Metric Methods of Finsler Spaces and in the Foundations of Geometry. (AM-8) (Annals of Mathematics S pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Princeton University Press

作者:Herbert Busemann

出品人:

页数:252

译者:

出版时间:1942-12-31

价格:USD 52.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780691095714

丛书系列:Annals of Mathematics Studies

图书标签:

• 数学
• 微分几何7
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好的，这是一本关于费尔斯空间中度量方法及其在几何学基础中的应用的图书简介，内容力求详实，避免提及您提供的书名及其特定编号： --- 几何学前沿与度量理论的深刻探索 本书深入探讨了微分几何学中的一个核心分支——费尔斯几何学（Finsler Geometry）及其在更广泛的几何学基础构建中的关键作用。费尔斯空间，作为黎曼几何的自然推广，提供了一个在每一点上具有非对称性和非度量特性的张量结构，这使得它在描述物理世界中的某些非平凡现象，例如运动学、变分原理以及非线性连续介质力学中展现出独特的优势。 本书的结构设计旨在引导读者从基础概念逐步迈向前沿研究领域，特别关注于如何利用度量方法来剖析和理解这些更一般的几何结构。我们首先回顾了经典黎曼几何的必要背景，重点在于理解曲率、测地线和等距变换的数学框架。随后，本书引入费尔斯几何的核心——费尔斯函数（Finsler function）及其相关的拉格朗日函数，详尽阐述了如何从这些函数中导出度量张量 $g_{ij}(x, dot{x})$ 和张量 $G_{ijk}(x, dot{x})$，后者在定义仿射联络和测地线方程中起着至关重要的作用。 费尔斯空间的核心挑战在于其度量依赖于速度（或切向量）的方向，而非像黎曼几何中那样仅依赖于位置。本书投入大量篇幅讨论了张量分析在这一背景下的发展，特别是（上下指标）张量的定义、运算规则，以及如何在费尔斯流形上定义协变导数。这部分内容为后续研究提供了坚实的分析工具。我们详细考察了仿射联络的构造，特别是张伯的联络（Chern-Finsler connection）和高斯-博内公式（Gauss-Bonnet Theorem）的推广形式，这些是理解费尔斯空间拓扑和几何属性的关键。 本书的重点之一在于测地线理论的深入剖析。费尔斯测地线是基于费尔斯函数变分得到的，其方程形式比黎曼测地线（即测地线方程）复杂得多。我们不仅推导了这些方程，还分析了其局部性质，例如存在性、唯一性和局部完备性。此外，截面曲率的概念在费尔斯几何中演化为标量曲率和截面曲率张量，它们依赖于切向量的方向。本书详细讨论了标量曲率的符号性质如何影响空间的全局行为，例如是否存在全局最短路径或是否存在类欧几里得行为。 另一个重要章节聚焦于等距变换群（Isometry Group）。在黎曼几何中，等距变换由保持度量的向量场生成。在费尔斯几何中，等距的概念需要被推广以适应速度依赖性。本书探讨了保持费尔斯函数（或其平方）的向量场，并分析了这些对称性如何极大地简化特定费尔斯空间的结构，例如特殊或平凡费尔斯空间的研究。 更进一步，本书探讨了费尔斯几何在变分法中的应用。费尔斯函数天然地与运动学中的拉格朗日量相关联。我们考察了如何使用费尔斯结构来定义和分析运动轨迹的能量泛函，这对于物理学中的最优控制问题和经典力学模型至关重要。 在几何学基础部分，本书将视角拓宽至 Finsler 结构与射影几何（Projective Geometry）的关系。费尔斯空间中的测地线族在射影空间中表现出特定的性质，它们在射影变换下保持不变。本书详细分析了“射影等价”的概念，即两个费尔斯结构是否共享相同的测地线族，并探讨了如何利用射影不变量来区分不同的费尔斯空间。这种连接为理解几何结构提供了一个更广阔的框架。 本书还包含对特殊类型的费尔斯空间的专门考察，包括： 1. 对角费尔斯空间（Diagonal Finsler Spaces）：当度量张量只依赖于坐标 $x$ 时，空间退化为特殊的黎曼空间，但本书侧重于分析其在速度依赖性消失过程中的极限行为。 2. 重力拉格朗日空间（Gravitational Lagrange Spaces）：探讨了度量结构在描述广义相对论或更高阶的引力理论中的潜力，特别是当度量张量具有特定的函数形式时。 3. 均匀可缩（Locally Contractible）与可重构（Reconstructible）空间：分析了在何种条件下，从局部度量信息可以唯一确定全局结构。 本书的写作风格旨在平衡数学的严谨性与概念的清晰度。每章都包含大量的例子和练习题，旨在巩固读者的理解，并激发他们对该领域更深层次问题的兴趣。目标读者包括高等几何专业的数学研究生、物理学中的理论物理学家，以及任何对度量几何和微分拓扑的非经典结构感兴趣的研究人员。通过本书的学习，读者将掌握运用先进的张量分析工具来解决费尔斯几何中复杂问题的能力，并能将其应用于现代物理学和数学的交叉领域。 ---

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我尝试着从一个更偏应用性的角度去审视这部著作的潜在影响，尽管其表述方式无疑是纯粹的理论派。**令人印象深刻的是，作者在构建理论体系时所展现出的那种近乎建筑师般的精确性。** 这种精确性使得任何尝试对其进行简化或“通俗化”的努力都显得力不从心。书中对芬斯勒空间度量张量的处理，展示了一种在传统微分几何中很少被如此彻底展开的复杂性。我特别关注了其中关于测地线（geodesics）和运动学（kinematics）部分——虽然论述非常抽象，但能隐约感受到它与物理学中某些极端情况下的路径优化问题有着某种深层次的共鸣。**它仿佛提供了一套全新的工具箱，其设计目标就是为了解决那些传统框架下显得格格不入的“非对称”或“非定域化”的几何问题。** 读者必须具备对高维微分形式和代数结构有极高的熟练度，否则很容易迷失在繁复的指标运算和符号替换之中。这本书更像是为那些未来理论物理学家或纯粹几何学家准备的“高级蓝图”，它描绘的是一个可能的世界，而不是一个已经被完全测绘的领土。阅读过程与其说是学习，不如说是参与了一场漫长而艰苦的智力探险。

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这次阅读体验对我个人学术视野的拓宽起到了决定性的作用，但这种“拓宽”是以极高的阅读门槛为代价的。**我不得不承认，我花了近一半的时间去查阅和复习背景知识，因为书中几乎没有为“背景不足”的读者设置缓冲地带。** 这本书的叙事方式是高度内聚的，它假定读者已经完全掌握了广义相对论基础和现代微分几何的核心概念，然后直接将主题提升到了一个新的抽象层次。**它不是线性叙事，更像是多维空间的网格构建，每一章都从不同的角度向中心命题——芬斯勒几何的完备性——收敛。** 让我印象深刻的是作者对“基础”的重新审视。在几何学的基石部分，作者展示了如何通过引入更一般的度量结构，来挑战甚至重塑我们对距离、角度乃至空间本身连续性的直觉认识。这不是对现有理论的修补，而是对整个公理化体系的精妙重构。**这种颠覆性的视角，使得即便是经验丰富的研究者，也会在某些时刻停下来，反思自己长期以来奉为圭臬的几何直觉是否在芬斯勒的框架下需要被彻底修正。** 这是一本需要被反复研读、并伴随大量手写推导才能真正消化的著作。

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对于那些渴望深入理解现代几何学前沿，尤其是那些寻求超越经典黎曼范式的研究人员而言，这本书无疑是一份里程碑式的参考资料。**它的行文风格是典雅而克制的，几乎没有冗余的描述性语言，每一句话都直奔主题，充满了信息密度。** 这种极端的效率，虽然在学术上备受推崇，但在初次接触时，确实会给非专业读者带来巨大的阅读压力。我发现自己经常需要在阅读一个新概念的定义时，立即回溯到前几章中引入的更基础的张量代数操作，以确保我对当前讨论的数学对象没有误解。**书中关于“非度量联络”的探讨，尤其让我着迷，它触及了现代几何学中关于结构组和规范理论的深刻交叉点。** 这不是一本可以随意翻阅的书，它要求你像对待一份复杂的法律文件那样，逐字逐句地去推敲和消化。**总而言之，这本书更像是一座需要攀登的学术高峰，顶峰的景色或许壮阔非凡，但攀登的过程本身，就是对研究者毅力和技术水平的终极检验。** 它为该领域的研究者提供了一个坚实且高耸的平台。

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从装帧和出版质量来看，这部作品体现了严肃学术出版物的典范。**纸张的质感和排版的清晰度，都表明了这是一份为需要长期保存和频繁查阅的专业人士准备的材料。** 但是，内容本身的挑战性，远远超过了物理媒介所能提供的任何便利。**这本书的内在逻辑结构异常紧密，任何一处的跳跃都可能导致整个论证链条的断裂。** 它似乎在鼓励一种“沉浸式”的阅读习惯，要求读者从头到尾保持高度专注，像破解一个复杂的密码一样去解码每一段论述。我特别欣赏作者在处理那些高度非线性的几何对象时所采用的代数技巧——那些复杂的李群和纤维丛的运用，展示了高度的数学技艺。**虽然我无法声称完全掌握了书中的每一个定理的全部证明细节，但即便是对那些核心概念的半理解，也极大地丰富了我对“度量”这一物理量在数学上可以承载的广阔性的认知。** 它不提供简单的答案，而是提供了一套精妙的提问框架，让你开始质疑我们所依赖的几何模型究竟有多么脆弱和特定。

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这部作品的问世，无疑在数学理论的深水区投下了一块巨石，激起了层层涟漪。**它并非那种旨在轻松愉悦读者的“甜点式”读物，更像是一场对思维极限的严酷考验。** 从目录的第一页开始，我就感到了一种扑面而来的专业深度和历史厚重感。作者似乎并不急于迎合初学者，而是直接将我们带入了那些被精心构建、结构严密的抽象概念迷宫之中。我花了大量时间在仅仅理解那些引言部分提出的基本定义和公理系统上，这本身就是一种智力上的马拉松。书中对黎曼几何的既有框架进行了深入的剖析，但其核心驱动力显然在于探索那些“非黎曼”特性的张量结构。**特别值得一提的是，那些关于连接（connection）和曲率（curvature）的讨论，其精细度已经达到了几乎哲学思辨的层面，每一个符号的出现似乎都承载着深刻的数学意图。** 对于那些习惯于欧氏空间直觉的读者来说，初读时会感到一种强烈的“失重感”，因为必须完全依赖于符号逻辑来构建整个几何图像。我个人认为，这本书的价值恰恰在于其不妥协的严谨性，它迫使你不仅仅是“知道”公式，而是去“理解”它们在更广阔的几何图景中是如何运作和相互关联的。它不是用来快速获取知识的，而是用来进行长期、深层的心智雕琢的工具。

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