初等组合几何-高中数学竞赛专题讲座-第二辑 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:浙江大学出版社

作者:冯跃峰

出品人:

页数:305

译者:

出版时间:2010-3

价格:28.00元

装帧:平装

isbn号码:9787308073424

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好的，以下是针对您提供的书名《初等组合几何-高中数学竞赛专题讲座-第二辑》以外的其他数学竞赛专题讲座书籍的详细简介，旨在提供不同主题的深入探讨，内容详实，不涉及组合几何： --- 专题讲座系列精选：高中数学竞赛的深度拓展与思维训练 本系列讲座致力于为有志于在高中数学竞赛中取得优异成绩的学子提供系统、深入、前沿的专题训练。不同于基础知识的复习，本系列旨在突破常规思维定式，强化对核心数学思想的理解和应用能力。以下是本系列中，不涉及组合几何主题的几部核心著作的详细介绍： --- 一、《解析几何的逆向思维与极值构造法》 面向读者： 具备扎实解析几何基础，力求在空间几何和圆锥曲线问题中实现“一题多解”或“妙解”的竞赛选手。 内容聚焦： 本书彻底摒弃了传统的“代数运算导向”的解题思路，转而强调解析几何背后的几何直觉与代数结构的转化。 核心章节解析： 1. 参数方程的几何意义重构： 深入探讨如何利用参数方程的几何特性，快速定位动点轨迹的边界和关键位置，尤其是在涉及线束、圆束和动点共线问题时，如何通过参数的约束条件反推几何约束。 2. 基于向量代数的“旋转不变性”处理： 系统梳理向量在解析几何中的应用，重点讲解如何通过坐标系的旋转和平移，将复杂的二次型问题转化为更容易分析的主轴问题，避免冗长的判别式计算。 3. 柯西-施瓦茨不等式在直线与圆中的“边界渗透”： 详细剖析柯西不等式如何“嵌入”到坐标运算的每一步中。本书提供了大量利用该不等式来确定最值、证明共存性的范例，特别是处理涉及面积、周长或距离乘积类问题时的“一步到位”技巧。 4. 极坐标系下的“视角转换”： 专攻极坐标系在处理正交性、共轭性以及与直线、圆的交点问题时的优势。本书着重训练如何将欧氏距离转化为极径 $r$ 的函数，并利用微分的思想（无需微积分知识）寻找极值点。 5. 二次曲线的“极点与极线”的构造性应用： 强调极点与极线的几何对偶性。例如，在处理涉及切线中点弦或四点共圆的问题时，如何通过构造特定的极点，瞬间锁定所有相关点的代数关系，实现“点-线”之间的完美转换。 本书的特点在于，每一个技巧都配有至少三个不同背景（直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线）的例题，旨在培养选手在面对陌生问题时，能够迅速判断出最适合的“坐标系+不等式”的组合。 --- 二、《数论中的同余体系与原根的深度探索》 面向读者： 对数论有浓厚兴趣，并希望在涉及高次同余方程、阶与原根、以及丢番图方程的复杂数论问题中取得突破的选手。 内容聚焦： 本书聚焦于数论中的“结构性”问题，特别是围绕模运算的稳定性和周期性展开深入研究。 核心章节解析： 1. 欧拉定理的推广与费马大定理的“小注脚”： 不仅复习费马小定理，更侧重于欧拉定理在模 $n$ 意义下的循环结构。引入“Carmichael函数” $lambda(n)$，并阐述其在简化高次幂同余计算中的决定性作用。 2. 原根的构造与判定（以 $p^k$ 为模）： 详细解析原根存在的充要条件，并提供一套系统化的算法来寻找特定模下的最小原根。重点讲解如何利用模 $p$ 上的原根来推导模 $p^k$ 上的原根的构造过程，避免盲目试错。 3. 高次同余方程的求解策略： 重点讨论形如 $x^k equiv a pmod{p}$ 的方程。首先利用离散对数（或称指数域）的概念，将乘法问题转化为加法问题，然后结合拉格朗日定理的推论，确定解的数量和具体形式。 4. 丢番图方程的“模化”检验法： 针对非线性丢番图方程，本书强调在尝试直接求解之前，必须先进行模 $n$ 的简化分析。系统介绍如何选择合适的模 $n$（如 $n=3, 4, 5, 8$ 等）来快速排除方程的整数解的可能性，并结合二次剩余的概念进行高效筛选。 5. 连分数的周期性与 Pell 方程的联系： 探讨连分数展开如何系统地逼近无理数，并将其周期性与 Pell 方程 $x^2 - Dy^2 = 1$ 的最小正整数解 $x_1, y_1$ 之间的内在联系。提供了一种基于连分数递推关系的求解模型，取代传统的试凑法。 本书的难度较高，适合已掌握基本同余、整除性概念，追求深入理解数论内在结构的学生。 --- 三、《函数方程与迭代的拓扑与不动点分析》 面向读者： 喜欢抽象代数、函数性质研究，并希望在函数方程、不等式证明中运用极限、连续性等工具的选手。 内容聚焦： 本书将函数方程的求解从代数推导提升到函数空间的分析层面，侧重于证明函数解的“唯一性”和“存在性”。 核心章节解析： 1. Cauchy 泛函方程的“弱解”与“正则性”： 深入分析五种基本 Cauchy 方程的解集。重点不在于求出所有初等函数解，而在于讨论在不假设连续性、单调性或有界性时，解空间是如何被 $mathbb{R}$ 上的代数结构（如 $mathbb{Q}$-线性映射）所限定的。 2. 迭代函数的周期点与稳定性分析： 引入动力系统（初等版本）的概念。研究形如 $f(f(dots f(x)dots)) = x$ 的迭代问题。通过分析不动点 $f(x)=x$ 的局部稳定性（即 $|f'(x^)|$ 与 1 的关系），来预测高阶迭代的长期行为。 3. Schröder 方程与共轭映射： 这是一个较高级的主题，介绍如何通过共轭变换将复杂的非线性迭代问题“线性化”，从而简化求解过程。 4. 由不等式导出的函数方程： 探讨通过“极值点唯一性”来确定函数表达式的方法。例如，若已知某个函数 $f$ 在某区间内取得最大值 $M$，且此最大值点是唯一的，可以反推出 $f$ 的形式（常与 Jensen 不等式或凸性相关联）。 5. 构造性反演：从已知解到方程： 强调竞赛中常见的“反向构造”。展示如何从一组满足特定条件的函数序列（如 $f_n(x)$ 满足特定关系）中，推导出它们共同满足的母函数方程。 本书对分析基础的要求较高，旨在帮助选手建立从“具体函数形式”到“抽象函数性质”的桥梁。 --- 总结 本系列讲座的每一册都代表了高中数学竞赛中一个核心且难度较高的分支。它们要求读者不仅掌握扎实的初等代数和几何知识，更需要培养跨领域的联想能力和严谨的逻辑分析能力。通过系统学习这些专题，选手将能构建起一个应对各类复杂数学挑战的强大思维工具箱。

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这本书的语言风格非常简洁有力，没有多余的寒暄或不必要的修饰，每一个句子都像是在传递核心信息，非常高效。我特别注意到它在处理“极值问题”时的处理方式，这在组合几何中常常是一个难点。作者介绍了一种非常优雅的“打靶法”和“对称极值法”的结合应用。它不是简单地套用平均值不等式或者柯西不等式，而是将这些代数工具“几何化”地表达出来。比如，在求特定构型下的最大面积或最小周长时，作者会引导读者先从最对称的情况入手，然后观察偏离对称后量值是如何变化的，从而推导出极值的性质。这种探索式的解题过程，比直接给出结论要有趣得多，也更容易让人记住。对于那些渴望在几何题目中展现出创造力的读者而言，这本书提供了坚实的工具箱和丰富的思路源泉。它更像一位经验丰富的教练，在你需要时提供最精炼的指导，而更多的时候，是让你独自在广阔的数学场域中探索，这种独立学习的体验，是任何快速解答手册都无法替代的。

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这本书的编辑质量处理得非常到位，几乎找不到印刷错误，这在专业性如此强的数学书籍中是难能可贵的。我个人最欣赏的是它对“反例”和“边界条件”的关注。很多教材在讲解定理时，往往只展示其成立的充分条件，而对于哪些情况下定理会失效，却避而不谈。这本书则反其道而行之，它花了不少篇幅去探讨某些看似成立的直觉在特定边界条件下是如何被推翻的，这极大地培养了读者的批判性思维。例如，在讲解欧氏几何的某些结论时，作者会对比非欧几何中的对应情况，虽然是非竞赛必需的知识，但这种对比极大地加深了对公理系统依赖性的理解。此外，书中的习题设置也非常有梯度，从基础概念的检验，到需要多步思维链的综合应用，再到一些极富挑战性的“开放式探究”题，几乎涵盖了一个高水平竞赛选手需要面对的所有知识广度和深度。它不是一本“刷题”书，而是一本“修心”书，要求读者在面对难题时，保持足够的耐心和对逻辑清晰度的执着。

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这本精装书的封面设计，乍一看，就散发着一种严谨而又充满挑战的气息。我抱着尝试的心态翻开了它，首先映入眼帘的是大量的公式推导和图形示意。对于一个热衷于在数学竞赛中寻求突破的高中生来说，这种直观而又深入的呈现方式，无疑是最好的“兴奋剂”。书中的内容并非那种浅尝辄止的科普读物，而是真正深入到了数学核心的脉络之中。它不像某些教辅那样，只是简单地罗列例题和解法，而是花了大量的笔墨去剖析每一个定理背后的逻辑链条，讲解了如何从最基础的公理出发，一步步构建起复杂的几何结构。尤其是一些关于拓扑学基础概念的引入，让人耳目一新，拓宽了对“形状”和“空间”的理解边界。我特别欣赏作者在阐述某些经典难题时所采用的“多维视角”，比如同一个问题，他会从欧氏几何、非欧几何甚至微积分的角度进行交叉验证，这种严谨的治学态度，让读者在掌握解题技巧的同时，也能建立起更宏大的数学观。阅读过程中，我时常需要停下来，用笔在草稿纸上重新演算一遍，那种思维被拉伸、被挑战的感觉，非常过瘾。它需要的不仅仅是计算能力，更是对结构美感的洞察力。这本书，绝对是为那些不满足于标准课程、渴望在竞赛中脱颖而出的“野心家”量身定做的。

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坦率地说，这本书的难度系数对于刚接触竞赛的初学者来说，可能略显陡峭，但对于那些已经有了一定基础，想从“会做”迈向“精通”的同学，简直是醍醐灌顶。我尤其喜欢它对“不变量”思想的深入挖掘。在处理一些涉及面积、体积或角度转换的题目时，如何快速锁定那个不会随着变换而改变的量，是解题的关键。这本书用好几章的篇幅，系统地介绍了各种不变量的找寻技巧，从代数的对称性到几何的度量保持，讲解得层层递进，逻辑性极强。我记得有一次我卡在一个关于正多边形对角线交点的问题上很久，后来在书中找到了利用“群论”思想简化几何结构的描述，茅塞顿开。这种超越传统高中知识范围的引入，虽然偶尔会让读者感到吃力，但一旦领悟，带来的能力提升是指数级的。它不仅仅是教你解题，更是在培养一种俯视题目的全局观，让人在面对复杂的图形时，能迅速剥离无关信息，直达核心矛盾。读完后，你会发现自己对几何图形的敏感度提高了一个档次。

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我得说，这本书的排版和装帧质量非常令人赞赏，拿在手上沉甸甸的，一看就是花了心思打磨的作品。我最关注的是它对“构造性证明”的强调。在许多高中阶段的几何问题中，往往最难的就是如何巧妙地引入辅助线或构造一个合适的辅助图形。这本书在这方面做了极细致的梳理，它没有简单地给出“请连接A到B”，而是详细分析了为什么选择这个连接是必要的，这个连接如何激活了已知的定理。比如，在处理一些关于圆内接四边形和外切多边形的复杂关系时，作者引入了一种非常独特的“旋转与平移”的组合变换思想，这比单纯依靠角平分线或垂线的方法要高明得多。我发现，读完相关章节后，我处理那些需要灵光一现的构造题时，灵感似乎不再是凭空而来的，而是有了一套可循的、可复制的思维路径。另外，书中对早期数学家的思考过程的引用也十分到位，让人感觉不是在学习一套僵死的知识体系，而是在与历史上的伟大头脑进行对话，理解了那些概念是如何在历史长河中被逐步锤炼和完善的。对于希望建立坚实理论基础的读者来说，这本书简直是宝藏，它教会你“如何思考”，而不仅仅是“如何解题”。

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