega$B97X-D）在描述范德华相互作用和电子结构方面的优劣。本章还涵盖了自洽场（SCF）迭代过程的收敛加速技术和大规模体系的并行计算策略。核心内容： Kohn-Sham 方程、能带结构计算、投影缀加波（PAW）势的构建原理。第八章：催化剂表面的反应机理与计算模拟本章聚焦于多相催化领域，利用第一性原理计算来揭示催化反应的微观机理。内容包括反应路径的搜索、过渡态的优化以及反应速率的计算（如基于过渡态理论的 VTS 方法）。特别关注了金属氧化物和负载型纳米催化剂的电子结构对活性位点的调控作用。通过具体的催化氧化反应案例，展示了如何将计算结果与实验观测（如 TPSR）相结合，指导新型催化剂的设计。核心内容：表面吸附能的计算、反应能垒的确定、表面覆盖度和表面缺陷对反应活性的影响。 --- 结论本书的结构旨在提供一个坚实的知识框架，将抽象的数学理论与尖端的物理、化学应用紧密结合。每一章的深入探讨都旨在培养读者独立分析和解决复杂科学问题的能力。本书不仅是理论的学习手册，更是未来科学探索的工具箱。

作者简介

S. V. Duzhin: Steklov Institute of Mathematics, St. Petersburg, Russia,

B. D. Chebotarevsky: , Minsk, Belarus

目录信息

Cover 1
Title 4
Copyright 5
Contents 6
Preface 10
Introduction 12
Chapter 1. Algebra of Points 18
§1. Checkered plane 18
§2. Point addition 21
§3. Multiplying points by numbers 25
§4. Centre of gravity 28
§5. Coordinates 31
§6. Point multiplication 35
§7. Complex numbers 41
Chapter 2. Plane Movements 52
§1. Parallel translations 52
§2. Reflections 55
§3. Rotations 58
§4. Functions of a complex variable 61
§5. Composition of movements 66
§6. Glide reflections 72
§7. Classification of movements 74
§8. Orientation 77
§9. Calculus of involutions 79
Chapter 3. Transformation Groups 84
§1. A rolling triangle 84
§2. Transformation groups 87
§3. Classification of finite groups of movements 89
§4. Conjugate transformations 91
§5. Cyclic groups 97
§6. Generators and relations 101
Chapter 4. Arbitrary Groups 108
§1. The general notion of a group 108
§2. Isomorphism 117
§3. The Lagrange theorem 129
Chapter 5. Orbits and Ornaments 138
§1. Homomorphism 138
§2. Quotient group 142
§3. Groups presented by generators and relations 147
§4. Group actions and orbits 148
§5. Enumeration of orbits 152
§6. Invariants 159
§7. Crystallographic groups 162
Chapter 6. Other Types of Transformations 176
§1. Affine transformations 176
§2. Projective transformations 180
§3. Similitudes 186
§4. Inversions 193
§5. Circular transformations 198
§6. Hyperbolic geometry 202
Chapter 7. Symmetries of Differential Equations 208
§1. Ordinary differential equations 208
§2. Change of variables 213
§3. The Bernoulli equation 214
§4. Point transformations 218
§5. One- parameter groups 225
§6. Symmetries of differential equations 227
§7. Solving equations by symmetries 231
Answers, Hints and Solutions to Exercises 240
Index 256
A 256
B 256
C 256
D 256
E 256
F 256
G 256
H 257
I 257
K 257
L 257
M 257
N 257
O 257
P 257
Q 257
R 257
S 257
T 257
V 257
W 257
Back Cover 258
· · · · · · (收起)

读后感

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

从购买这本书到现在，我已经不止一次地把它作为参考资料翻阅，它在我的书架上占据了一个非常重要的位置。这本书的特点在于其“实用性”与“深度”的完美平衡。对于一个希望未来从事理论研究的初学者来说，这本书提供的基础框架非常稳固。它不仅教授了如何操作群论工具，更重要的是，它培养了读者对代数结构进行分类和比较的直觉。例如，在讨论Sylow定理时，作者不仅详细阐述了定理的内容，还探讨了这些定理在解决具体群结构问题上的应用，比如判断一个小群是否为可解群等。书中对特定群的例子选择也十分巧妙，既有经典的例子，也穿插了一些不太常见的、但却能揭示特定性质的群，这有效地拓宽了读者的视野。总而言之，这是一本能够经受住多次重读和深入思考的优秀教材，它成功地将一个复杂的数学领域变得触手可及，并且为未来的高级学习奠定了不可动摇的基础。

评分☆☆☆☆☆

与其他动辄上千页的“大部头”代数教材相比，这本书的篇幅控制得相当出色，这使得它非常适合作为一学期的课程用书或者自学读物。它的章节逻辑推进非常自然，几乎没有生硬的跳跃感。我特别赞赏作者在每章末尾精心设计的习题集。这些习题并非简单的概念重复，而是巧妙地结合了前几章的知识点，很多题目都需要读者进行小规模的整合和创造性的思考才能解答。解答这些习题的过程，是我对知识点进行内化和巩固的最有效途径。比如，有一道关于置换群的题目，它要求我们证明一个特定的子群是正规的，这直接检验了我们对陪集性质和群作用的理解深度。书中的定理证明部分，逻辑链条清晰，每一步的推理都给出了明确的依据，很少出现“显而易见”这种令人沮丧的措辞。对于我这种喜欢通过动手实践来学习的读者来说，这本书提供了恰到好处的挑战与引导。

评分☆☆☆☆☆

这本书的语言风格极其清晰、简洁，达到了教科书应有的高效性，但又不失学术的严谨美感。我注意到，作者在处理涉及较大规模群（如有限生成阿贝尔群）的结构定理时，并没有直接给出最终结论，而是通过一系列精心构造的分解步骤来引导读者“发现”这个结构。这种教学法极大地增强了读者的自信心和探索欲。它不像某些教材那样，上来就抛出一堆已知的复杂结构，然后要求读者去验证；相反，它更像是带领读者走一条从简单到复杂的“发现之旅”。我特别喜欢它在引入非交换群的例子时所采用的策略，例如对二面体群和四元数群的细致剖析，这些例子既有实际的几何意义，又包含了丰富的代数内涵，非常具有启发性。阅读这本书的过程，让我深刻体会到数学理论的内在美感和统一性，它让我对“结构”这个概念有了更深刻的认识，不仅仅是集合和运算，更是一种内在的组织规律。

评分☆☆☆☆☆

这本书的价值在于它将一个通常被认为艰深晦涩的领域，以一种近乎“解密”的方式呈现出来。我的阅读体验是，它不仅仅是一本教科书，更像是一本思维训练手册。它没有过多地纠缠于那些只有数学系高年级学生才感兴趣的过于精细的分类和冗余的证明，而是巧妙地将“为什么”和“怎么做”结合起来。比如，在讨论正规子群和商群时，作者花费了大量的篇幅来解释“商”这个动作的本质——如何通过等价关系来“折叠”一个群，使其结构清晰化。这种注重几何直觉和结构理解的讲解方式，让我对费定的结构有了更深层次的认识。书中穿插的一些历史背景介绍也很有趣，它们帮助我们将抽象的数学概念置于更宏大的知识发展脉络中，避免了将数学知识视为孤立真理的倾向。我发现，我不仅学会了如何计算和证明，更重要的是，我开始用一种全新的“群论视角”去审视其他数学分支，这正是优秀教材的标志。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计非常吸引人，简约的蓝色调配上清晰的白色字体，给人一种既专业又平易近人的感觉。我是在寻找一本能够系统梳理抽象代数中群论基础知识的书籍时偶然发现它的。最初的几页内容着重于群的定义、子群、陪集等基本概念的阐述，语言风格严谨而不失启发性。作者似乎非常了解初学者的困惑点，总能在关键概念引入后，紧接着给出几个结构清晰、循序渐进的例子来帮助理解。比如，在讲解同态和同构时，书中的插图和图示都做得非常直观，让我这个对抽象概念有些畏惧的读者也能很快找到切入点。我特别欣赏作者在引入循环群那一部分的处理方式，它没有急于展示复杂的定理，而是先通过对称群的例子，让读者直观感受到群操作的实际意义。整本书的排版也考虑到了阅读体验，字间距和行距都恰到好处，长时间阅读也不会感到眼睛疲劳。对于任何想要扎实掌握代数基础的本科生来说，这本书无疑是一个极佳的起点，它就像一位耐心的导师，在迷雾中为你点亮前方的道路。

评分☆☆☆☆☆