Geometry 2 (Universitext) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag* Ny Inc

作者:Marcel Berger

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1987-05

价格:USD 64.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780387170152

丛书系列:universitext

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好的，这里为您构思一份针对一本名为《几何学 2（Universitext）》的书籍的详细简介，这份简介将不包含任何关于《几何学 2（Universitext）》本身的内容，而是介绍一本不同的，专注于某个特定几何学分支的教材。 --- 《微分几何导论：曲率、流形与张量》 简介 《微分几何导论：曲率、流形与张量》是一部为数学、物理学以及相关工程领域的高年级本科生和初级研究生量身定制的教材。本书旨在系统而深入地介绍现代微分几何的核心概念与工具，强调从经典的欧几里得几何直觉到抽象的微分结构之间的过渡，为读者构建起一个坚实的、可以用于更高深研究的理论框架。 本书的编写遵循循序渐进的原则，从几何学的基本元素入手，逐步过渡到更复杂的拓扑和分析结构。我们认为，理解微分几何的精髓在于掌握如何在光滑的曲面上进行“局部”和“整体”的分析，以及如何使用微积分的语言来描述空间和形变。 第一部分：欧几里得空间中的曲线与曲面 我们从读者较为熟悉的欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 开始。第一章回顾了曲线论的基础，侧重于局部几何的描述工具，如自然参数化、挠率、曲率的几何意义。我们详细分析了平面曲线的内蕴性质，并引入了 Frenet-Serret 标架——这是理解三维空间中曲线如何弯曲和扭曲的关键工具。 第二章将焦点转向曲面。曲面的研究是微分几何的经典起点，它要求我们将一维的微积分概念提升到二维的拓扑空间。我们引入了曲面的第一、第二基本形式，这些二次型是描述曲面局部度量的基本代数结构。重点讨论了法向量场、主曲率以及高斯曲率和平均曲率的概念。高斯绝妙定理（Theorema Egregium）将作为本章的理论高潮，它揭示了曲率的内蕴性——即曲率只取决于曲面本身结构，而与它如何嵌入外部空间无关。我们通过实例演示了平面、球面、环面以及旋转曲面的几何特性。 第二部分：流形与张量分析的建立 从第三章开始，本书转向更抽象但更普适的微分几何语言——流形。流形是现代几何学的基石，它允许我们将微积分的概念推广到任意维度、任意弯曲的空间。我们从拓扑空间的预备知识出发，定义了拓扑流形和光滑流形。关键在于理解坐标图册和转移函数的概念，它们保证了在不同局部坐标系下进行光滑过渡的可能性。 第四章是全书的分析核心，专注于切空间和张量场。切空间 $T_pM$ 是流形上一个至关重要的向量空间，它承载了所有“方向”和“速度”的信息。我们通过导数（向量场）的定义来构造切空间，并利用对偶空间来构建微分 1-形式。张量，作为多重线性映射的推广，被系统地介绍。我们详细区分了协变张量、反变张量以及混合张量，并解释了它们在坐标变换下的行为，这是理解物理定律（如广义相对论中的时空度量）的必要准备。 第三部分：联络、测地线与黎曼几何 第五章引入了微分几何中最具挑战性也最具回报的概念之一：联络（或称连接）。向量场在流形上“平行移动”的概念是微分几何区别于纯拓扑学的标志。我们首先定义了 Levi-Civita 联络，它是在黎曼度量（下一章介绍）的约束下唯一确定的无挠率、度量兼容的联络。我们详细推导了 Christoffel 符号的计算方法，并阐述了它在局部坐标系下如何体现空间的弯曲。 第六章是黎曼几何的奠基。我们正式引入黎曼度量张量 $g$——一个定义在每一点切空间上的正定对称二次型。度量张量允许我们在流形上定义长度、角度、体积和距离。基于 Levi-Civita 联络和黎曼度量，我们导出了测地线方程，测地线被定义为“最短路径的推广”，是流形上的“直线”。本章深入探讨了曲率张量（Riemann Curvature Tensor $R_{ijkl}$），这是描述流形局部“不平坦”程度的终极代数工具。我们将曲率张量分解为里奇张量和斯卡拉曲率，并探讨了这些量在描述空间几何中的作用。 第四部分：应用与深入主题 第七章聚焦于联络和曲率的整体几何意义。我们讨论了可积性问题，即向量场和微分形式的积分。通过引入外微分算子 $d$，我们将微积分中的梯度、旋度和散度统一在一个框架内，并引入了德拉姆上同调（De Rham Cohomology）的概念。这一工具展示了流形的拓扑结构如何通过微分形式的积分性质（如Stokes' Theorem的推广）被精确地编码。 第八章简要介绍了微分几何在物理学中的应用，特别是纤维丛和规范场论的初级概念。我们阐述了如何将曲率的概念提升到更一般的纤维丛上，以描述电磁场和引力场等物理现象。本章旨在激发读者将抽象的数学工具应用于解决实际问题的兴趣。 学习目标与特点 本书的特点在于其严谨的代数基础与清晰的几何直觉的完美结合。通过大量的几何例子（如球面几何、双曲几何的初步介绍）来辅助抽象概念的理解，并配有大量的习题，从计算性的坐标变换练习到更具概念性的证明题。 完成本书的学习后，读者将能够： 1. 熟练运用张量分析来描述弯曲空间中的物理量。 2. 理解并计算任意光滑流形上的黎曼曲率。 3. 掌握联络和测地线的概念，并应用于解决运动学问题。 4. 理解微分形式在积分几何和拓扑学中的核心作用。 《微分几何导论：曲率、流形与张量》不仅是一本介绍工具的书，更是一扇通往现代几何学、广义相对论和拓扑学深处的大门。

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初拿到这本《微积分基础导论》时，我抱着一种既期待又略带忐忑的心情。毕竟，微积分这门学科向来被视为数学学习中的一道分水岭，它要求学习者不仅要掌握扎实的代数和三角函数基础，更需要培养出一种抽象的、动态的思维模式。这本书的封面设计简洁而富有质感，透露出一种严谨的学术气息。翻开扉页，首先映入眼帘的是对这门学科历史沿革的简要介绍，这让我立刻对后续的学习内容产生了浓厚的兴趣。作者似乎非常清楚初学者在面对极限、导数和积分这些概念时的困惑点，因此在章节的编排上煞费苦心，力求循序渐进。比如，在讲解极限的$epsilon-delta$定义时，书中不仅仅是给出了冷冰冰的数学符号，而是通过大量的直观图形和生活中的类比（比如“无限接近但不等于”的概念），试图在读者的脑海中构建一个清晰的几何图像，这种教学上的用心程度，着实让人感到温暖。我尤其欣赏它对概念引入的节奏感，它不像某些教材那样急于抛出复杂公式，而是先用一个实际问题驱动，引导读者自然而然地去探寻微积分工具的必要性，这种“问题导向”的学习路径，极大地激发了我深入钻研下去的内在动力，让原本枯燥的理论学习过程变得充满了探索的乐趣。

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这本书在处理“导数”这一核心概念时，展现出一种近乎雕塑般的精确性与艺术感。我记得有一章专门讨论了速率和斜率之间的联系，作者没有直接跳入导数的定义，而是花费了大量篇幅讨论“瞬时变化率”的直观含义。他巧妙地运用了物理学中的速度概念作为切入点，通过计算越来越短时间间隔内的平均速度，来逼近那个“瞬间”的速度，这整个过程被描绘得如同慢镜头回放一般清晰。当我读到如何用割线趋近于切线时，那图像的动态变化过程仿佛就在我的眼前上演，让人有一种豁然开朗的感觉。更令人称道的是，书中对导数的几何意义和物理意义的探讨是相互贯通的，它并没有将数学知识孤立起来，而是不断地将其置于更广阔的应用场景中去考察。例如，在讲解隐函数求导时，作者不仅给出了详细的步骤推导，还配上了三维空间中曲面的例子，这对于那些习惯于视觉化思考的读者来说，无疑是极大的帮助。总而言之，它成功地将抽象的微分概念“实体化”了，让学习过程从单纯的符号运算升华为对自然界运动规律的深刻洞察，这一点是很多同类教材难以企及的深度。

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关于定积分的介绍部分，我认为是这本书中最具挑战性，但也最令人震撼的部分。作者深知黎曼和的构建是理解定积分的关键，但同时这也是初学者最容易感到困惑的地方——为什么要把区间无限细分？这本书的处理方式非常高明。它从计算不规则面积和曲线下面积的古老难题入手，一步步引导我们认识到“无限求和”的必要性。我尤其喜欢它对“极限”在积分中的应用所做的阐述，那是一种对无限分割过程的完美控制。书中甚至专门辟出一个小节，讨论了微积分基本定理的证明思路，虽然证明本身相当严谨，但作者在叙述上保持了一种哲学思辨的口吻，仿佛在邀请读者一同思考“求导和求和这两个看似相反的操作，是如何在数学的宏大体系中达成统一的”。这种叙事风格，使得原本晦涩难懂的定理，变成了一场精彩的数学逻辑盛宴。我花了比平时多一倍的时间去研读这一部分，因为它不仅仅是在教我一个计算工具，更是在向我展示一种数学家看待世界的方式——一种将整体分解为无限小的部分，再通过严密逻辑重构整体的思维范式，这对我此后处理复杂问题大有裨益。

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从整体的阅读体验来看，这本书的排版和语言风格都透露着一种老派而可靠的信赖感。字体选择清晰易读，数学符号的绘制精准无误，这在处理复杂的积分表达式时尤为重要，避免了因视觉疲劳而导致的理解偏差。作者的语气始终保持着一种温和而坚定的引导姿态，他从不居高临下地灌输知识，而是像一位经验丰富的导师，在你每一步困惑时适时地伸出援手。特别是那些“历史注脚”和“深入探讨”的小插曲，它们偶尔出现在正文的侧边，简要介绍了某一方法的发现者或者某个概念的哲学根源，这些点缀使得整本书的阅读体验丰富而不失深度。它们让我明白，数学并非是真空中的楼阁，而是人类智慧不断试错和完善的结晶。读完这本书，我最大的感受是，我对“变化”这件事有了更深刻、更具数学美感的理解。它不仅仅是一本教授计算技能的书籍，更是一本关于如何用精确的逻辑去捕捉世界万物瞬息万变的哲思录，其价值远超出一本普通的教科书范畴。

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这本书的习题设计可以说是“德才兼备”，既有扎实的基础训练，又不乏巧妙的思维陷阱。许多教材的习题往往是机械的重复计算，读完例题后做几道相似的题，便认为掌握了。然而，这本教材的作者显然不满足于此。基础巩固题量适中，确保读者能够熟练运用新学的法则和公式，这一点无可挑剔。但真正让我眼前一亮的是那些“挑战性问题”或“应用探讨”部分。它们往往不是直接套用公式就能解决的，而是要求读者将来自不同章节的知识点进行巧妙的嫁接和重组。比如，有一道题要求利用导数来优化一个涉及能源消耗的运输模型，这迫使我必须跳出纯粹的数学框架，去理解现实世界中哪些量是自变量，哪些是因变量，以及约束条件如何影响优化目标。这种跨学科的整合训练，极大地提升了我的问题解决能力。更重要的是，书后附带的详细解题步骤和思路解析，避免了读者在卡壳时感到沮丧，它不是简单地给出答案，而是引导你如何“绕过”思维的死胡同，这才是真正的高质量学习资源应有的品质。

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