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出版者:Springer

作者:James W. Anderson

出品人:

页数:288

译者:

出版时间:2007-11-20

价格:USD 49.95

装帧:Paperback

isbn号码:9781852339340

丛书系列:Springer Undergraduate Mathematics Series

图书标签:

• 非欧几何
• 双曲几何
• 几何
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• Hyperbolic Geometry
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• Mathematics
• Non-Euclidean Geometry
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《数学思想的演变：从欧几里得到黎曼的探索》 书籍简介 本书是一部宏大叙事的数学史著作，旨在深入剖析西方数学思想在近三千年间的演变轨迹，聚焦于几何学理论的革命性突破及其对整个科学思维模式的深远影响。我们不关注某一特定分支的精细技术推导，而是着重描绘数学家们如何构建、挑战并最终重塑他们对空间、量度和逻辑的理解。 本书的叙事核心在于“范式转移”——即数学基础如何从古典的、直观的公理体系，一步步走向更加抽象、更具普适性的结构化理论。我们将从古希腊数学的黄金时代拉开帷幕，详细考察欧几里得《几何原本》所确立的公理化方法的辉煌成就及其内在的哲学预设。重点分析了欧氏体系的强大之处，即它如何提供了一种无可置疑的、基于经验观察的、关于平面世界的完美模型。 然而，我们紧接着会深入探讨维持了两个千年的“第五公设”的困境。本书将详尽地描绘启蒙时代以来，数学家们对于这条“平行线公设”的不断尝试、怀疑与最终的颠覆过程。我们不会深入讨论颠覆的结果（即非欧几何的具体构造），而是聚焦于质疑精神本身——这种质疑如何催生了对“绝对真理”的深刻反思，并将数学的焦点从“描述外部世界”转向“探究逻辑自洽的结构”。 随后，视角将转向微积分的诞生与奠基。牛顿和莱布尼茨所开创的运动与变化之学，带来了前所未有的计算能力，但也暴露了关于“无穷小”概念的深刻哲学难题。本书将细致梳理巴克莱的诘问，以及柯西、魏尔斯特拉斯等人为使微积分建立在严谨的极限理论之上所付出的艰苦努力。这一阶段的关键在于，数学家们意识到，直觉在处理无限时是多么容易产生误导，从而将基础建立在更加坚实的逻辑台阶之上。 在十九世纪的后半叶，数学的抽象化进程达到了一个新的高峰。本书将探讨伽罗瓦（Galois）对方程理论的革命，揭示了结构性思想如何开始取代具体的数值计算，为现代代数奠定了基础。同时，我们也会审视集合论的兴起，探讨康托尔如何以前所未有的方式处理“无穷的大小”问题，以及由此引发的关于数学基础的深刻辩论——逻辑主义、直觉主义与形式主义三大阵营的交锋。 本书的精髓在于展示数学家们如何不断地拓展“确定性”的边界。我们探究的是：当一个被视为普遍真理的几何公设被系统性地替换后，数学家们如何面对一个不再与我们日常经验直接对应的世界？我们关注的是方法论的演变——如何从依赖于实体几何图形的论证，过渡到完全依赖于符号、逻辑推导和抽象结构的证明模式。 我们还将探讨分析学领域的发展，例如傅里叶级数的出现如何挑战了对函数连续性的传统认识，迫使数学家们更精确地定义“收敛性”和“可积性”。这展示了物理直觉如何不断被更严格的数学框架所检验和修正。 最后，本书会简要触及十九世纪末二十世纪初的危机与统一的趋势。随着抽象代数、拓扑学等新兴领域的出现，数学家们开始寻找贯穿所有这些看似不同的分支的共同语言——结构。我们将总结这些思想如何共同导向一种更广阔、更灵活的数学视野，这种视野不再仅仅局限于对一个特定空间或特定量纲的描述，而是致力于构建描述关系和变换的通用框架。 《数学思想的演变：从欧几里得到黎曼的探索》不是一本教导读者如何进行几何作图或计算微分的教科书，而是一部关于人类理性如何自我超越、不断挖掘其自身逻辑潜能的思想史诗。它描绘了数学家们如何一步步剥离经验的束缚，构建起一个纯粹、严密且不断扩展的抽象领域，为二十世纪的物理学突破（如相对论）以及现代信息科学的兴起，铺设了不可或缺的理论基石。读者将从中领略到，数学的真正魅力，在于其不断自我批判和自我完善的动态过程。

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坦白讲，我接触过不少关于非欧几何的入门读物，但大多要么过于侧重代数计算而牺牲了几何直观，要么就是过多地沉溺于哲学思辨而缺乏严谨的证明支撑。然而，《<ins>Hyperbolic Geometry</ins>》似乎做到了“鱼和熊掌兼得”。书中对“理想三角形”和“理想多边形”的探讨，简直是教科书级别的典范。它不仅严格证明了这些多边形的面积公式与欧氏平面上的欧拉公式有着惊人的对应关系，还通过精妙的分解论证，展示了为何双曲空间在局部上仍表现出“平坦”的特性——这为理解广义相对论中的时空弯曲打下了坚实的基础。我尤其赞赏作者在论证过程中对“对称性”的反复强调。双曲空间中丰富的对称群结构，被作者拆解得极为细致，从基本的旋转、反射到复杂的群作用，每一步都辅以清晰的群论图示。这种对结构美学的执着，使得本书不仅仅是一本工具书，更像是一部艺术品。它让我意识到，双曲几何的美，恰恰在于它如何用一套与我们直觉相悖的公设，构建出一个同样逻辑严密、甚至更加丰富的数学世界。

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这本书的阅读过程，与其说是在学习，不如说是在经历一场智力上的冒险。《<ins>Hyperbolic Geometry</ins>》的后半部分，开始深入探讨双曲空间与特定代数结构的联系，例如与数论中某些迪利克雷级数的关联，以及它在低维拓扑学中的应用——这部分内容对我这种背景较为多元的读者来说，是极大的惊喜。作者处理这些跨学科连接时，展现出极高的驾驭能力。例如，在介绍如何用自守群（Automorphic Groups）来构建和理解双曲曲面时，他没有避开那些繁复的矩阵表示，而是通过一个巧妙的“折纸比喻”，将高维度的群作用可视化，使得那些抽象的变换不再是冷硬的数字游戏。这种对概念深层联系的挖掘，体现了作者深厚的学术功底。全书的参考文献和附录部分也做得非常详尽，为有志于进一步研究的读者指明了方向。总的来说，这是一部既能满足初学者建立基本框架的需求，又能为专业人士提供深度见解的杰作，它的价值远超其物理形态所承载的纸张重量。

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我购买这本书的初衷，是希望找到一本能够清晰梳理双曲三角学与函数关系的权威著作，而《<ins>Hyperbolic Geometry</ins>》在这方面表现得淋漓尽致，但方式却出乎我的意料——它极其注重几何直觉的培养，才最终导向代数结构。我特别欣赏作者在处理洛巴切夫斯基（Lobachevsky）和博雅伊（Bolyai）的早期工作时所采用的对比手法。与其简单罗列定理，不如展示他们各自在构建独立体系时所面对的逻辑困境与突破点。书中有一节专门讲解了双曲三角形的内角和恒小于180度这一核心概念，作者用了不下五种不同的方式进行证明，从微分几何的角度，到拓扑学的视角，甚至还穿插了一个关于“飞蛾如何沿着双曲面爬行”的生动类比。这种多角度的渗透，确保了即便是初次接触这些概念的读者，也能建立起坚实的直觉基础。最让我拍案叫绝的是关于共轭点的讨论，作者不仅给出了解析解，更重要的是，他解释了为什么在双曲空间中，某些“自然”的构造（比如围绕某一点做圆）在视觉上会产生扭曲，而这些扭曲是如何被精确地量化和预测的。这本书的图示设计也极为用心，那些黑白分明的对数螺旋线和围绕理想点的极限圆，清晰地勾勒出空间的内在张力。

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说实话，我原本以为这会是一本晦涩难懂的纯理论教材，但《<ins>Hyperbolic Geometry</ins>》的叙事节奏把握得非常老练。它在严谨的数学论证和对历史脉络的梳理之间找到了一个近乎完美的平衡点。例如，当讲解到如何用共形映射（如莫比乌斯变换）将双曲空间嵌入到欧氏空间时，作者并没有直接抛出那些复杂的矩阵运算。相反，他花了大篇幅来介绍十九世纪末期物理学家和地图制作者是如何受这些几何学发现的启发，去尝试解决航海和地理测绘中的失真问题。这种对“应用潜力”的温和暗示，极大地激发了我对后续章节的兴趣。书中对“无穷远点”的描绘尤其深刻，它不再是传统几何中那个遥不可及的虚无，而是被赋予了具体的拓扑意义——是“极限环”。这种处理方式，让整个理论体系显得更加自洽和完整。我个人认为，这本书最成功之处在于，它成功地将“非欧几何”从一个纯粹的数学抽象物，提升到了一种可以感知的、具有内在美感的结构实体。阅读体验非常流畅，即使在处理到复杂的张量分析时，作者也会适时地插入一些“思维小结”来帮助读者消化。

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这本名为《<ins>Hyperbolic Geometry</ins>》的书，从我拿到手的那一刻起，就散发出一种令人敬畏的学术气息。书页的质地厚实，油墨散发着独特的书卷气，这立刻让我对接下来的阅读充满了期待。我一直对欧几里得几何的“平行公设”抱有天然的好奇心，总觉得那似乎遗漏了某种更广阔的可能性。这本书的开篇并没有直接跳入复杂的公式，而是通过一系列富有哲理性的引言，巧妙地引导读者跳出日常生活的二维或三维直观感受。作者在第一章中对“空间形而上学”的探讨尤为精彩，他并没有急于给出严格的定义，而是先描摹了黎曼的早期思想火花，将非欧几何置于一个历史和思想的背景下进行考察。那种感觉就像是，你不是在学习一门数学分支，而是在参与一场跨越世纪的思想对话。特别是在描述庞加莱圆盘模型时，作者没有采用那种冷冰冰的坐标变换，而是用了一种近乎诗意的语言，描述了那些“边缘无限远”却“有限可达”的奇特景象。书中对双曲空间的测地线性质的阐述，那种“交点必然存在”的论断，反复被不同的例子和图示加以印证，使得原本抽象的概念变得触手可及。读完前三分之一，我已经开始重新审视我对“直线”和“平面”的理解，这绝对是一次思维上的彻底重塑。

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