代数函数和射影曲线 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:世界图书出版公司

作者:戈德施密特

出品人:

页数:179

译者:

出版时间:2009-6

价格:25.00元

装帧:

isbn号码:9787510004735

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

• 数学
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探索广袤的数学宇宙：一本面向现代应用与理论的综合性数学著作 书名： 数理逻辑基础与集合论公理体系 简介： 本书旨在为读者构建一个坚实而深入的数理逻辑基础，并系统性地探讨现代集合论的公理化体系。我们深刻认识到，在数学的宏伟殿堂中，逻辑是构建一切严谨推理和结构化知识的基石。本书并非仅仅停留在形式逻辑的表层介绍，而是力求引导读者深入理解数学真理的本质、证明的有效性标准，以及不同公理系统对整个数学图景所产生的深远影响。 第一部分：形式化系统的构建与基础 本卷伊始，我们将从最基本的元素——符号、公式和推理规则——入手，系统地介绍经典命题演算（Propositional Calculus）与一阶谓词演算（First-Order Predicate Calculus）。我们详尽阐述了真值表法、语义学模型，以及形式证明的构造过程，强调了‘有效性’（Validity）与‘可证性’（Provability）之间的关系。读者将学习如何使用自然演绎法（Natural Deduction）和序列演算（Sequent Calculus）来规范地推导数学命题。 重点在于，我们将深入探讨一阶逻辑的完备性定理（Completeness Theorem），这是连接形式句法与模型语义学的核心桥梁。我们将详细剖析哥德尔（Gödel）的证明思想，这不仅是逻辑学的里程碑，更是理解数学基础的必经之路。此外，本书对紧致性定理（Compactness Theorem）的应用进行了拓展性论述，展示了它在代数结构和拓扑空间理论中的强大威力，例如证明存在某些无限模型。 第二部分：集合论——现代数学的基石 在逻辑基础夯实之后，本书转向现代数学的根基——集合论。我们摒弃了朴素集合论中“所有集合的集合”所引发的悖论，转而全面考察策梅洛-弗兰克尔集合论（Zermelo-Fraenkel Set Theory, ZF）及其加入选择公理后的ZFC系统。 本书对ZFC的九大公理进行了逐一的精细解读，阐释了每一条公理（如外延性、空集、配对、并集、幂集、分离、替换、无穷和正则性公理）在构建复杂数学对象时的不可替代性。我们不仅关注公理的表述，更着重分析它们在构造自然数、整数、有理数直至实数集上的完整路径。 第三部分：超越基础——模型论与高级集合论议题 本书的深度在于对前沿和非基础性议题的探讨。在模型论（Model Theory）的章节中，我们介绍了洛文海姆-斯科勒姆定理（Löwenheim-Skolem Theorems），特别是下述定理，它揭示了无限模型可能存在“非标准”的扩展，这对于理解数学对象的结构具有深刻的哲学和技术意义。我们用清晰的语言解释了如何构造可数无限模型，即使理论本身是关于不可数对象的。 针对集合论本身，本书投入大量篇幅探讨选择公理（Axiom of Choice, AC）的地位。我们详细论述了等价于AC的著名定理，如良序定理（Well-Ordering Theorem）和策恩引理（Zorn's Lemma），并阐释了它们在泛函分析和抽象代数中的广泛应用，例如证明哈恩-巴拿赫定理。 更进一步，本书引入了选择公理的独立性这一革命性成果。我们将概述哥德尔构造的可定义外集（Constructible Universe, L），证明了ZFC中无法证伪或证成连续统假设（Continuum Hypothesis, CH）。随后，我们转向福尔丁（Forcing）技术，这是保罗·科恩（Paul Cohen）的突破性工作，用以证明CH和选择公理在ZFC中是相互独立的。我们对福尔丁技术进行了高阶的、概念性的介绍，而非陷入繁琐的计算细节，确保读者能够掌握其核心思想——“制造新的模型”。 第四部分：递归论与计算的可行性 为了将逻辑学与计算科学的联系更为紧密，本书的最后一部分聚焦于递归论（Recursion Theory），亦称为可计算性理论。我们探讨了图灵机（Turing Machines）的概念及其对“可计算性”的精确定义，以及丘奇-图灵论题（Church-Turing Thesis）的意义。 我们深入研究了停机问题（Halting Problem）的不可解性，这是逻辑与信息科学交叉领域的核心结果。通过图灵机模型，我们讨论了递归函数、可计算语言和判定性问题（Decidability）。特别是，本书会详细分析哥德尔第二完备性定理（关于系统自身无矛盾性的不可证明性）与停机问题不可解性之间的深刻类比关系，以及它们如何共同构成了对数学“最终可判定性”的限制。 面向读者与适用范围： 本书的难度定位在中高水平，适合已经掌握微积分、线性代数和基础抽象代数知识的本科高年级学生、研究生，以及希望系统回顾和深化数理逻辑与集合论基础的研究人员。我们相信，通过对这套严谨逻辑体系的深入理解，读者将能以前所未有的清晰度审视所有高等数学分支的内在结构与哲学基础。本书不仅是工具书，更是一场关于数学自身边界的深刻探索。

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说实话，我一开始对这本书抱持着审慎的态度，毕竟“代数函数”和“射影曲线”听起来就像是两个平行世界的概念，如何将它们拧成一股绳，确实是个挑战。然而，这本书的作者展现出了惊人的驾驭能力。它并没有急于展示最顶尖的理论，而是花费了大量的篇幅来建立坚实的桥梁——比如，如何用代数方程来定义和描述那些在投影空间中具有特定不变性的图形。我尤其欣赏它在历史背景和数学动机上的穿插介绍。当我们了解到为什么伽罗瓦或黎曼会提出这些概念时，我们对待这些工具的态度就不再是工具本身，而是对人类智慧的尊重。这种“知其所以然”的阅读体验，让我在学习过程中充满了动力，感觉自己不仅仅是在学习数学，更是在重温历史上一代代数学家攀登高峰的足迹。

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这本书的装帧设计很有品味，拿到手里就感觉内容会很硬核。我特别喜欢它封面上那种简洁的几何图案，配合着深邃的蓝色调，立刻就能感受到一股严谨的数学气息。翻开内页，纸张的质感也相当不错，阅读起来非常舒适，即使长时间盯着那些复杂的公式和证明，眼睛也不会感到太累。从目录上看，内容涵盖了从基础的初等代数函数到更抽象的射影几何概念，这个跨度非常大，让人充满了探索的欲望。我特别期待它在联系代数结构与几何直观方面的阐述，这往往是理解高深数学理论的关键。这本书的排版清晰明了，图示的质量也无可挑剔，对于这种需要大量视觉辅助的学科来说，这一点至关重要。整体而言，这本书给我的第一印象是专业、严谨，并且在视觉呈现上也达到了很高的水准，让人对内在的知识密度充满信心。

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这本书的深度远超我的预期，它绝非一本简单的入门读物，而更像是一本可以伴随研究人员多年的参考手册。我特别关注了关于黎曼曲面与代数曲线之间对应关系的章节，作者的处理方式极其严谨且富有洞察力，它清晰地区分了复解析结构和实数拓扑结构之间的细微差别，这在许多标准教材中往往被含糊带过。书中对于模空间（Moduli Space）的初步介绍，虽然篇幅不多，但已足够勾勒出更深层次理论的轮廓，成功地为读者打开了一扇通往更广阔领域的大门。这本书的价值在于，它不仅教会了你如何解决已知的问题，更重要的是，它激发了你去思考那些尚未被完全解决的问题的本质所在，它引导的不是终点，而是更高级的起点。

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这本书的逻辑组织简直是一场思维的盛宴，作者的叙事方式极其流畅自然，仿佛不是在讲解艰涩的数学定理，而是在引导读者进行一场深度的哲学思辨。我发现，它并没有像许多教科书那样将知识点生硬地堆砌起来，而是通过一系列巧妙的过渡，将看似不相关的代数运算和空间想象力完美地融合在了一起。阅读过程中，我常常需要停下来，反复咀嚼那些精妙的论证步骤，这种“顿悟”的体验是阅读其他同类书籍时很少能获得的。特别是在处理一些涉及到复杂参数化的问题时，作者引入的类比和比喻非常贴切，极大地降低了理解的门槛，让那些抽象的概念变得触手可及。对于那些希望真正“理解”而非仅仅“记住”这些数学工具的读者来说，这本书的思维导图式结构无疑是巨大的福音，它提供了一种全局观，而不是零散的知识点。

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对于一个自学高等数学的爱好者而言，市面上大多数教材要么过于侧重计算，要么过于依赖预备知识，让我在遇到瓶颈时常常感到孤立无援。这本书在这方面做得尤为出色。它为每一个核心概念都配上了非常详尽的注解和补充说明，如果初学者在某个地方卡住了，通常可以在旁边的页边空白处找到清晰的辅助解释或者一个更基础的引理回顾。这种“保姆式”的关怀，极大地增强了读者的信心。更重要的是，它并不吝啬于展示那些“不完美”的例子，那些容易产生歧义或需要特殊处理的边界情况，作者都一一列举并进行了充分的讨论。这反映出作者对教学的深刻理解——真正的掌握，来自于对例外情况的精确把握。

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