Introduction to Knot Theory (Dover Books on Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Dover Publications

作者:Richard H. Crowell

出品人:

页数:192

译者:

出版时间:2008-09-27

价格:USD 14.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780486468945

丛书系列:Dover Books on Mathematics

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《拓扑学基础：从欧几里得到高维空间》 作者： 艾米莉亚·范德堡 出版社： 现代数学出版社 出版日期： 2024年5月 --- 简介： 《拓扑学基础：从欧几里得到高维空间》是一部面向有志于深入理解现代几何学和拓扑学核心概念的读者所著的权威性著作。本书旨在搭建一座坚实的桥梁，连接经典的欧几里得几何直觉与现代拓扑学的抽象结构。我们不满足于仅仅展示拓扑学的工具箱，更致力于揭示这些工具背后的深刻思想和美学价值。 本书的结构经过精心设计，从读者最熟悉的欧几里得空间出发，逐步引入必要的代数和分析工具，最终导向对流形、同调论和代数拓扑学的初步探索。我们深知，一个扎实的开端是通往复杂理论的基石。因此，第一部分将着重于空间、连续性和度量概念的精确化，这对于后续理解拓扑空间的内在性质至关重要。 第一部分：欧几里得世界的延伸与拓扑思维的萌芽 (Fundamentals and The Genesis of Topological Thought) 本部分首先回顾了欧几里得几何中的基本概念，但很快将焦点转移到“形状不变性”这一核心思想上。我们详细探讨了连续性的严格定义，从 $varepsilon-delta$ 语言出发，将其推广至任意度量空间。接着，我们引入了拓扑空间的正式定义——通过开集族来刻画空间结构。这种去度量化的处理方式，是拓扑学区别于度量几何学的关键一步。 核心内容包括： 1. 度量空间与完备性： 对收敛性、紧致性进行深入分析。我们探讨了巴拿赫不动点定理在分析中的应用，并引入了完备性的重要性。 2. 拓扑空间的构造： 如何由一组开集定义一个拓扑结构？我们详细讨论了子空间拓扑、商拓扑和积拓扑的构建过程及其性质。特别地，我们会用大量的例子（如圆周、球面、环面等）来直观展示这些构造的效果。 3. 连续映射与同胚： 拓扑学研究的对象是那些在连续形变下保持不变的性质。我们精确定义了拓扑同胚，并强调了“拓扑性质”的概念——那些在同胚下保持不变的属性，例如连通性和紧致性。 第二部分：拓扑空间的内在结构：连通性与紧致性 (Intrinsic Structure: Connectedness and Compactness) 这一部分将深入剖析拓扑空间最重要的两个全局不变量：连通性和紧致性。它们是理解空间拓扑结构的基础。 连通性专题： 本书对连通性的讨论超越了简单的路径连通。我们详细区分了连通空间、路径连通空间以及局部路径连通空间，并证明了它们之间的关系链。我们还引入了分离公理（如 $T_1, T_2$ 或豪斯多夫性质），这些公理对于后续定义商空间和构造更高级的结构至关重要。 紧致性专题： 紧致性的概念在分析学中以“ Heine-Borel 定理”的形式出现，但在拓扑学中，它被定义为“任一开复盖都存在有限子复盖”。我们将紧致性与局部紧致性联系起来，并探讨了紧致性在积空间上的行为（紧致性在积空间上的保持性）。此外，本书利用紧致空间和分离空间的性质，证明了连续函数在紧致集上会取到最大值和最小值。 第三部分：构造性拓扑学：商空间与构造 (Constructive Topology: Quotient Spaces and Constructions) 本部分聚焦于如何从已知的拓扑空间构造出新的、更复杂的空间。商拓扑是现代拓扑学，特别是代数拓扑学中不可或缺的工具。 我们详细阐述了商拓扑的定义及其性质，并通过实例展示了如何利用商构造来“粘合”空间。例如，如何通过对正方形的边进行等价粘合来构造出环面（Torus）和克莱因瓶（Klein Bottle）。我们将讨论这种构造如何导致非流形结构（如克莱因瓶的非定向性）。 在这一部分，我们将逐步深入到可定向性的概念，为后续理解更高维流形打下基础。 第四部分：超越基础：拓扑不变量的引入 (Beyond the Basics: Introduction to Topological Invariants) 虽然本书并非专注于代数拓扑的深度研究，但我们认为有必要为读者描绘出研究拓扑不变量的路径。本部分作为引言，将拓扑空间的性质与可计算的代数对象联系起来。 1. 基本群（The Fundamental Group）： 我们引入了“环路”的概念，并定义了基本群 $pi_1(X, x_0)$。我们将计算简单空间的这些群，例如圆周 $mathbb{S}^1$ 的基本群是 $mathbb{Z}$。通过计算，读者将直观理解为什么有些空间（如球面）是单连通的，而另一些（如环面）则不是。 2. 同伦与同胚的区别： 我们利用基本群的差异，明确展示了两个空间在拓扑上可能同胚，但它们的同伦类型却可能不同（虽然在本书的范围内，我们主要关注两者的一致性）。 本书的特点与目标读者： 本书强调严谨的证明和丰富的几何直觉的平衡。每章后都附有精心设计的习题，从基础的计算到证明较为深刻的定理。 目标读者包括： 大学数学系高年级本科生或初级研究生，需要系统学习点集拓扑学的专业人士。 致力于深入理解微积分、实分析和抽象代数等课程背后的几何基础的读者。 对几何学有浓厚兴趣，希望了解现代几何学如何处理“形变”和“空间结构”的自学者。 《拓扑学基础：从欧几里得到高维空间》致力于提供一个全面、深入且富有启发性的入门体验，为读者探索代数拓扑、微分几何乃至更广阔的现代数学领域做好充分准备。本书的最终目标是让读者不仅学会拓扑学的定义和定理，更能像拓扑学家一样思考空间结构。

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这本书的排版和装帧，虽然是Dover的经典平装风格，但对于一本侧重视觉和结构的学科书籍来说，其清晰度是值得称赞的。特别是那些复杂的交错图（Crossing Diagrams）和对偶图的绘制，线条干净利落，避免了在理解复杂几何关系时常见的视觉混乱。然而，如果说有什么遗憾，那就是在某些高阶的、涉及流形理论或几何拓扑学的交叉领域时，篇幅略显仓促。例如，在讨论Knot Complements的同调群结构时，我感觉作者仿佛在急着赶往下一个主题，对某些核心概念的讨论深度略微不足，可能需要读者自行翻阅更专业的拓扑学教材来弥补这些知识点的“上下文缺失”。不过，考虑到它作为一本面向广泛读者的“导论”定位，这种权衡或许是必要的取舍。总的来说，它成功地搭建了一个坚实的地基，但要真正建造起宏伟的理论大厦，读者还需要更多的工具箱。

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我必须提到，这本书的“习题”部分是其真正的灵魂所在，它远远超出了普通教科书习题的范畴。这些题目并非简单的“计算并给出答案”，而是充满了挑战性的“证明与探究”。很多题目设计得极具启发性，它们往往以引导性的问句出现，比如“尝试构建一个不变量，它能区分出哪些特定的孪生结？”这类问题，迫使你必须深入理解章节中介绍的每一种工具的局限性和潜力。我花了整整一个周末的时间，对着其中一个关于 Alexander 多项式在特定操作下不变性的证明题冥思苦想，最终在尝试了无数种错误路径后，才领悟到其中的关键转化点。这种“斗智斗勇”的过程，比起单纯地记忆定义和公式带来的满足感要强烈得多。这本书教会我的不仅仅是绳结的知识，更是一种面对复杂数学问题的韧性和策略。

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这本书的封面设计本身就带着一种古朴又深邃的数学美学，那种纯粹的黑白对比，仿佛在暗示着即将探索的领域——一个看似简单却蕴含无穷奥秘的几何世界。我是在一个阳光明媚的午后翻开它的，最初的几页内容，特别是关于拓扑学基础概念的铺陈，展现出一种非常清晰且有条理的叙事风格。作者似乎非常擅长于将那些抽象的数学结构，通过直观的类比和精妙的图示进行可视化处理。例如，在介绍“同胚”这个概念时，他没有直接抛出复杂的定义，而是用了几个非常生活化的例子，比如橡皮泥的拉伸与扭曲，让初学者也能迅速建立起最初的直觉。我特别欣赏它对历史背景的穿插，它不仅仅是一本纯粹的定理集合，更像是一部数学思想的演进史，让人在学习知识点的同时，也能感受到数学家们是如何一步步攻克难题的。这使得阅读过程充满了探索的乐趣，而不是枯燥的记忆。对于那些希望系统地、从头开始了解绳结数学这个迷人分支的读者来说，这种循序渐进的引导无疑是极其宝贵的。

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说实话，这本书的难度曲线处理得相当成熟老练，它并没有一味地迎合“入门”二字而变得过于肤浅。当我深入到第二章开始接触到琼斯多项式（Jones Polynomial）时，我明显感觉到了思维强度的提升。作者在此处的处理非常巧妙，他没有直接跳到复杂的代数运算，而是首先用一种近乎“艺术鉴赏”的方式，展示了不同绳结结构在多项式映射下的独特性质。这就像是先让你看到一幅画的美感，然后再教你如何分析它的颜料构成。随后的章节，开始引入了更严格的代数工具，比如高斯积分和特定群论的初步概念，讲解得一丝不苟，字里行间透露出一种严谨的英式学术风格。我发现自己不得不放慢阅读速度，时常需要停下来，在草稿纸上亲手绘制那些纽结图并尝试进行Reidemeister移动的演示。这种需要动手操作才能真正理解的深度，恰恰是优秀数学教材的标志，它迫使读者从被动的接收者转变为主动的思考者。

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从整体阅读体验来看，这本书给我带来了一种“重温经典”的踏实感。它不像那些最新的、充满了前沿术语的专著那样令人望而却步，它更像是一位经验丰富的导师，耐心地在你耳边低语，解释着数学家们是如何看待这个世界的。我特别喜欢它在阐述不同不变量（如 Alexander、Markov 等）时的对比手法。作者很清楚地展示了每种工具的“观察视角”是多么不同，有些侧重于代数上的可计算性，有些则更偏向于拓扑结构的内在属性。这种对比性的叙述，极大地丰富了我对“不变量”这一核心概念的理解层次。读完后，虽然我对许多细节仍需反复查阅，但那份对绳结理论宏大图景的把握感是清晰且持久的，这足以让任何对纯数学抱有好奇心的读者，都值得将其纳入书架。

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