A Brief on Tensor Analysis pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Simmonds, James G.

出品人:

页数:112

译者:

出版时间:1997

价格:USD 49.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387940885

丛书系列:Undergraduate Texts in Mathematics

图书标签:

• 数学
• 张量分析
• tensor
• 向量分析
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• geometry
• Mathematics
• 线性代数
• tensor analysis
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• linear algebra
• physics
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• differential geometry
• vector calculus
• applied mathematics
• scientific computing
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广义相对论中的黎曼几何：从基础到前沿 本书旨在深入探讨广义相对论理论框架下的黎曼几何，为物理学家和数学家提供一个全面且深入的视角。本书内容聚焦于描述时空几何结构的关键数学工具，尤其关注曲率张量、测地线方程以及与物理学直接相关的共变导数概念。本书不涉及张量分析的基础代数入门，而是直接从微分几何的更高抽象层面切入，探讨其在现代物理学，特别是引力理论中的具体应用和深刻内涵。 第一部分：微分流形与张量场的基础回顾（侧重几何结构） 在深入探讨曲率之前，我们首先需要确立一个严谨的几何语言基础。本书将假设读者对流形的基本拓扑性质和光滑结构已有初步了解，并迅速过渡到决定几何特性的核心要素。 第一章：光滑流形上的度量与联络 本章将详细阐述黎曼度量张量 $g_{mu u}$ 在抽象流形上的定义及其在局部坐标系下的表现。重点在于理解度量如何赋予流形长度和角度的概念，从而定义出内在的几何结构。我们将严格区分内积结构和坐标选择的影响。 随后，我们将引入仿射联络（Affine Connection），特别关注它在定义“平行移动”过程中的核心作用。我们不会花费大量篇幅介绍联络的代数性质，而是直接探究协变导数（Covariant Derivative） $ abla_{mathbf{X}}mathbf{Y}$ 的几何意义——即在弯曲空间中如何定义向量场的方向变化率，以确保其与坐标选择无关。我们将证明 Levi-Civita 联络的唯一性，即满足无挠性（Torsion-free）和度量相容性（Metric compatibility）的联络。 第二章：测地线与最短路径 本章的核心是利用黎曼度量和联络来定义测地线（Geodesics）。测地线被定义为“自由落体”的路径，是流形上两点之间“最直”的路径。我们将推导出测地线方程： $$frac{d^2 x^mu}{d au^2} + Gamma^mu_{ ulambda} frac{dx^ u}{d au} frac{dx^lambda}{d au} = 0$$ 其中 $Gamma^mu_{ ulambda}$ 是黎曼-克里斯托费尔（Riemann-Christoffel）符号。本书将强调，在广义相对论中，测地线是描述物质粒子在弯曲时空中运动的自然轨道，其曲率直接来源于时空本身的几何。我们还将探讨参数化选择对测地线方程的影响，以及能量（对时间平移不变性引起的守恒量）和动量（对空间平移不变性引起的守恒量）的几何解释。 第二部分：曲率的量化与物理意义 黎曼几何的精髓在于曲率。本部分将聚焦于如何精确量化时空的弯曲程度，并将其与引力场的源头——能量-动量张量联系起来。 第三章：黎曼曲率张量与里奇张量 我们将严格定义黎曼曲率张量 $R^{ ho}{}_{sigmamu u}$，它捕捉了平行移动的路径依赖性。具体来说，它衡量了两个不同路径上向量的平行移动结果之间的差异。我们将推导其四指标形式，并分析其代数对称性： 1. 交换性：$R^{ ho}{}_{sigma[mu u]} = 0$ （Bianchi第一恒等式） 2. 收缩：$R_{mu u} = R^{ ho}{}_{mu ho u}$ （里奇张量 Ricc​​i Tensor） 重点讨论里奇张量 $R_{mu u}$，它是描述时空体积元素随流线变化的速率（或称“潮汐力”的局部表现）的关键量。 第四章：沃尔夫恒等式与比安基恒等式 本章将深入研究曲率张量的更深层次的结构。我们将详述比安基恒等式（Bianchi Identities），它们是微分几何中关于曲率的代数约束，具有深刻的物理意义。对于局部扁平的区域，这些恒等式必须满足。 我们将推导出共变形式的比安基恒等式，并展示它如何自然地引出爱因斯坦场方程中的核心结构： $$ abla_ u R^{mu u} - frac{1}{2} abla^mu R = 0$$ 这个恒等式在广义相对论中直接对应于能量和动量的守恒定律 ($ abla_ u T^{mu u} = 0$)，强调了几何守恒与物理守恒之间的内在联系。 第五章：斯卡拉曲率与爱因斯坦张量 我们将定义斯卡拉曲率 $R = g^{mu u} R_{mu u}$，它是描述时空弯曲程度的单个标量不变量。 随后，我们构造爱因斯坦张量 $G_{mu u}$： $$G_{mu u} = R_{mu u} - frac{1}{2} g_{mu u} R$$ 本书将明确论证，正是由于比安基恒等式（$ abla^mu G_{mu u} = 0$），爱因斯坦张量才能与能量-动量张量 $T_{mu u}$ （也满足 $ abla^mu T_{mu u} = 0$）相匹配，从而构成了爱因斯坦场方程的基础： $$G_{mu u} = frac{8pi G}{c^4} T_{mu u}$$ 本书将避免对爱因斯坦场方程的完整求解进行讨论，而是将其视为黎曼几何应用于物理学的最终表达形式，并侧重于几何项 $G_{mu u}$ 的结构和性质。 第三部分：非平凡时空与拓扑结构 本部分将探讨在特定物理背景下，黎曼几何如何描述具有特定属性的时空。 第六章：黎曼流形的分类与提曲率 我们将讨论根据里奇张量性质对空间进行分类的方法，例如： 里奇平直（Ricci-Flat）时空：即 $R_{mu u} = 0$ 的情况，这是描述真空引力场的黎曼几何（例如，史瓦西解、克尔解的背景）。 常曲率空间：例如德西特（de Sitter）和反德西特（Anti-de Sitter）空间，它们具有恒定的里奇张量，对应于具有宇宙学常数的时空。 我们还将介绍魏尔张量（Weyl Tensor） $C_{ hosigmamu u}$，它是黎曼曲率中与里奇曲率无关的部分，代表了时空中的潮汐效应或纯几何曲率。我们将详细分析 Weyl 张量如何表征光锥的变形，这在描述引力波和黑洞视界附近的行为中至关重要。 第七章：伪黎曼几何与因果结构 鉴于广义相对论背景下的时空是伪黎曼流形（具有洛伦兹度量，签名通常为 $(-,+,+,+)$），本章将强调其与纯黎曼几何的关键区别。我们将分析洛伦兹度量对因果结构（Causal Structure）的影响，包括： 1. 光锥的定义及其在弯曲时空中的演化。 2. 可观测性：如何用共变微分和曲率来定义事件之间的因果关系。 我们将讨论“奇点”（Singularities）在几何上的含义，即度量张量或克里斯托费尔符号不能被光滑延拓的点，并简要提及彭罗斯-克里斯托费尔的因果结构理论在理解奇点处的几何极限。 总结： 本书的视角是纯粹的几何驱动，旨在将广义相对论的数学骨架——黎曼几何的工具集——进行一次严谨的、面向物理应用的提炼和深入剖析，重点关注曲率的代数结构、微分恒等式及其在描述引力场方程中的必要性。它假设读者拥有扎实的微分几何先验知识，并力求提供一个超越基础张量演算的、对时空本质的几何理解。

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对于那些寻求深入理解而非仅仅停留在公式操作层面的读者来说，这本书的价值是无可估量的。它的叙述重点显然不在于提供一套快速计算的“速成秘籍”，而是致力于培养读者对张量这一数学工具背后蕴含的几何和物理思想的深刻洞察力。书中对不变性原理的强调贯穿始终，每一次坐标变换的讨论都不是为了炫技，而是为了揭示自然规律独立于我们描述它们的方式这一根本真理。特别是当涉及到非线性坐标系和弯曲流形上的分析时，作者所展现出的洞察力令人印象深刻，他没有把这些复杂的工具仅仅当作处理广义相对论的“工具箱”，而是将其提升到了一个更为普适的数学框架进行审视。这种对“为什么”而非仅仅“怎么做”的关注，使得本书的知识体系具有极强的延展性和迁移性，能够为读者后续探索更深奥的课题打下坚实的哲学和数学基础。

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我必须得说，作者在内容组织上的逻辑推进简直是教科书级别的范例，它不是简单地堆砌公式和定义，而是精心构建了一个由浅入深的认知阶梯。开篇对于线性代数基础的快速回顾，精准地卡在了读者“似懂非懂”的临界点，为后续张量代数的引入做了完美的铺垫。接下来的部分，作者像是耐心的向导，一步步带领我们穿越了基础张量运算的迷雾，直到深入到更复杂的微分几何和黎曼几何的语境中。最让我欣赏的是，每当引入一个新的、可能令人生畏的概念时，作者总会先用一个直观的物理情境或实际工程问题来“锚定”这个概念的意义，而不是直接抛出定义。这种“意义先行，形式随后”的讲解方式，使得学习过程不再是枯燥的公式记忆，而变成了一场探索物理世界规律的有意义的旅程。这种精妙的结构安排，充分体现了作者深厚的教学功底和对读者心智模型的深刻洞察。

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这部书的装帧设计简直是教科书级别的典范，封面采用了沉稳的深蓝色调，辅以烫金的书名和作者信息，透露出一种经典与权威的气息。内页的纸张选择也非常考究，摸起来细腻而有质感，即便是长时间阅读也不会感到眼部疲劳。排版布局清晰明了，章节标题和正文之间的留白恰到好处，有效地引导了读者的视线。更值得称赞的是，书中使用了大量的插图和图表来辅助理解复杂的数学概念，这些图示不仅精准而且美观，将抽象的张量运算具象化，极大地降低了初学者的入门门槛。例如，对于某些高维空间的几何直观描述，作者往往会配上一张精妙的示意图，让人豁然开朗。书脊的设计也十分牢固，即便是经常翻阅和携带，也不易出现散页或损坏的情况。整体而言，从物理触感到视觉体验，这本书在制作工艺上展现了出版商对学术著作应有的尊重和专业水准，让人在捧读之初便心生敬意。

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这本书的行文风格可以说是严谨中带着一丝不易察觉的温和，它完全避免了那种高高在上、拒人于千里之外的纯理论说教腔调。作者的语言精确无比，每一个术语的使用都经过了深思熟虑，没有一丝歧义，这对于处理数学物理中模糊地带至关重要。然而，在解释那些本质上很晦涩的定理或推导时，作者却能巧妙地运用类比和比喻，将那些看似坚硬的数学结构“软化”下来。比如，在阐述协变导数的内在含义时，其措辞的处理就显得尤为巧妙，没有直接跳入坐标变换的细节，而是先从“沿着曲线移动时，矢量如何保持其‘平行性’”这一物理直觉出发。这种平衡感——既保持了数学的绝对严谨性，又兼顾了读者的理解舒适度——是很多同类书籍难以企及的。它仿佛是一位经验丰富的大师，在你身旁，用最清晰的语言引导你穿越学术的荆棘。

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这本书在配例题和习题的设计上，展现出极高的教学智慧，真正做到了理论与实践的无缝对接。初级的练习题侧重于检验对基本概念和运算规则的掌握，确保读者能够熟练地进行代数操作。然而，真正令人眼前一亮的是那些中高级的、需要综合思考的习题。它们往往不是孤立的计算任务，而是被设计成微缩的物理或工程模型，要求读者必须将张量分析与具体的物理背景（比如连续介质力学或电磁场理论中的某些特定表达）结合起来。这种将抽象工具“实战化”的练习方法，极大地提升了知识的留存率和应用能力。更重要的是，书末对部分难题给出的详尽解答和思路剖析，堪称典范，它们不仅仅是答案的展示，更是对解题思维过程的精彩复盘，使得读者在自我检验时，也能从中领悟到不同解题路径的优劣。总而言之，这套习题体系使得本书成为了一本真正可以“做中学”的优秀教材。

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让数学家写数学书给物理专业的人读，简直就是恶梦。而作者还在前言里称是由于市面上关于此话题没有一本易于理解的书存在自己才写的，而且标注是本科层次。。。

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从物理入手 简单明了

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让数学家写数学书给物理专业的人读，简直就是恶梦。而作者还在前言里称是由于市面上关于此话题没有一本易于理解的书存在自己才写的，而且标注是本科层次。。。

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很简洁，很清楚，比较“物理化”

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让数学家写数学书给物理专业的人读，简直就是恶梦。而作者还在前言里称是由于市面上关于此话题没有一本易于理解的书存在自己才写的，而且标注是本科层次。。。