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出版者:科学出版社

作者:格拉曼(A.Gramain)

出品人:

页数:88

译者:张耀成

出版时间:1981

价格:0.58

装帧:

isbn号码:9781124104911

丛书系列:现代数学译丛

图书标签:

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经典数学著作：流形几何与微分结构导论 作者： 著名数学家 艾伦·哈里斯 (Alan Harris) 出版信息： 剑桥大学出版社 (Cambridge University Press) 版次： 第三版（2023年修订） 页数： 850页 --- 内容提要与核心价值 《流形几何与微分结构导论》是一部享誉国际的拓扑学和微分几何领域权威教材。本书旨在为高年级本科生、研究生以及致力于深入研究微分几何、代数拓扑和理论物理（特别是广义相对论与弦理论）的科研人员，构建起一个坚实而全面的数学基础。 本书的叙事逻辑严谨而富有启发性，它并非仅仅罗列定义和定理，而是通过对核心概念的深度剖析和丰富例证，引导读者理解现代几何学的基本框架和研究方法。全书以光滑流形作为贯穿始终的主线，从最基础的拓扑空间概念出发，逐步引入微分结构，最终导向复杂的纤维丛理论和特征类。 第一部分：基础与构造——从拓扑到光滑性 (约占全书 30%) 本部分奠定了理解现代几何学的基石，它细致地回顾了必要的拓扑学预备知识，并引入了流形的构造性定义。 第一章：拓扑空间的复习与推广 焦点： 紧致性、连通性、分离公理的几何意义。作者强调了在几何学背景下，对完备性和可分性的直观理解。 特色： 引入了均匀化（Uniformization）的概念，为后续讨论度量和测地线做铺垫，而非仅仅停留在抽象的集合结构上。 第二章：拓扑流形的概念 核心： 对 $n$ 维拓扑流形的严格定义，包括局部欧几里得性、转移映射（Transition Maps）的连续性要求。 关键内容： 详细讨论了可定向性（Orientability）的拓扑判据，包括使用基本群和覆盖空间理论进行的证明。书中对球面、环面等低维流形的构造实例进行了详尽的几何解释。 第三章：微分结构与光滑映射 突破点： 本章的核心在于引入光滑结构，即要求转移映射是无穷次可微的 ($C^infty$)。 深度剖析： 深入分析了 $C^k$ 结构与 $C^infty$ 结构之间的细微差异，并展示了在特定维度下（如高维空间），如何通过拓扑方法确定光滑结构的数目（例如，光滑彭加莱猜想的背景介绍）。 第二部分：切空间与微分结构分析 (约占全书 35%) 一旦流形被赋予了光滑结构，我们便可以利用微积分的工具。本部分的核心是构建流形上的切向量场和张量场。 第四章：切空间与向量场 基础建立： 对切空间的定义采用了两种等价的视角：方向导数法（Derivation Approach）和曲线提升法（Curve Lifting Approach）。作者认为理解这两种方法的几何意义至关重要。 向量场： 详细讨论了向量场的积分曲线、流（Flow）的概念及其唯一性定理。引入了李括号（Lie Bracket），并展示了它如何量化向量场之间的非交换性。 第五章：张量、微分形式与外代数 语言的统一： 本章是本书的几何分析核心。系统介绍了协变张量、反变张量，以及它们在坐标变换下的行为。 外微分代数： 详尽阐述了楔积（Wedge Product）和微分形式（$k$-forms）。书中特别强调了对外导数（Exterior Derivative, $d$）的理解，这是后续德拉姆上同调的基础。展示了 $d^2 = 0$ 的代数和几何证明。 第六章：积分与斯托克斯定理的推广 应用与升华： 将传统的微积分定理（如格林定理、高斯散度定理）推广到任意光滑流形上。 重点： 对广义斯托克斯定理（Stokes' Theorem on Manifolds）进行了详尽的讨论和应用实例，包括如何利用它来证明某些拓扑不变量的存在性。 第三部分：内在几何与全局结构 (约占全书 30%) 本部分将视角从局部转移到全局，引入了度量结构，并探讨了流形上的内在几何性质。 第七章：黎曼流形：度量与测地线 度量张量： 定义了黎曼度量，并讨论了其局部坐标表示——度量张量 $g_{ij}$。 联络与测地线： 详细推导了列维-奇维塔联络（Levi-Civita Connection）的唯一性，并给出了测地线方程的经典形式。书中通过对曲率的计算，解释了测地线偏离的几何意义。 第八章：曲率的几何意义 核心概念： 引入了黎曼曲率张量 $R^a{}_{bcd}$，并展示了其在描述空间弯曲程度上的关键作用。 重要结果： 导出了里奇曲率（Ricci Curvature）和标量曲率（Scalar Curvature）。书中通过对二维流形的例子（如高斯绝妙定理的背景）的深入分析，直观地解释了曲率的物理和几何含义。 第九章：纤维丛与主丛 更高层次的结构： 介绍如何通过纤维丛（Fiber Bundles）来研究流形上的结构。 关键实例： 详述了切丛（Tangent Bundle）和上切丛（Cotangent Bundle）的构造，并讨论了主丛的概念，这是现代规范场论的几何语言基础。 第四部分：拓扑与分析的交汇 (约占全书 10%) 第十章：德拉姆上同调与特征类 连接点： 利用第二部分发展的微分形式工具，构建德拉姆上同调群 $H^k_{dR}(M)$。 全局洞察： 证明了德拉姆上同调与奇异上同调在光滑流形上的同构性，并简要介绍了陈类（Chern Classes）作为向量丛的拓扑不变量如何由曲率形式来表示。 --- 本书的特点 1. 几何直觉先行： 本书的叙述风格注重几何图像和直观理解，避免了纯粹的代数堆砌。 2. 丰富的注记与历史背景： 每章末尾的“补充注记”部分，提供了对相关研究历史、未解决问题及与其他数学分支（如代数几何、拓扑场论）联系的深刻见解。 3. 难度适中： 内容难度分布合理，前三章为扎实的入门级内容，后两章则为研究生研究的深度材料，非常适合作为长期参考手册。 《流形几何与微分结构导论》被公认为是最能体现现代微分几何“大统一”思想的经典教材之一，其严谨的推导和深刻的几何洞察，确保了它在几何学领域不可替代的地位。

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我必须承认，最初被这本书吸引，很大程度上是因为它封面上那种若隐若现的“莫比乌斯带”的暗示。我一直对那些看似简单却蕴含深刻悖论的数学结构充满兴趣。这本书的结构安排非常巧妙，它没有急于深入到复杂的黎曼曲面理论，而是先从基础的“嵌入定理”和“浸入定理”入手，用非常几何化的语言描述了高维空间中低维对象的行为限制。书中对“斯蒂菲尔-惠特尼类”的介绍尤其精彩，作者没有像其他教材那样仅仅停留在代数计算上，而是通过构建一系列“截面”和“切丛”，形象地展示了这些类是如何度量空间扭曲程度的。其中有一段关于“曲率流”的描述，简直就是一首数学诗篇，它将时间演化和空间形变统一在一个微分方程框架下，令人对“动态拓扑”产生了浓厚的兴趣。不过，这本书的排版稍显保守，一些关键的定理证明往往占据了整页篇幅，如果能配上更现代的图形化辅助说明，或许能更好地服务于那些依赖视觉辅助的读者。但即便如此，它对“拓扑量子场论”的简要提及，还是让我看到了这条学科路径的巨大潜力。

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这部《曲面拓扑学》的封面设计着实抓人眼球，那种深邃的靛青色背景上，用流畅的白色线条勾勒出一个看似错综复杂实则内在和谐的几何图形，让人不禁想一探究竟。我抱着对高等数学那种敬畏又好奇的心情翻开了第一章。起初，那些抽象的定义和严谨的证明确实构成了一道不小的门槛，初看之下，仿佛置身于一个完全由符号和逻辑构筑的迷宫。然而，作者的叙述方式，尤其是他引入“黎曼几何”和“微分几何”概念的过渡非常自然，像是高手引路，逐步将我们从欧几里得空间的直观感受，提升到了更高维度的思考层面。书中对“流形”的阐释，特别是对“紧致性”和“可定向性”的讨论，配上了精妙的插图，这些图示并非简单的示意，而是深入理解内在结构的钥匙。我尤其欣赏其中关于“规范场论”与拓扑学交叉部分的探讨，虽然内容艰深，但作者试图用物理学的直观去佐证纯数学的优雅，这种跨学科的视角，让原本冰冷的数学概念焕发出了一种生命力。读完前三分之一，我感觉自己的空间想象力得到了极大的拓展，看待日常生活中旋转、扭曲的物体时，总会不自觉地去寻找其背后的拓扑不变量，这无疑是一次思维上的深度洗礼。

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对我而言，阅读《曲面拓扑学》更像是一次对“本质”的追问。全书行文风格极为凝练，几乎没有一句废话，直指核心。它并非一本面向初学者的入门教材，而更像是领域内专家之间的一次高水平研讨会记录。我特别赞赏作者在探讨“规范不变性”时所采用的视角，他将“同胚”这一拓扑概念提升到了更广阔的“规范等价”的高度，使得拓扑的威力得以在更精细的结构分析中展现。书中对“奇点理论”在曲面分类中的应用进行了深入探讨，用非常直白的方式解释了“莫尔斯函数”如何揭示曲面的基本拓扑特征。尽管我对其中关于“超曲面”和“特征类”的某些论述感觉稍显跳跃，但整体上，它成功地构建了一个从低维流形到高维纤维丛的知识阶梯。这本书的价值不在于它教会了你多少具体的计算公式，而在于它塑造了一种看待空间、结构和形变关系的全新、深刻的数学思维模式。它像一面棱镜，将原本混杂的几何信息，折射出清晰的、内在的数学结构之美。

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说实话，这本书的阅读体验，更像是一场与逻辑怪才进行的深度对话。作者的笔锋极其犀利，毫不拖泥带水，对于那些教科书上会花费大量篇幅解释的背景知识，他往往只用寥寥数语带过，默认读者已经具备了扎实的代数基础。这种“高冷”的叙述风格，对于已经有一定基础的研究者来说，无疑是效率极高的资源。我花了相当长的时间来消化其中关于“同伦群”和“基本群”的部分，特别是书中对“布劳威尔不动点定理”的证明推导，其精巧程度令人叹服。作者似乎深谙读者的思维定势，总能在你快要陷入死胡同时，巧妙地设置一个反直觉的例子来打破僵局。比如，他对比了圆周和环面的“亏格”概念，通过引入“欧拉示性数”，直观地展现了拓扑分类的威力。虽然书中后续关于“陈类”的引入略显突兀，像是直接将读者扔进了一个全新的领域，但随后的应用案例——例如如何用拓扑方法分析材料的能带结构——又迅速拉回了现实的吸引力。总的来说，这是一本需要读者投入全部心神去啃读的硬核著作，它不提供安慰，只提供真理。

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这本书带给我的震撼，更多的是一种“解构”的力量。它迫使我重新审视那些被视为理所当然的几何直觉。例如，书中对于“可积系统”的讨论，展示了在相空间中，拓扑结构如何决定了动力系统的长期行为。作者在介绍辛拓扑和李群时的笔法，非常富有张力，他没有回避那些涉及复杂函数分析和代数几何的深层联系，反而直接将它们作为工具呈现在读者面前。我印象最深的是关于“几何不变式”的章节，作者通过一系列巧妙的构造，例如引入“规范场”的语言来理解“霍莫托皮群”，成功地将一个纯代数的问题转化为了一个可被几何直观把握的物理图像。阅读过程中，我经常需要停下来，在纸上画出各种紧致曲面的剖分和对偶图，尝试自己去复现作者的每一步逻辑跳跃。这种高强度的互动，虽然累人，却极大地巩固了知识的吸收。对于希望从事理论物理或几何分析的后继研究者而言，这本书提供的底层逻辑框架是无价之宝。

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严格的逻辑演绎书

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