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出版者:CRC Press

作者:Karlheinz Spindler

出品人:

页数:776

译者:

出版时间:1993

价格:CAD 171.35

装帧:Hardback

isbn号码:9780824791445

丛书系列:

图书标签:

• 数学
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好的，这是一本名为《解析几何与应用》的图书的详细内容简介。 --- 《解析几何与应用》图书简介 作者： [此处填写虚构作者姓名，例如：李明 教授/张伟 博士] 出版社： [此处填写虚构出版社名称，例如：科学技术出版社] 出版年份： [此处填写虚构年份，例如：2024年] --- 第一部分：图书概述与目标读者 《解析几何与应用》是一部全面深入探讨解析几何理论及其在现代科学与工程领域中广泛应用的专业教科书与参考手册。本书旨在为读者提供坚实的解析几何基础，同时着重展示如何运用这些数学工具解决实际问题。本书的编写风格严谨，逻辑清晰，力求在理论深度与实际应用广度之间取得完美的平衡。 本书的主要目标读者包括： 1. 高等院校数学、物理、工程学（如机械、土木、航空航天、电子信息）等专业的本科生和研究生。 2. 从事相关领域研究和开发的工程师、科研人员。 3. 对几何学、空间几何结构有浓厚兴趣的自学者。 本书的难度适中，在前置知识方面，要求读者具备微积分和线性代数的基础知识，足以支撑后续对高维空间、二次曲面和张量分析的学习。 第二部分：核心内容结构与章节详解 全书共分为十五章，结构上从基础的二维空间拓展到三维空间，再深入到更抽象的更高维欧几里得空间，最后聚焦于具体的应用领域。 第一章：欧几里得空间回顾与基础概念（Ch. 1: Euclidean Space Review and Fundamentals） 本章作为引言，快速回顾了向量空间、内积空间的基本性质，并重点阐述了笛卡尔坐标系在二维和三维空间中的建立方法。着重讨论了点、向量的表示法，以及距离、角度的解析计算。引入了坐标变换的基本概念，特别是旋转和平移的矩阵表示。 第二章：直线、平面与空间曲线的参数方程（Ch. 2: Parametric Equations for Lines, Planes, and Space Curves） 深入探讨了空间中直线和平面的精确描述方法。详细分析了直线的方向向量、两点式、点法式、截距式等多种表达形式。对于空间曲线，本章重点讲解了参数方程的构建，包括曲率、挠率等局部几何性质的初步引入，为后续的微分几何打下基础。 第三章：二次曲线的代数几何分析（Ch. 3: Algebraic-Geometric Analysis of Conic Sections） 本章是经典解析几何的核心。对椭圆、双曲线、抛物线进行全面的代数研究。不仅使用标准方程，更重要的是利用一般二次方程 $ ext{Ax}^2 + ext{Bxy} + ext{Cy}^2 + ext{Dx} + ext{Ey} + ext{F} = 0$ 进行分类讨论。详细推导了判别式在确定曲线类型中的作用，并介绍了通过旋转坐标轴消除交叉项（$xy$项）的规范化过程。 第四章：二次曲面的分类与几何性质（Ch. 4: Classification and Geometric Properties of Quadric Surfaces） 将解析几何的工具扩展到三维空间，系统地分析了球面、椭球面、双曲面（单叶与双叶）、抛物面（椭圆与双曲）以及圆锥面等标准二次曲面。通过其标准方程，读者可以直观地理解这些曲面的三维形态。本章强调了利用截面分析法来确定和绘制复杂二次曲面的策略。 第五章：仿射变换与坐标系的非正交变换（Ch. 5: Affine Transformations and Non-Orthogonal Coordinate Changes） 本章从更抽象的代数角度审视几何变换。详细讨论了仿射变换（Affine Transformations）的性质，包括平行性的保持。分析了非正交基下的坐标表示，引入了协变向量与反变向量的概念，为深入理解张量分析做铺垫。 第六章：极坐标系与柱面坐标系的应用（Ch. 6: Applications of Polar and Cylindrical Coordinate Systems） 探讨了非笛卡尔坐标系在简化特定几何问题中的优势。详细讲解了极坐标系下圆、螺旋线等曲线的表示，以及柱面坐标系在描述圆柱体、锥面等几何体时的便利性。重点展示了如何进行坐标变换和微积分运算。 第七章：球面坐标系与空间运动分析（Ch. 7: Spherical Coordinates and Analysis of Spatial Motion） 聚焦于球面坐标系，这对于天文学、导航学和电磁场理论至关重要。通过实际案例说明了如何使用球面坐标来描述行星轨道或电磁波在球形介质中的传播。此外，本章还初步引入了刚体运动的旋转矩阵和欧拉角描述。 第八章：高维欧几里得空间中的超曲面（Ch. 8: Hypersurfaces in Higher-Dimensional Euclidean Spaces） 将概念推广到 $n$ 维空间 $mathbb{R}^n$。定义了超平面（Hyperplane）和超二次曲面（Hyperquadrics）。读者将学习如何在 $n$ 维空间中定义距离、角度，并掌握高维空间中的投影和截面概念。 第九章：张量的基本概念与解析几何中的应用（Ch. 9: Tensor Fundamentals and Applications in Analytical Geometry） 本书难度进阶部分。详细介绍了二阶张量（如度规张量、曲率张量的前身）的定义、指标表示法（上标与下标）。解释了张量如何在坐标变换下保持其物理意义不变，这是连接经典解析几何与广义相对论的桥梁。 第十章：二次型与特征值分析（Ch. 10: Quadratic Forms and Eigenvalue Analysis） 深入分析了由二次型 $Q(mathbf{x}) = mathbf{x}^T A mathbf{x}$ 所定义的几何形状。核心内容是利用矩阵 $A$ 的特征值和特征向量来对二次曲面进行正规化，这为理解和计算椭球的主轴提供了强大的代数工具。 第十一章：计算机图形学中的几何变换（Ch. 11: Geometric Transformations in Computer Graphics） 本章侧重于现代应用。详细介绍了齐次坐标（Homogeneous Coordinates）如何统一平移、旋转和缩放操作。重点讲解了 3D 图形管线中模型变换、视图变换和投影变换的矩阵乘法序列。 第十二章：误差分析与最小二乘法拟合（Ch. 12: Error Analysis and Least Squares Fitting） 将解析几何与数据处理结合。当实验数据点无法精确落于一条直线或一个平面上时，本章展示如何利用正交投影和最小二乘原理，找到最佳拟合的几何对象（如直线或平面）。 第十三章：曲面上的微分几何初步（Ch. 13: Introduction to Differential Geometry on Surfaces） 引入了曲面上的概念，如曲面的参数化、第一、第二基本形式，以及高斯曲率和平均曲率的计算。这部分内容展示了解析几何如何平滑过渡到纯粹的微分几何领域。 第十四章：应用实例：刚体运动学与动力学（Ch. 14: Case Study: Kinematics and Dynamics of Rigid Bodies） 选取机器人学和航空航天中的实际问题。解析几何如何用于描述机器人手臂的末端执行器位姿（Pose Estimation），以及如何通过旋转矩阵和轴角表示来分析物体的三维运动轨迹。 第十五章：解析几何在优化问题中的几何解释（Ch. 15: Geometric Interpretation of Optimization Problems） 本章将解析几何与优化理论联系起来。例如，拉格朗日乘数法在几何上如何对应于寻找曲面上切平面的法向量，以及如何将凸优化问题转化为寻找特定距离的最小值点。 第三部分：本书特色与教学优势 1. 理论与应用并重： 本书并非单纯的纯粹几何证明集合，而是紧密围绕“应用”展开，每一章节的理论推导后都附有详细的工程或科学实例。 2. 从二维到高维的平滑过渡： 结构设计使得读者能够循序渐进地从熟悉的平面几何过渡到抽象的高维空间概念，有效降低了学习难度。 3. 强调矩阵代数工具： 贯穿全书，始终强调矩阵和线性代数是解析几何的语言，这使得本书与现代工程计算方法高度契合。 4. 丰富的习题体系： 每章末尾均设有大量的计算题和理论分析题，部分习题附有详细的解题思路提示，以巩固读者的理解。 通过系统学习《解析几何与应用》，读者将能够熟练运用几何方法描述和分析复杂空间结构，为未来在交叉学科中的深入研究打下坚实的基础。

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我必须得说，这本书的配套资源和习题设计是它区别于市面上其他代数著作的关键所在。很多教材的习题往往是重复性的计算练习，看完一遍就觉得索然无味，但这里的习题集合简直是天才之作。它们不仅仅是让你去套用刚刚学到的定理，而是巧妙地将理论知识融入到一系列需要深度思考和创造性解决问题的场景中。我尤其喜欢那些“探讨性问题”（Exploration Problems），它们往往没有标准的答案，而是引导你去探究某个定理的边界条件，或者去构造一个反例，这极大地锻炼了我的数学直觉和批判性思维。此外，书中穿插的“历史注脚”和“现代应用”部分也让人爱不释手，它让你看到抽象的代数结构是如何在密码学、编码理论甚至理论物理中发挥实际作用的。这种将理论与实践紧密结合的叙事方式，彻底打消了我过去认为抽象代数“过于纯粹、脱离实际”的偏见。每一次解开一个难题，都会有一种成就感，因为它感觉像是真正解决了某个数学世界里的难题，而非仅仅是做了一次作业。

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这本书简直是抽象代数学习者的福音，内容组织得极其清晰，逻辑链条一环扣一环，简直是教科书设计中的典范。我记得我以前在啃其他教材时，常常被那些突如其来的定义和证明搞得晕头转向，但这本书的处理方式就完全不同。它总是在引入新概念之前，先用非常直观的例子或者现实世界中的类比来铺垫，让人能先建立起一个大致的框架。比如讲解群论的基础时，作者并没有急于展示那些复杂的定理，而是花费了大量的篇幅去剖析对称性、置换群这些更容易理解的结构，这种循序渐进的方法极大地降低了初学者的入门门槛。更令人称道的是，它对证明的撰写非常严谨，但同时又保持了足够的“可读性”。你会感觉作者像一个耐心的老师，一步步引导你完成思考，而不是直接把答案拍在你脸上。那些被标记为“高级”或“选读”的部分，虽然深入，但其背景介绍和动机说明也做得很到位，让你清楚地知道为什么要去研究这些更抽象的东西。总而言之，这本书在结构设计和教学法上达到了一个极高的水准，真正做到了“有应用”的教学风格，让人读起来既感到充实又充满乐趣。

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这本书的排版和视觉呈现也值得高度赞扬。在这个电子信息时代，一本厚重的数学教材如果不能在视觉上吸引人，很容易让人望而却步，但《[此处假定为书名]》在这一点上做得非常出色。纸张的质量上乘，字体选择清晰易读，公式的排布干净利落，没有那种令人眼花缭乱的拥挤感。尤其值得一提的是，作者在引入复杂结构时，使用了大量的图示和示意图来辅助理解，比如在讲解同态、同构或者商群的概念时，那些精心绘制的图表能瞬间点亮你脑海中模糊的概念。这对于视觉学习者来说简直是救星。我对比过一些老版本的代数书，它们常常把重要的定义和定理挤在一块，让人抓不住重点，而这本书通过合理的留白和分段处理，使得知识点的层级关系非常明确。翻阅起来，就像是在进行一次有组织的知识漫游，而不是艰难的攀登。这种对细节的关注，反映了作者对读者体验的深切尊重。

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老实讲，我对这本代数教材的“应用”部分抱有很高的期待，而它也确实没有辜负我的期望，甚至在某些方面超出了我的预期。很多教科书在提到应用时，往往只是简单地提及一个名字，比如“这用于密码学”，然后便戛然而止，留给读者无尽的猜测。但这本书不同，它会深入讲解如何将特定的代数结构——比如有限域或循环群——转化为实际的加密算法或纠错码的基础构建块。虽然这些应用部分的数学深度依然很高，需要一定的微积分和离散数学基础，但作者在介绍每一步应用时，都清晰地指明了是从哪一章的哪个定理推导出来的，确保了知识的闭环。例如，它对伽罗瓦理论在多项式根式求解上的阐述，不仅仅停留在抽象的伽罗瓦群，而是清晰地展示了这些群结构如何限制了哪些方程能被根式求解。这使得学习过程不再是孤立的知识点堆砌，而是形成了一个相互关联、充满活力的数学知识网络。

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这本书的语言风格极其成熟且富有洞察力，它成功地在“易于接受”和“学术严谨”之间找到了一个近乎完美的平衡点。作者的叙述语调沉稳而自信，没有那种过度迎合初学者的浮夸，也没有学术著作中常见的冷峻和疏离感。读起来，你能感受到作者对该学科的热爱和深刻理解。在处理那些历史上有争议或理解起来有难度的证明时，作者会非常坦诚地指出不同学派的观点，并清晰地阐述为何选择某一特定的证明路径。这种开放和批判性的态度，鼓励读者去质疑、去探索，而不是盲目接受书本上的结论。例如，在讨论环论的完备性问题时，书中对非交换环的讨论显得格外有深度，它没有回避这些复杂性，而是将其视为自然而然的延伸。总而言之，这是一本能够伴随你从本科入门到研究生初阶的“伴侣书”，它的价值远超其作为一本基础教材的设定。

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