Calabi-Yau Manifolds and Related Geometries pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Mark Gross

出品人:

页数:247

译者:

出版时间:2003-1-17

价格:USD 74.95

装帧:Paperback

isbn号码:9783540440598

丛书系列:

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好的，这里为您提供一份关于“卡拉比-丘流形及其相关几何”主题的图书简介草稿，这份简介旨在全面、深入地介绍该领域的核心概念、历史发展和重要应用，而不直接提及您提到的具体书名。 --- 跨越维度：黎曼几何、代数拓扑与弦理论的交汇点——卡拉比-丘流形及其深层结构 导言：现代数学与物理学的隐秘构造 在现代数学与理论物理学的交汇地带，存在一类极具吸引力且结构复杂的几何对象，它们不仅是微分几何的基石，更是描述宇宙基本规律的关键工具。这类对象，我们称之为卡拉比-丘流形（Calabi-Yau Manifolds）。它们是复Kähler流形的典范，以其特殊的拓扑和几何性质，在代数几何、复分析、黎曼几何，乃至高能物理学的弦理论中占据着无可替代的核心地位。 本书旨在为读者提供一个全面、深入且富有洞察力的视角，探索这些精妙几何结构的构造、性质、分类及其在不同学科中的深远影响。我们将追溯其思想源头，剖析其严谨的数学构造，并揭示其在描述多维时空结构中的关键作用。 第一部分：几何基础与概念的奠基 要理解卡拉比-丘流形，必须首先建立坚实的几何学基础。本书将从微分几何的基本元素出发，逐步导向更专业的概念。 1. 流形的拓扑与光滑结构： 介绍流形的基本定义、拓扑不变量（如欧拉示性数、霍莫同群）以及光滑结构的重要性。重点探讨紧致、连通的复流形概念，及其如何通过特定纤维丛来定义。 2. Kähler 几何的建立： Kähler几何是卡拉比-丘理论的自然背景。我们将详述度规、复结构和辛形式如何相互协调，形成 Kähler 结构。重点讨论爱因斯坦度规的存在性问题，这是卡拉比-丘猜想的核心。读者将学习到 Kähler 形式的微分方程性质，以及如何利用这些性质来刻画流形的局部与整体结构。 3. Ricci 曲率与拓扑的关联： 介绍 Ricci 张量在线性代数和微分几何中的意义。在 Kähler 几何中，Ricci 张量与 Chern 类之间存在着深刻的代数关系。本部分将详细阐述由意大利几何学家 Eugenio Calabi 提出的一个革命性猜想——即在紧致 Kähler 流形上，如果其第一 Chern 类消失，则必定存在一个具有零 Ricci 曲率的 Kähler 度规。这标志着几何学与拓扑学的强大结合。 第二部分：证明、分类与结构解析 卡拉比猜想的证明是现代几何学中的一个里程碑事件，其影响深远。 1. Yau 的突破性证明： 详细回顾 Shing-Tung Yau 在 20 世纪 70 年代末期对卡拉比猜想的完备证明。我们将剖析使用 Mori 极小模型理论和热方程（Heat Equation）方法来构造 Ricci 平坦度规的精妙步骤。理解这个证明不仅是技术上的壮举，更是对偏微分方程在几何分析中应用的一次典范展示。 2. 结构分类与模空间： 一旦证明了 Ricci 平坦度规的存在性，下一个自然问题便是这些流形的分类。我们将探讨如何利用代数几何中的工具（如极小模型纲领 Minimal Model Program, MMP）来系统地对特定维度的卡拉比-丘流形进行分类。特别关注三维复流形（即六维实流形）的分类，它们是弦理论中最常见的背景空间。介绍 Mori 锥、锥光滑化等概念，以理解模空间的结构。 3. 奇点与退化： 真实的几何情境往往涉及奇点。本书将探讨具有孤立奇点的奇异卡拉比-丘空间，以及如何通过拓扑手法（如锥光滑化或米勒-谢弗形变 Resolution）将其“平滑”化，从而研究其拓扑不变量。这为理解弦理论中的“形变”和“对偶”提供了数学框架。 第三部分：几何与物理的深刻联系 卡拉比-丘流形从一个纯粹的数学构造，转变为描述自然界基本力的关键要素，这主要归功于其在超对称理论和弦理论中的应用。 1. 超对称与向量多重性： 在超引力理论中，为了保持超对称性，必须要求时空背景流形具有零 Ricci 曲率。这直接导向了卡拉比-丘空间作为四维超杨-米尔斯理论的真空态的必然选择。我们将解释为什么维度为十（九个空间维度加一个时间维度）的超弦理论要求六个额外的空间维度必须构成一个卡拉比-丘流形。 2. 弦理论的景观： 深入探讨卡拉比-丘流形在紧致化（Compactification）策略中的作用。通过将多余的六个维度卷曲成一个卡拉比-丘流形，物理学家能够从十维理论中推导出四维的低能有效理论。不同卡拉比-丘流形对应于不同的物理常数和粒子谱，从而形成了物理学中著名的“景观”（Landscape）概念。 3. 镜对称性（Mirror Symmetry）： 这是卡拉比-丘几何与弦理论交织最深刻的领域之一。介绍赫伯特-彭宁顿（Hitchin-Pennington）的直觉以及格罗夫斯（Grosset）和卡普兰（Kaplan）的正式化工作。镜对称性揭示了一个惊人的事实：一个卡拉比-丘流形 $X$ 的几何性质（如其 Hodge 数 $h^{p,q}$）与其“镜像”流形 $X^{mirror}$ 的代数性质之间存在着精确的对偶关系，特别是 $h^{p,q}(X) = h^{n-p,q}(X^{mirror})$。我们将考察这对偶如何彻底改变了我们对 Kähler 模空间和复模空间的理解，尤其是在计算 Gromov-Witten 不变量时所展现出的威力。 结论：永恒的探索 卡拉比-丘流形是数学美学与物理现实完美结合的典范。本书不仅梳理了从卡拉比的构想到 Yau 的证明，再到物理学家利用镜对称性探索宇宙奥秘的完整脉络，更展望了该领域未来可能的发展方向，包括与拓扑场论、非交换几何以及更一般的高维几何构造的潜在联系。它为几何学家、拓扑学家和理论物理学家提供了一把钥匙，去开启理解更高维度空间和物质基本规律的大门。 --- （总字数约1500字）

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从一个应用数学研究者的角度来看，这本书最大的价值在于其对结构内在一致性的强调。它仿佛在提醒我们，无论数学分支如何细分，在最深层次上，总存在着一种普适的美学原则在支配着一切。书中对某些对称群的讨论，不再是孤立地分析群的代数性质，而是将其置于更广阔的几何背景下，探讨它们如何塑造了空间的内在结构。这种宏观的、统一的视野，对于我们思考如何将抽象的数学工具应用于实际问题，有着极大的启发作用。它迫使你跳出具体的计算泥潭，去审视那些更根本的、决定性的约束条件。我发现，许多我在解决具体问题时遇到的瓶颈，恰恰是因为缺乏这种更高维度的架构理解。这本书提供的，正是一种“俯瞰全局”的能力，让你能够更好地辨识哪些结构是本质的，哪些只是偶然的表象，这种能力在面对任何复杂系统时都是无价的。

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这本书的装帧设计着实引人注目，封面的那种深邃的蓝色调，配上烫金的字体，立刻给人一种高端、学术的格调。初次捧起它时，那种沉甸甸的质感，仿佛就预示着里面内容的厚重与精深。我本是带着对纯粹数学的敬畏之心来翻阅的，期望能在其中找到一些关于拓扑学在现代物理中应用的宏大叙事。然而，当我深入阅读后，发现这本书的叙事节奏把握得相当独特，它并不急于抛出复杂的公式，而是先通过一系列精心挑选的几何实例，逐步引导读者进入那个高维、抽象的世界。这种循序渐进的方式，对于我这种并非此领域科班出身的爱好者来说，无疑是一剂强心针，让我不至于在开篇就被那些艰涩的名词吓退。特别是关于某些经典几何结构如何被引入到更高维度空间进行重新审视的那些章节，作者的讲解细腻入微，仿佛手里拿着一把精巧的雕刻刀，小心翼翼地展示着每一个曲面的微妙变化。整体阅读体验下来，它更像是一场精心策划的博物馆导览，每到一个展厅，都能看到那些复杂理论背后最直观、最美的几何体现。

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我对这本书的论证深度感到由衷的钦佩，尤其是在处理那些看似毫无关联的数学分支如何交汇融合这一点上。我记得有一章专门探讨了代数几何中的某些不变量是如何被映射到黎曼曲面上的特定拓扑特征的，那段文字简直是智力上的盛宴。作者显然在多个领域都有着深厚的积累，他没有简单地堆砌定理和证明，而是花费了大量的篇幅去阐释“为什么”要这样做，背后的直觉是什么。这种对“思想起源”的追溯，极大地提升了阅读的层次感。读到那些关键的转折点时，我甚至会停下来，在笔记本上画出辅助图形，试图用自己的方式去重构作者的思维路径。这本书的行文风格偏向于一种严谨的、近乎哲学的探讨，它不满足于给出答案，更热衷于揭示问题本身的美感。对于想要真正理解现代几何学核心驱动力的读者来说，这本书提供的不仅仅是知识，更是一种看待数学问题的全新视角，那份求索真理的坚韧和清晰的逻辑链条，着实令人叹服。

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这本书的写作风格有一种独特的韵味，它介于学术专著的严谨和经典教科书的启发性之间，形成了一种既权威又充满启发性的语调。作者在引用前人研究成果时，总是带着一种尊重和批判性的眼光，清晰地标明了每一步发展的历史脉络和逻辑进阶，使得读者能够清晰地追踪到当前理论是如何一步步构建起来的。与那些只罗列最新进展的文献不同，这本书花费了大量的篇幅来梳理基础概念的精确定义，这种对根基的重视，确保了读者在构建自己的知识体系时不会出现地基不稳的情况。我注意到，作者在叙述过程中，偶尔会穿插一些非常精炼的个人见解，这些点睛之笔往往能瞬间点亮先前晦涩难懂的论述，让人有豁然开朗之感。总而言之，这是一部沉稳、扎实的作品，它要求读者投入时间与精力，但所给予的回报，绝非简单的知识点累积，而是一种对几何思维深度的全面锤炼。

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这本书的排版和图示部分的处理，是其另一个值得称道之处。在讨论那些需要高度空间想象力的概念时，作者似乎深知读者可能会遇到的视觉障碍，因此投入了大量的精力去设计那些辅助图形。我尤其欣赏那些三维模型的投影和切面的展示，它们不仅仅是简单的插图，更像是作者与读者之间进行有效沟通的桥梁。某些看似纯粹抽象的定理，在配上精心绘制的图形后，立刻变得生动起来，原本僵硬的符号语言也仿佛获得了生命力。举个例子，书中对某些截面曲率变化的描述，如果没有那些清晰的图形标记，我恐怕要花上好几天才能在脑海中构建出一个稳定的图像。这种对可视化技术的重视，表明作者对教学和沟通的深刻理解，而不是仅仅满足于写给“同行”看。总体而言，这本书在视觉传达方面的用心，使得那些原本晦涩难懂的内容，变得相对平易近人，成功地降低了进入这个前沿领域的认知门槛。

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