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出版者:Springer

作者:Serge Lang

出品人:

页数:496

译者:

出版时间:1988-7-1

价格:USD 69.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780387967875

丛书系列:

图书标签:

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《高等代数精要》内容简介 本书聚焦于现代数学结构的核心——高等代数，旨在为读者构建一个严谨、深入且富有洞察力的理论框架。 我们摒弃了过于基础的集合论回顾，直接切入代数的核心领域，重点阐述群、环、域三大基本代数结构的精妙之处及其相互间的联系。 本书的结构设计遵循逻辑的自然递进，从最基础的代数结构——群论开始，逐步迈向更复杂的环与域。 --- 第一部分：群论的深度探索 本部分是全书的基石，不仅复述了群的基本定义和性质，更深入探讨了群的内部结构和作用方式。 1. 群的结构与分类： 我们详细剖析了子群、陪集和正规子群的概念。其中，拉格朗日定理的证明被置于一个更广阔的视角下进行讨论，展示其在有限群分类中的关键作用。同态与同构的概念不仅被严格定义，还通过丰富的实例（如矩阵群、对称群 $S_n$）来阐释它们的实际意义。 2. 商群与同态定理： 这是理解“结构破碎与重组”的关键。我们对第一、第二、第三同态定理进行了详尽的推导和应用。特别地，我们着重讨论了柯西定理（Cauchy's Theorem）的证明及其在识别素数阶元素方面的强大威力。 3. 阶为素数的群与可解性： 有限群的分类是高等代数中的一个重要课题。本书详细讨论了Sylow定理（西洛夫定理）的三大定律，这些定理是分析有限群结构的“原子弹”。我们利用Sylow子群的存在性来证明了若干特殊的群结构，并引出了可解群（Solvable Groups）的概念，为伽罗瓦理论的后续理解埋下伏笔。 4. 群的表示论初探： 为了将抽象的群结构与具体的线性代数联系起来，本部分引入了群的表示论的初步概念。我们定义了群表示、等价表示，并讨论了不可约表示及其在理解群结构上的应用，这为读者理解模块化表示理论奠定了基础。 --- 第二部分：环论的几何与代数交织 环是带有加法和乘法运算的代数结构，其研究跨越了代数几何和数论的边界。本书对环的介绍侧重于其内部理想结构。 1. 环的基本结构与特殊环： 在回顾了整环（Integral Domain）、域（Field）和单位环（Ring with Unity）的定义后，本书迅速转向了理想（Ideals）的研究。我们区分了左、右、双边理想，并着重阐述了主理想环（PID）和唯一因子分解整环（UFD）的构造和性质。 2. 商环与同构定理： 类似于群论，商环的构造是理解环结构的重要工具。我们详述了环的同态定理，并展示了如何利用这些定理来证明多项式环的性质，例如欧几里得整环（Euclidean Domains）的特性。 3. 域的扩张： 域的扩张是连接抽象代数与经典代数问题的桥梁。我们系统地介绍了域扩张（Field Extensions）、代数元（Algebraic Elements）和超越元（Transcendental Elements）。最小多项式（Minimal Polynomial）的唯一性及其在构造域扩张中的核心作用被详细阐释。 4. 分裂域与伽罗瓦理论的预备： 本部分的高潮在于对分裂域（Splitting Fields）的构建。我们证明了任何域上的多项式都存在一个分裂域，这为后续伽罗瓦理论的引入提供了必要的数学对象。 --- 第三部分：伽罗瓦理论的巅峰 伽罗瓦理论是连接多项式方程与群论的强大工具，也是本书理论的总结和应用。 1. 伽罗瓦群的定义与性质： 我们严格定义了伽罗瓦扩张（Galois Extensions）和伽罗瓦群（Galois Group） $ ext{Gal}(L/K)$。重点讨论了基本定理（Fundamental Theorem of Galois Theory）的陈述，该定理建立了域扩张链与子群之间的完美一一对应关系。 2. 可解性与根式解： 读者将在此处看到对经典代数难题的彻底解答。我们利用伽罗瓦群的结构来精确判定一个多项式方程是否可以用根式（radicals）求解。这包括对五次及以上方程不可解性的严格证明，是全书理论深度和应用价值的集中体现。 3. 有限域的构建： 理论的另一重要应用是有限域（Finite Fields）的研究。我们证明了存在唯一（同构意义下）的阶为 $p^n$ 的有限域 $mathbb{F}_{p^n}$，并阐述了其乘法群是循环群的性质。这部分内容在编码理论和密码学中有直接的实践意义。 --- 特色与目标读者 本书的叙述风格强调概念的清晰性、证明的严密性和结构的内在美感。我们大量采用了现代抽象代数的语言，但同时辅以丰富的、源于具体数学问题的例子来支撑抽象概念的理解。 本书适合对象： 数学、物理学、计算机科学专业高年级本科生和研究生。 需要系统、深入了解群论、环论和域扩张理论的科研人员。 对数学结构有强烈兴趣，并希望掌握严格证明方法的自学者。 本书假定读者已具备线性代数和基本分析（微积分）的坚实基础，能够熟练处理集合、映射和逻辑推理。本书的目标不是快速浏览知识点，而是引导读者真正掌握代数结构思维方式。

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我尝试用这本书来辅导一位初中阶段对数学有畏难情绪的孩子，希望能通过它那种“一步一个脚印”的叙事方式来重建他的信心。结果却适得其反。这本书的语言风格极其学术化和去人性化，几乎没有使用任何比喻、类比或者生活化的情景来解释抽象概念。例如，在讲解分数除法时，它直接给出了“除以一个数等于乘以它的倒数”的规则，然后就是一连串的练习题，整个过程冷峻得像一台机器在执行指令。孩子问我：“老师，为什么会是倒数呢？”我翻遍了所有相关的段落，找不到任何尝试去解释这个规则背后的逻辑——比如，它与等量替换原理的关系，或者在实际分配问题中的体现。这种做法对于那些需要通过具象理解来内化知识的学习者来说，是极具破坏性的。它传递给读者的信息是：数学是需要被死记硬背的规则集合，而不是一套可以被理解、被探索的逻辑系统。因此，对于基础薄弱或学习动机需要被点燃的读者群体而言，这本书非但不能成为他们的救星，反而可能成为压垮骆驼的最后一根稻草，因为它完全缺乏“教人如何思考”的能力。

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这本书最让我感到困惑的是其内容的时间跨度和选择的倾向性。它似乎被困在了上个世纪中叶的数学教育框架里，对近几十年数学领域产生的任何重要发展都避而不谈。例如，在代数结构的介绍中，它停留在对群论非常初级的皮毛介绍，完全没有提及环、域这些更具普遍性和结构性的概念；而在离散数学的边缘，也完全看不到图论或者布尔代数这些在计算机科学中至关重要的基础工具的影子。这种“时间停滞”的感觉非常强烈。一本名为《Basic Mathematics》的书，理应提供一个对现代数学全景的概览，即使只是最低限度的提及，也能够让读者对未来的学习方向有所期待。但《Basic Mathematics》提供给我的，是一个精心维护的、但已经封闭起来的知识花园。它仿佛在对读者说：“这就是数学的全部，别再往外看了。”这使得它在推荐给那些希望在STEM领域深耕的年轻人时，显得力不从心。它可能适合用于一个特定的、严格限定考试范围的课程，但在更广阔的知识探索领域，它的价值几乎为零，因为它提供的知识体系是残缺的、不与时代接轨的。

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这本书的排版和印刷质量，坦白说，是我阅读体验中感受最差的部分。我拿到的是平装版本，纸张的质感粗糙得让人不忍直视，油墨似乎总是在纸张纤维上挣扎着显现出来，导致一些复杂的希腊字母和上下标经常出现轻微的重影，这在阅读数学公式时是致命的缺陷。更糟糕的是，大量的数学符号和逻辑连接词被处理得不够清晰。比如，在涉及集合论概念的部分，那些并集、交集和补集的符号，在小号字体下几乎融为一团，需要我频繁地眯起眼睛来确认。我无法想象一个真正关心数学教育的出版方会允许这样的成品流入市场。这不仅仅是美学问题，更是功能性问题。数学学习要求极高的精确性，任何视觉上的干扰都会直接转化为思维上的迟滞。我甚至怀疑作者在撰写这些内容时，是否也经历了类似的不适。这本书给我的感觉是，它被匆忙地赶制出来，所有精力都放在了内容的“量”上，而完全忽略了“质”——尤其是读者与载体交互的物理体验。如果内容本身已经略显陈旧，那么糟糕的物理呈现无疑是雪上加霜。

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这本《Basic Mathematics》的封面设计得非常朴素，那种传统的、带着点年代感的米黄色纸张，让人一拿到手就觉得它不是那种花里胡哨的“网红”教材。我最开始对它抱有很高的期望，毕竟书名直白得像一块路标，直指最核心的基础知识。然而，当我翻开第一章时，那种期待感就开始慢慢地被一种说不上来的“熟悉感”取代。它没有给我带来任何惊喜，也没有给我带来任何新的视角。里面的每一个公式、每一个定理，都是我在中学时代就已经滚瓜烂熟的内容，排列组合的方式也完全是教科书式的标准流程。比如，关于代数部分，从最简单的有理数运算到解一元二次方程，讲解得循规蹈矩，几乎没有旁证或者引申的应用案例。我本来希望能看到一些结合现代生活，比如金融、数据分析入门级别的实际应用来佐证这些基础运算的必要性，但很遗憾，这些内容在这本书里是完全缺失的。它更像是一本极其详尽的、为应试准备的“标准答案手册”，而不是一本旨在激发学习兴趣、拓展思维边界的数学读物。如果你已经具备扎实的基础，这本书可能只会让你觉得在浪费时间翻阅那些你早就掌握的细节；如果你是想从零开始学习，它提供的支持可能也显得过于冰冷和缺乏引导。

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我花了整整一个下午试图在其中寻找一些关于微积分预备知识的深入探讨，毕竟“Basic Mathematics”这个范围通常会触及到一些极限和函数的初步概念，为后续高等数学的学习打下基础。这本书对于这部分的覆盖，简直可以用“蜻蜓点水”来形容。它只是简单地提到了“趋势”和“变化率”这两个词汇，然后就迅速跳转到了概率论的入门章节。概率论的部分，处理得倒是中规中矩，从排列组合到古典概型，步骤清晰，例题的选择也都是最基础的抛硬币、掷骰子这类场景。问题在于，它的解释总是停留在“是什么”的层面，而完全没有触及“为什么”或者“如何应用在更复杂的随机过程中”。举个例子，对于条件概率的讲解，它直接抛出了贝叶斯公式的结构，但对于贝叶斯思维在现代统计推断中的核心地位，书中完全没有着墨。这种处理方式，使得这本书的实用价值大打折扣。它似乎预设了一个读者群体，他们只需要通过考试，不需要理解数学背后的哲学或驱动力。对于希望通过这本书来搭建一个坚固、有弹性的数学知识体系的读者来说，这无疑是一个巨大的遗憾。这本书更像是那个被遗忘在角落里、布满灰尘的旧参考书，而不是一本能引领你探索新领域的向导。

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可以用来练英语，掌握基本数学词汇！

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可以用来练英语，掌握基本数学词汇！

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这是“深入浅出”的极好例子。第六章“Isometries"在我看来是本书的关键章节。第十四章“permutation”最后几页没完全读通, "orbit"和“period”概念生疏。全书内容95%是初中+高中的数学知识，但作者写得更像是给大学以上数学水平的人看的。

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可以用来练英语，掌握基本数学词汇！