动力系统几何理论引论 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:科学出版社

作者:（巴西）帕利斯（Palis，J.）

出品人:

页数:232

译者:陈藻平

出版时间:1988.04

价格:3.20

装帧:

isbn号码:9787030000163

丛书系列:现代数学译丛

图书标签:

• 数学
• 动力学系统
• 几何
• 动力系统
• 几何理论
• 数学分析
• 稳定性理论
• 相空间
• 不变集
• 李群
• 微分方程
• 混沌理论
• 拓扑结构

探索经典力学的现代视角：一部聚焦于李群、微分几何与保守系统的著作 本书旨在为有志于深入理解经典力学深层数学结构的研究者和高年级本科生、研究生提供一部既具理论深度又不失直观几何图像的导论。我们聚焦于一个核心思想：经典力学的诸多重要原理和结构，本质上是动力系统在特定几何空间上的表现。 本书的叙事主线并非传统教科书中侧重于具体解题技巧的编排，而是着力于构建一个坚实的数学框架，用以解析拉格朗日力学、哈密顿力学以及更广义的动力学系统。我们认为，只有理解了这些系统背后的几何语言，才能真正把握牛顿定律、能量守恒乃至更复杂的对称性原理的本质。 第一部分：基础的几何构造与分析工具 本卷首先为读者奠定必要的数学基础，确保读者能够熟练运用现代微分几何的语言来描述物理空间。我们不会将此视为数学的冗余，而是视为物理描述的必要精确性。 1. 流形与张量：物理世界的坐标无关描述 我们将从抽象的光滑流形概念出发，将其视为物理系统状态空间的基础结构。不同于欧几里得空间，$n$ 维流形允许我们讨论那些无法用单一笛卡尔坐标系描述的系统，例如球面的运动。 重点在于切丛（Tangent Bundle）和余切丛（Cotangent Bundle）的构建。切丛自然地承载了速度信息，是速度空间（相空间的一类局部描述）的全局化。余切丛，作为切丛的对偶，则成为描述动量和能量梯度的关键场所。我们详细探讨了张量场，特别是微分 $k$-形式，如何提供了一种坐标无关的方式来表达物理量（如电磁场强度、流体通量）。 2. 向量场与微分方程：动力学的核心 动力学系统的演化，本质上是相空间上向量场的积分。我们深入分析了李导数（Lie Derivative）的概念，它不仅仅是衡量函数沿流线变化的工具，更是考察物理量（如能量、角动量）在时间演化下是否保持不变（守恒）的关键判据。 我们用向量场的观点重新审视了常微分方程组，引入局部流（Local Flow）的概念，这为后续的微分几何方法处理非线性系统铺平了道路。 第二部分：从拉格朗日到哈密顿：几何化的力学原理 在建立了流形和向量场的语言后，我们将火力集中在力学的两大支柱：拉格朗日力学和哈密顿力学。本书的独特之处在于，我们不满足于基于作用量最小原理的欧拉-拉格朗日方程的推导，而是将其提升至结构层面。 3. 辛几何：哈密顿系统的内在结构 这是本书的核心篇章之一。我们介绍辛形式（Symplectic Form） $omega$，它是对经典力学中相空间结构（$sum dp_i wedge dq_i$）的全局推广。辛流形是所有保守哈密顿系统的自然相空间。 我们详细阐述了泊松括号（Poisson Bracket）如何自然地从辛形式中导出，并展示了哈密顿向量场 $X_H$ 如何通过 $omega(X_H, cdot) = -dH$ 的关系，将标量函数（哈密顿量）转化为相空间中的向量场。这一转换揭示了守恒量与泊松括号中零值函数之间的深刻联系，即泊松括号中的不变性即是物理上的守恒律。 4. 对称性与守恒律：诺特定理的几何表述 我们将诺特定理（Noether's Theorem）置于李群作用的框架下进行严格论证。连续对称性对应于作用在系统流形上的一族浸入（Embeddings）或映射。我们利用受作用的流形（Manifolds with Actions），定义了内特-布朗（Noether-Broughton）不变量，从而精确地将守恒能量、动量等物理量与作用群的无穷小生成元联系起来。这部分着重于展示为什么角动量守恒是三维空间旋转不变性的直接后果。 第三部分：深入动力学的演化：流、稳定性与轨道几何 在理解了基础结构之后，我们将目光投向系统的长期行为——即动力系统的性质。 5. 系统的演化流：拓扑与稳定性 我们将系统的演化视为相空间上的一个单参数群的流 $phi_t$。本书分析了该流的不动点（Fixed Points）和周期轨道（Periodic Orbits）的稳定性分析。我们采用了基于流的视角来定义庞加莱截面（Poincaré Sections），这对于分析高维、非线性、特别是保守系统（如行星运动）的遍历性和混沌行为至关重要。 6. 拓扑不变量与绝热不变量 对于那些演化缓慢变化的系统（绝热近似），其轨道会以一种特殊的方式“粘附”于流形上的特定几何结构。我们介绍了辛积分（Symplectic Integrability）的概念，并探讨了KAM 定理（Kolmogorov-Arnold-Moser）的几何意义——即在低频共振点附近，保守系统的轨道如何保持“准周期”结构，而不是完全混沌化。 总结与展望 本书提供了一种超越初级微积分和线性代数层次的力学理解路径。它强调了经典力学不仅仅是牛顿定律的推论，更是一套深刻的、基于微分几何和代数结构的理论体系。通过对流形、辛形式和李导数的精细运用，读者将能够以统一的视角来审视从基础保守系统到复杂场论的诸多物理现象。本书不包含具体解题步骤的详尽示范，而是致力于搭建起通往现代理论物理研究的桥梁，使读者能够自信地阅读前沿的几何力学文献。

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这本书的难度曲线把握得非常精准，对于有一定微积分基础的理工科学生来说，前几章的铺垫是扎实且必要的。然而，当涉及到高阶微分几何的引入时，对读者的预备知识要求陡然升高，这无疑会筛掉那些准备不足的读者。虽然这种陡峭的坡度可能让一部分人望而却步，但我认为这是对领域严肃性的尊重。它明确地告诉读者：要真正理解动力系统的几何本质，就必须付出相应的智力努力。因此，这本书更像是一份邀请函，邀请那些真正渴望深入理解系统行为的“精英读者”前来探索。它所提供的深度和广度，远超一般导论书籍所能企及的范围，是未来深入专业领域不可或缺的基石。

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作为一名长期从事应用数学研究的人员，我原本对纯粹的几何理论抱持着一种略带疏离的态度，总觉得与实际的工程应用相去甚远。然而，这本书中关于李群和对称性在保守系统中的应用部分，彻底颠覆了我的看法。作者没有停留在抽象的定义上，而是非常巧妙地将这些高级的几何工具，比如李括号的结构，与哈密顿系统的守恒律紧密联系起来。阅读这部分内容时，我仿佛能看到那些抽象的代数变换如何在物理世界中对应着能量和动量的守恒。这种理论深度与实际意义的无缝衔接，极大地拓宽了我解决实际问题的思路。它不再是孤立的理论展示，而是成为了解决复杂动力学难题的有力武器，这对于任何希望将理论转化为实践的研究者来说，都是无价的财富。

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我花了大量时间去研读其中关于流和不动点结构的那几个章节，感受到了作者深厚的数学功底和极强的逻辑驾驭能力。他处理复杂非线性系统稳定性分析的方式，摒弃了许多传统教材中过于冗长和机械化的推导，转而采用了一种更为优雅、更具洞察力的几何视角来阐述——仿佛所有的平衡点和周期解都自然地“生长”在相空间流形的曲率之中。特别是对庞加莱截面和混沌现象的引入，描述得极为精炼，既保留了数学的严谨性，又巧妙地避免了让读者过早地陷入复杂测度论的泥潭。这种教学上的取舍和平衡，体现了作者对“引论”这一定义的深刻理解：如何在有限的篇幅内，最大限度地激发读者的兴趣，并为他们打开通往更前沿研究的大门。这种深思熟虑的叙事节奏，是教科书写作中的一大亮点。

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整本书的写作风格呈现出一种独特的“学者间的对话感”。作者的语气非常克制和谦逊，从不使用夸张的修辞来强调某个定理的重要性，而是让定理本身的光芒自然地显现出来。这种风格要求读者必须全神贯注，因为错过一个细微的限定条件或一个关键的论证步骤，就可能导致对整个理论框架的误解。我尤其喜欢作者在某些章节末尾留下的“开放性问题”或“历史注记”部分，它们像是一扇扇小窗，让我得以窥见该领域发展的历史脉络和当前研究的前沿热点。这些注记不仅丰富了知识的广度，更重要的是，它们培养了一种批判性思维——促使读者思考“为什么是这样证明？”而不是仅仅满足于“证明是成立的”。这种教学方法，无疑是培养独立研究者的最佳路径。

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这本书的装帧和设计真是让人眼前一亮，硬壳的质感和封面上的抽象几何图形完美地融合在一起，散发着一种古典与现代交织的学术气息。我尤其欣赏出版社在字体选择和版面布局上的用心，清晰的导航和合理的章节划分，使得即便面对如此深奥的数学领域，阅读体验依然保持着高度的愉悦感。初翻阅时，那些严谨的数学符号和定理证明像是一座座精心构建的知识殿堂，虽然需要时间去消化，但那种循序渐进的引导感让人确信，作者是真正理解初学者的困惑，并在关键时刻提供了精妙的几何直觉来支撑抽象的代数操作。光是看着目录，就能感受到作者在选择覆盖范围上的深思熟虑，涵盖了从基础拓扑到微分流形的核心概念，为后续深入研究打下了坚实的基础。它不仅仅是一本教科书，更像是一份精心准备的学术地图，指引着探索者穿越复杂的理论迷雾。

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常微分方程的定性研究就是研究微分方程的轨道空间的几何表示。向量场的结构稳定就是其轨道的拓扑结构经过向量场扰动下保持不变。向量场我们看不见，我们看见的是积分曲线（单参数群）

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好书

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常微分方程的定性研究就是研究微分方程的轨道空间的几何表示。向量场的结构稳定就是其轨道的拓扑结构经过向量场扰动下保持不变。向量场我们看不见，我们看见的是积分曲线（单参数群）

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常微分方程的定性研究就是研究微分方程的轨道空间的几何表示。向量场的结构稳定就是其轨道的拓扑结构经过向量场扰动下保持不变。向量场我们看不见，我们看见的是积分曲线（单参数群）

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