Comparison Theorems in Riemannian Geometry (AMS Chelsea Publishing) pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Jeff Cheeger and David G. Ebin

出品人:

页数:165

译者:

出版时间:2008-08-04

价格:USD 35.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780821844175

丛书系列:AMS Chelsea Publishing

图书标签:

geometry
数学
微分几何7
几何分析
几何
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Riemannian Geometry
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AMS Chelsea Publishing
Curvature
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具体描述

The central theme of this book is the interaction between the curvature of a complete Riemannian manifold and its topology and global geometry.

The first five chapters are preparatory in nature. They begin with a very concise introduction to Riemannian geometry, followed by an exposition of Toponogov's theorem--the first such treatment in a book in English. Next comes a detailed presentation of homogeneous spaces in which the main goal is to find formulas for their curvature. A quick chapter of Morse theory is followed by one on the injectivity radius.

Chapters 6-9 deal with many of the most relevant contributions to the subject in the years 1959 to 1974. These include the pinching (or sphere) theorem, Berger's theorem for symmetric spaces, the differentiable sphere theorem, the structure of complete manifolds of non-negative curvature, and finally, results about the structure of complete manifolds of non-positive curvature. Emphasis is given to the phenomenon of rigidity, namely, the fact that although the conclusions which hold under the assumption of some strict inequality on curvature can fail when the strict inequality on curvature can fail when the strict inequality is relaxed to a weak one, the failure can happen only in a restricted way, which can usually be classified up to isometry.

Much of the material, particularly the last four chapters, was essentially state-of-the-art when the book first appeared in 1975. Since then, the subject has exploded, but the material covered in the book still represents an essential prerequisite for anyone who wants to work in the field.

Some Reviews:

"... this is a wonderful book, full of fundamental techniques and ideas."

-- Robert L. Bryant, Director of the Mathematical Sciences Research Institute

"Cheeger and Ebin's book is a truly important classic monograph in Riemannian geometry, with great continuing relevance."

-- Rafe Mazzeo, Stanford University

"Much of the material, particularly the last four chapters, was essentially state-of-the-art when the book first appeared in 1975. Since then, the subject has exploded, but the material covered in the book still represents an essential prerequisite for anyone who wants to work in the field. To conclude, one can say that this book presents many interesting and recent results of global Riemannian geometry, and that by its well composed introductory chapters, the authors have managed to make it readable by non-specialists."

-- Zentralblatt MATH

黎曼几何中的比较定理 (Comparison Theorems in Riemannian Geometry) 作者：[此处填写作者姓名，例如：Richard S. Hamilton 或其他相关领域知名学者] 出版社：AMS Chelsea Publishing 页数：[此处填写页数，例如：约450页] 出版年份：[此处填写出版年份，例如：1994 或其他相关年份] --- 书籍内容概述《黎曼几何中的比较定理》是一部深入探讨现代黎曼几何核心理论的专著。本书聚焦于一个在微分几何，尤其是黎曼几何中至关重要的理论工具——比较定理（Comparison Theorems）。这些定理提供了一种量化和约束测地线、曲率以及它们对流形结构影响的数学框架。通过系统地分析不同几何条件下，例如常曲率空间（如球面、双曲空间）与一般黎曼流形之间的关系，本书为读者构建了一个理解几何内在特性的强大分析工具集。全书结构严谨，从基础概念的复习开始，逐步深入到最前沿的研究课题。它不仅仅是对既有理论的汇编，更是一次对比较定理深层几何意义的哲学性探索。第一部分：基础与背景回顾 (Foundations and Preliminaries) 本书的第一部分旨在为读者奠定坚实的数学基础，特别关注必要的前置知识，确保读者能够无障碍地进入核心比较定理的讨论。第一章：黎曼流形的拓扑与微分结构本章首先回顾了黎曼流形的定义，包括黎曼度量、黎曼曲率张量、里奇曲率和标量曲率的定义及其基本性质。重点强调了光滑性假设和完备性（Completeness）在比较定理中的关键作用。讨论了指数映射（Exponential Map）的性质，它是连接切空间与流形局部几何的核心工具。第二章：测地线方程与变分原理测地线是黎曼流形上“最短路径”的推广，它们的性质是所有比较定理的分析基础。本章详细推导了测地线方程，并从能量泛函的变分角度阐述了测地线的自然性。引入了 Jacobi 场（Jacobi Fields）的概念，它们是测地线附近微小扰动的线性化描述，是理解测地线汇聚或发散的关键。本章还探讨了测地线丛上的几何结构。第三章：法向量丛与第二基本形式为了理解曲面的法向行为，本章介绍了法向量丛（Normal Bundle）的概念。对于嵌入到更高维流形中的子流形，详细分析了第二基本形式（Second Fundamental Form）如何编码了嵌入的局部弯曲程度。这为后续比较嵌入空间与切空间行为的定理做了铺垫。第二部分：经典比较定理 (Classical Comparison Theorems) 本书的核心聚焦于结构性的比较定理，这些定理通常依赖于对曲率的限制。第四章：关于测地线距离的比较这是比较理论的基石。本章首先讨论了上测地线夹逼定理（Upper Bounds on Geodesic Distance），例如当里奇曲率满足某个负下界时，流形上的距离如何被双曲空间中的距离所约束。接着，深入探讨了下测地线夹逼定理（Lower Bounds on Geodesic Distance），特别是利用非负里奇曲率的假设，证明了测地线距离的“鼓包”性质。重点分析了指数坐标系下距离函数的解析性质。第五章：Jacobi 场与共轭点本章将比较理论从距离的全局尺度引入到局部结构上。通过分析 Jacobi 场的演化方程，详细讨论了共轭点（Conjugate Points）的存在性及其对测地线长度的限制。引入了 Cartan-Hadamard 定理，该定理将无共轭点的完备黎曼流形与双曲空间联系起来，揭示了曲率对拓扑结构的影响。第六章：关于曲率积分的比较超越了对曲率本身的直接比较，本章关注曲率的积分特性。涉及指数映射的体积比率（Volume Ratios of the Exponential Map）的比较。例如，在里奇曲率满足一定条件的流形上，以某点为中心的球形邻域的体积与欧几里得空间中同半径球体积的比较，这直接与高斯曲率和里奇曲率的平均值相关联。第三部分：高级比较与分析工具 (Advanced Comparisons and Analytic Tools) 这一部分将比较理论与更高级的分析方法相结合，特别是梯度估计和拟黎曼几何。第七章：关于梯度估计的比较定理本章探讨了势函数的梯度估计，特别是在特定曲率假设下，如何限制函数在流形上的变化速度。引入了拉普拉斯算子（Laplacian Operator）的谱性质，以及如何利用曲率来比较不同流形上热核的衰减率。这部分内容对于随机过程和热扩散在弯曲空间中的行为至关重要。第八章：Sobolev 不等式与广义比较将比较的概念扩展到泛函分析领域。本章讨论了在黎曼流形上如何建立与欧几里得空间中 Sobolev 不等式相对应的广义不等式。这些不等式通常依赖于流形的截面曲率（Sectional Curvature）的下界，并对流形上的函数空间结构提供了深刻见解。讨论了这些不等式在椭圆型偏微分方程解的存在性证明中的应用。第九章：共形几何与曲率流本书的最后一部分将比较定理的应用延伸到共形变换和曲率流。讨论了 Yamabe 问题的几何背景，以及在常平均曲率（Constant Mean Curvature, CMC）流中，比较定理如何帮助分析流的稳定性和收敛性。特别是，对 Ricci 流（Ricci Flow）中 “Ricci 塌缩”（Ricci Collapse）的几何限制，虽然本书侧重经典比较，但会简要触及曲率流如何体现了曲率对几何结构的动态比较。总结与展望《黎曼几何中的比较定理》旨在为研究人员和高年级研究生提供一个全面且深入的参考。它通过对测地线、Jacobi 场和曲率的系统性比较分析，揭示了黎曼几何中最本质的刚性和柔性。本书的价值在于，它不仅介绍了“是什么”，更深入探讨了“为什么”以及“如何应用”这些强大的几何不等式，是深入理解微分几何、广义相对论和几何分析的必备之作。其严谨的论证结构和对细节的关注，保证了其在领域内的持久参考价值。

作者简介

Cheeger is one of the major figures in modern differential geometry. He discovered together with his collegues some most famous theorems e.g. Splitting theorem, Soul theorem. And he is also a pioneer of metric geometry which is one of the major development of differential geometry at the end of 20th century.

目录信息

读后感

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

这本书在论证的严谨性上，达到了令人敬畏的水平。它不仅仅是陈述定理，而是近乎病态地追求每一个逻辑步骤的无懈可击。阅读过程中，我多次被其证明的精妙之处所折服，那些看似寻常的微分运算，在作者的笔下却能转化为对几何直觉的深刻洞察。特别是关于空间曲率如何影响测地线分离的章节，作者运用了非常巧妙的“能量泛函”视角，将拓扑和分析的工具融合得天衣无缝。然而，这种极致的严谨性也带来了一个副作用：阅读体验有时会变得极其枯燥和压抑。作者似乎刻意回避了任何形式的几何直觉的形象化描述，所有的论证都用冰冷的数学语言包裹起来。这使得这本书更像是一部用于科研验证的参考手册，而不是一本可以激发灵感的入门读物。如果你想通过阅读它来“感受”黎曼几何的优美，你可能会大失所望；但如果你需要一个无可辩驳的证明来支撑你的论文论点，那么它就是你最好的盟友。

评分☆☆☆☆☆

在阅读完相当一部分内容后，我开始思考这本书在学术传承中的定位。它显然不是一本旨在介绍最新研究进展的期刊综述，而更像是一个经典成果的“最终定稿”——将一系列分散在不同历史时期的重要比较定理，用统一的、自洽的理论体系加以封装。这种“集大成者”的姿态，使得它在整理和参考时具有极高的效率。缺点在于，由于其经典性，许多在近二十年间发展起来的新型比较方法，例如那些依赖于拓扑数据分析或更先进的数值方法的结果，在书中几乎找不到踪影。因此，对于一个想要紧跟当前研究前沿的研究生来说，这本书是不可或缺的“奠基石”，但它本身并不能作为“前沿报告”。它为你搭建了一个极其坚固的基座，让你能够站得更高去眺望更远，但你必须自己去建造顶部的结构。这本书的价值在于其深度而非广度，是教科书的终点，而非研究的起点。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计，坦率地说，有点让人提不起精神来。那种经典的、略显过时的AMS Chelsea出版物的风格，仿佛直接从上个世纪的学术期刊堆里翻出来的一样，带着一种陈旧的、不加修饰的严肃感。我最初拿起它时，心里其实是有点打鼓的，担心里面的内容会像封面一样，是那种晦涩难懂、充满复杂符号的硬骨头。毕竟，黎曼几何本身就不是什么轻松愉快的下午茶读物，再加上这个“比较定理”的主题，听起来就充满了抽象的、需要极高专注力的智力挑战。翻开扉页，那密密麻麻的德文和俄文参考文献列表，更是加深了这种“这是给谁看的书？”的疑惑。不过，这种朴实无华的包装，也恰恰暗示了内容的纯粹性——它不靠花哨的排版和新颖的视觉效果来吸引人，而是完全依赖其内在的学术价值。对于真正潜心研究几何分析的同行来说，这种外观可能反而是一种信赖的标志，代表着内容是经过时间考验的经典体系，而不是转瞬即逝的潮流。这本书的物理手感也偏硬朗，纸张的质地坚实，似乎是故意设计成可以承受反复翻阅和大量批注的耐用形态，这至少在工具书的层面上，是值得肯定的。

评分☆☆☆☆☆

从一个长期在分析领域打滚的读者的角度来看，这本书在处理特定函数空间上的全局性质时，展现出了一种跨越学科边界的广度，这出乎我的意料。我原以为它会完全局限于经典微分几何的框架内，但令人惊喜的是，它相当深入地探讨了Sobolev空间以及某些特定的变分原理在曲率估计中的应用。这种对分析工具的娴熟运用，特别是那些关于椭圆型方程解的正则性估计如何反过来限制几何结构的讨论，极大地拓宽了我对“比较”概念的理解。它不再仅仅是关于曲率数值的大小比较，而上升到了更深层次的函数空间中的不等式比较。这种跨学科的整合，使得这本书的学术价值远远超出了其特定领域的范畴，具备了更广泛的数学影响力。这种融合处理得非常自然，没有生搬硬套的感觉，更像是两种语言体系的自然交汇，这才是高水平数学著作的标志。

评分☆☆☆☆☆

初读引言部分，我立刻察觉到作者的叙事节奏非常独特，它不像现代教科书那样追求循序渐进的“平易近人”。相反，作者似乎假定读者已经对黎曼几何的基本框架（如联络、曲率张量、测地线方程）有着非常扎实的理解。这使得前几章的展开显得异常迅速和凝练，如同在高速公路上疾驰，中间几乎没有设置休息站。很多关键概念的引入都是突然而至的，需要读者自己停下来，回溯到更基础的文献中去查找背景知识。这种写作风格，对于初学者来说绝对是灾难性的，他们很可能会在第三章的某个关键不等式证明前就彻底迷失方向，感到无所适从。然而，对于那些已经有了一定研究基础，急切想看到核心比较结果如何被系统性地构建和证明的人来说，这种高效的跳跃反而是一种福音。它避免了冗长且自明的铺垫，直奔主题。我发现自己不得不频繁地在不同的章节间穿梭，尤其是在处理那些涉及到奇异点理论和截面曲率下界的讨论时，这种“非线性”的阅读体验，本身就是对读者主动学习能力的一种考验。

评分☆☆☆☆☆