Analysis and Algebra on Differentiable Manifolds pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:P. M. Gadea

出品人:

页数:456

译者:

出版时间:2009-12-9

价格:GBP 53.99

装帧:Paperback

isbn号码:9789048135639

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拓扑学与微分几何的交汇：几何结构与张量分析的深度探索 导言 本书旨在为读者提供一个深入且全面的视角，探究现代数学中两个核心领域——拓扑学与微分几何——的基石与前沿。我们专注于构建一个严谨的数学框架，用以描述和分析光滑流形上的几何结构，同时强调其在现代物理学，特别是广义相对论和规范场论中的应用。不同于侧重于抽象代数结构或纯粹分析的教材，本书的核心在于几何直觉与严格分析的完美融合，旨在培养读者在复杂空间中进行推理和计算的能力。 第一部分：流形的基础与拓扑结构 本书的开篇将系统地建立光滑流形这一核心概念的数学基础。我们将从拓扑空间的定义出发，逐步引入可微结构，即光滑坐标卡和转移函数的概念。读者将学习如何精确地定义一个光滑流形，并理解其局部具有欧几里得空间的性质，而整体结构则由拓扑性质决定。 详细讨论将围绕以下关键概念展开： 拓扑流形与嵌入定理： 对流形概念的严格界定，以及探讨将抽象流形嵌入到更高维欧几里得空间的可行性与限制。 光滑结构与同胚： 区分拓扑等价与光滑等价，介绍微分同胚的概念及其重要性。我们将深入分析奇异点理论在理解流形结构中的作用。 子流形与商空间： 学习如何在已有的流形上定义子流形，并探讨商空间的构造，例如射影空间 $mathbb{RP}^n$ 和复射影空间 $mathbb{CP}^n$ 的几何构造。 纤维丛理论的初步介绍： 纤维丛是理解流形上局部信息如何“粘合”起来的关键工具。我们将介绍向量丛、主丛的概念，以及截面的定义，为后续的张量分析奠定基础。 第二部分：切空间与张量场：局部的几何分析 在建立了流形的概念之后，本书的重点将转向对流形上切空间的深入研究，这是进行局部微分分析的必要工具。 切向量与切空间： 我们将严格定义切向量作为曲线的导数，并构建流形上每一点的切空间 $T_pM$。读者将学习如何利用坐标系来表示切向量，并理解切空间的线性代数结构。 微分形式与张量： 深入讲解张量场的定义，包括协变张量（如度规张量）和反变张量（如切向量场）。我们将重点介绍微分 $k$-形式，它们是研究流形上积分和微分算子的基础。张量代数的运算，包括张量的收缩、积和提升/下降操作，将被详尽阐述。 联络与协变导数： 这是微分几何的核心挑战之一：如何在不依赖坐标系的情况下定义微分运算？我们将介绍联络的概念，以及由此导出的协变导数 $ abla$。我们将特别关注黎曼联络的唯一性（基于度规张量），并推导出克里斯托费尔符号的精确表达式。 第三部分：曲率的几何学 曲率是衡量流形偏离平坦性的核心度量。本部分将完全致力于曲率的代数表示和几何意义。 黎曼曲率张量： 基于协变导数，我们将构建黎曼曲率张量 $R$。读者将学习如何利用该张量来分析向量场在流形上的平行移动过程中发生的“扭曲”。我们将详细分析曲率张量的代数对称性。 截面曲率与里奇曲率： 通过对黎曼曲率张量的收缩，我们将定义里奇曲率和标量曲率。这些量在爱因斯坦场方程的几何解释中占据核心地位。 测地线方程： 测地线是流形上的“最短路径”。我们将利用黎曼联络推导出测地线方程，并探讨测地线的存在性与唯一性定理。我们将分析测地线的不完备性问题（如黑洞视界内的情形）。 第四部分：积分与外微分算子 为了将微分工具应用于全局分析，我们需要引入积分的语言——微分形式的语言。 微分形式的楔积： 详细介绍楔积（或称为外积）的性质，该运算是微分几何中构造高阶微分形式的关键。 外微分算子 $mathrm{d}$： 定义流形上的外微分算子 $mathrm{d}$，并证明其满足 $mathrm{d}^2 = 0$ 的基本性质。我们将探讨 $mathrm{d}$ 与梯度、旋度和散度算子之间的联系。 德拉姆上同调（初步）： 介绍德拉姆上同调群 $H^k_{mathrm{dR}}(M)$ 的概念，它们由闭形式（$mathrm{d}omega = 0$）模以恰当形式（$omega = mathrm{d}eta$）定义。这将是连接代数拓扑与微分几何的关键桥梁。 斯托克斯定理的推广： 本书的高潮之一是展示广义斯托克斯定理，它将外微分算子与流形上的积分联系起来，形式为： $$ int_{partial M} omega = int_{M} mathrm{d}omega $$ 我们将详细分析斯托克斯定理在不同维度下的具体形式（如格林公式、高斯公式和经典斯托克斯公式）。 第五部分：特殊流形与应用实例 最后一部分将考察几种具有特殊结构的重要流形，并展示前述理论在具体问题中的应用。 李群与李代数： 介绍李群作为具有光滑群结构的流形，及其在无穷小对称性分析中的作用。我们将建立李代数与左不变向量场之间的对应关系，并探讨指数映射。 辛流形： 探讨辛结构（一个非退化的闭2-形式）在经典力学（哈密顿力学）中的几何基础。我们将分析刘维尔定理的流形几何表述。 规范场论的几何视角： 简要介绍向量丛上的联络如何对应于物理学中的规范势（如电磁势），以及曲率如何对应于场强（如电磁场张量）。 结论 本书旨在为读者提供一套扎实、连贯的工具箱，使他们能够用几何语言精确地描述和分析光滑空间中的结构和变化。通过对拓扑基础、张量分析、曲率度量和微分形式积分的全面覆盖，读者将为进一步研究现代数学物理的复杂课题做好充分准备。

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这本书最让我感到惊喜的是它对“代数”与“分析”之间桥梁的构建。在很多教材中，这两个领域往往被割裂开来，但在这里，它们如同双螺旋结构般交织前行。特别是处理特征类（Characteristic Classes）的部分，作者并没有直接抛出拓扑学定义，而是先通过向量丛上的微分形式的积分性质，巧妙地引入了陈示性类（Chern Classes）的概念，这种“分析先行，代数收尾”的策略，极大地降低了初学者的心理门槛。随后，当介绍到霍普夫不变量（Hopf Invariant）时，它被优雅地用代数拓扑的语言重新表述，使得读者清晰地认识到，看似复杂的拓扑不变量是如何由微分几何的构造中自然涌现的。这种由浅入深、层层递进的结构，体现了作者深厚的教学功底。我个人认为，对于那些希望未来从事理论物理或更深层次拓扑研究的读者来说，这本书提供了不可替代的数学工具箱，而且里面的工具都经过了最精密的校准。

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说实话，我是一个对数学排版和视觉呈现要求较高的人。这部著作的排版堪称典范，字体选择、公式的对齐、图表的清晰度，都达到了出版业的最高水准。这在如此技术密集型的领域中并不常见，但它确实影响了阅读的专注度。当我沉浸在关于稳定映射或拉回（Pullback）的复杂计算中时，清晰的排版能最大限度地减少视觉疲劳和认知负荷。此外，本书的附录部分也值得大书特书。它没有简单地堆砌预备知识，而是针对性地补充了必要的群论和线性代数知识点，这些内容都与流形理论的后续发展息息相关，显示出作者对学生学习路径的整体规划的深思熟虑。它不像是匆忙赶工的产物，而更像是作者花费数十年心血打磨出来的艺术品，每一个细节都经得起推敲。

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当我将这本书推荐给我的学生时，他们最先注意到的就是其中引人入胜的习题设计。这不是那种纯粹为了测试计算能力而设置的机械练习，而是真正引导思考、触及核心概念的挑战。例如，关于辛几何结构在经典力学系统中的体现那一章，习题迫使学生去思考如何将抽象的李维导数转化为具体的演化方程，这种从理论到应用的转化过程是极其宝贵的。此外，本书在引入测地线概念时，所采用的变分原理的推导过程清晰得令人惊叹，它避免了在欧几里得空间中常见的“作弊”技巧，而是完全立足于流形本身的内在属性。这种对“内在性”的坚持，使得读者在后续接触更高级的微分几何分支时，能建立起非常稳固的基础。虽然篇幅不薄，但阅读体验却出奇地流畅，这要归功于作者对逻辑衔接的完美把控，几乎没有出现任何令人困惑的跳跃。它像一位经验老道的导游，总能准确地预见到学习者可能迷失的方向，并提前准备好清晰的路标。

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这部作品的价值，更在于它提供的研究视野。它没有止步于经典的微分几何，而是将读者的目光引向了更前沿的领域，比如规范场论（Gauge Theory）的数学基础。书中对联络（Connection）和曲率的深入探讨，为理解杨-米尔斯理论提供了坚实的数学骨架。我曾见过一些同行在尝试将量子场论的某些概念形式化时陷入泥潭，而回顾本书中对主纤维丛上联络的微分形式的讨论，往往能找到突破口。它教会我们的，不是如何解开某个特定的难题，而是如何建立一个足够强大的数学模型来描述那些尚未解决的问题。它培养了一种“结构化思维”的能力，让你在面对任何新的几何对象时，都能本能地去寻找它的坐标系、它的度量以及它上的微分算子。对于有志于学术研究的读者而言，这本书的份量，远超其物理尺寸。

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这部著作初版问世时，我就有幸拜读过它的早期手稿，至今仍对其中对拓扑结构与代数工具的精妙结合留下了深刻印象。作者在处理黎曼几何的复杂性时，采取了一种极其系统和清晰的路径，特别是关于纤维丛的论述部分，简直是里程碑式的突破。他们并没有满足于仅仅罗列公式，而是深入挖掘了这些数学工具背后的几何直觉。我记得当时，许多研究生都在为理解曲率张量的内在意义而苦恼，而这本书提供了一种令人耳目一新的视角，将抽象的张量运算与流形上的物理实在紧密地联系起来。尤其值得称赞的是，书中对德拉姆上同调的介绍，其严谨性毋庸置疑，但更重要的是，它成功地将这个强大的工具置于一个易于掌握的框架之下，使得即便是初次接触的读者也能感受到其无穷的威力。这本书的叙述风格是那种沉稳而又不失灵动的古典数学风格，每一个定理的引入都水到渠成，仿佛是自然规律的揭示，而非人为的构建。它不仅仅是一本教科书，更像是一份对数学之美的深度沉思录，值得反复品味和研习。

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