Elliptic Curves. (MN-40) pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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☆☆☆☆☆

出版者:Princeton University Press

作者:Anthony W. Knapp

出品人:

页数:264

译者:

出版时间:1992-10-05

价格:USD 85.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780691085593

丛书系列:

图书标签:

数学
几何
代数几何7
代数几何
代数
Mathematics
Geometry
Algebraic_Geometry
Elliptic Curves
Number Theory
Cryptography
Algebra
Geometry
Mathematics
Modular Forms
Polynomial Equations
Function Fields

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具体描述

An elliptic curve is a particular kind of cubic equation in two variables whose projective solutions form a group. Modular forms are analytic functions in the upper half plane with certain transformation laws and growth properties. The two subjects - elliptic curves and modular forms - come together in Eichler-Shimura theory, which constructs elliptic curves out of modular forms of a special kind. The converse, that all rational elliptic curves arise this way, is called the Taniyama-Weil Conjecture and is known to imply Fermat's Last Theorem. Elliptic curves and the modular forms in the Eichler- Shimura theory both have associated L functions, and it is a consequence of the theory that the two kinds of L functions match. The theory covered by Anthony Knapp in this book is, therefore, a window into a broad expanse of mathematics - including class field theory, arithmetic algebraic geometry, and group representations - in which the coincidence of L functions relates analysis and algebra in the most fundamental ways. Developing, with many examples, the elementary theory of elliptic curves, the book goes on to the subject of modular forms and the first connections with elliptic curves. The last two chapters concern Eichler-Shimura theory, which establishes a much deeper relationship between the two subjects. No other book in print treats the basic theory of elliptic curves with only undergraduate mathematics, and no other explains Eichler-Shimura theory in such an accessible manner.

深入解析现代数论的基石：费马大定理的终极证明与代数几何的交汇本书并非直接聚焦于椭圆曲线（Elliptic Curves）这一特定数学对象，而是以一种更宏大、更具历史驱动力的视角，探讨了促使椭圆曲线理论爆炸性发展的核心动力：费马大定理（Fermat's Last Theorem, FLT）的彻底解决，及其与代数几何、数论的深刻联系。本书的叙事脉络围绕着一个世纪以来的数学难题展开，它从17世纪皮埃尔·德·费马在丢番图算术注释中的大胆断言开始，直至20世纪末安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）的里程碑式证明。我们不深入讨论椭圆曲线的复变函数理论或其在密码学中的直接应用，而是专注于那些催生并推动椭圆曲线成为现代数论核心工具的背景、技术和革命性思想。第一部分：从古老猜想到现代桥梁本部分首先回顾了费马大定理的历史背景。我们详细考察了费马在证明$n=4$时的独特方法，以及欧拉（Euler）对$n=3$情况的贡献。重点在于，这些早期尝试是如何不经意间触及了代数数的深层结构，特别是理想数（Ideal Numbers）的概念萌芽。随后，我们将视角转向19世纪末，详细分析了库默尔（Kummer）对正则素数（Regular Primes）的研究。库默尔引入的理想类群（Ideal Class Groups）的概念，尽管最初是为了在环$mathbb{Z}[zeta_p]$中恢复唯一因子分解的希望，但它直接揭示了依赖于域扩张结构解决丢番图方程的内在难度。我们深入探讨了理想论如何提供了一种比直接在整数环上操作更为强大的工具，为后来的代数几何方法奠定了非直接的、结构性的基础。第二部分：谷山-志村猜想的诞生与结构化重负本书的核心讨论转向了连接看似不相关的两个领域的伟大猜想：谷山-志村猜想（Taniyama-Shimura Conjecture，现为模定理）。我们不会详细推导椭圆曲线上的复乘法结构，而是关注此猜想的数论意义。谷山-志村猜想声称：每一个有理数域上的椭圆曲线都与一个模形式（Modular Form）相关联。这一连接的建立，将代数几何对象（曲线）与分析对象（模形式）联系起来，极大地拓宽了研究工具箱。我们着重分析了为什么在解决FLT的背景下，这个猜想显得如此关键： 1. 弗雷曲线（Frey Curve）的构造：我们详述了格哈德·弗雷（Gerhard Frey）如何利用一个假设的费马反例$a^n + b^n = c^n$来构造一条极其“病态”的椭圆曲线。这条曲线具有非常特殊的模形式关联（或缺乏关联），其判别式和局部性质是前所未有的。 2. 里贝特定理（Ribet's Epsilon Conjecture）：我们详细分析了里贝特如何证明，如果FLT有反例，那么弗雷曲线将对应于一个不存在的或“太坏”的模形式。这使得整个证明的焦点从处理丢番图方程本身，转移到了证明“所有”椭圆曲线都是模的这一更普适的猜想上。本书的重点在于：是证明谷山-志村猜想的特定部分，而非直接处理费马方程的结构，成为了解决FLT的真正路径。第三部分：怀尔斯证明的技术精髓与代数几何的视角在最后一部分，我们避开了怀尔斯证明中涉及的复杂$p$-进Hodge理论等解析工具的细节，而是聚焦于他为证明模定理特定情况（特别是针对半稳定曲线）所建立的代数框架。我们探讨了怀尔斯如何将对局部表示的理解，转化为对伽罗瓦表示（Galois Representations）的深入研究。这些表示法（由椭圆曲线上的点集的$ell$次幂点诱导产生）成为了连接FLT与现代代数几何的关键纽带。书中强调了Hecke代数（Hecke Algebras）与伽罗瓦表示之间的联系。怀尔斯和他的合作者们通过构造适当的局部结构和证明这些结构之间的“提升”是可能的，从而确立了模形式和伽罗瓦表示之间的精确对应关系。这种对应性（即模定理的核心）的建立，依赖于对“Deformation Theory of Galois Representations”的深刻理解，这是代数几何和数论交叉领域的一个重要分支。总结而言，本书提供的不是一本标准的椭圆曲线教材，而是一部关于“如何利用现代代数几何和数论工具解决经典难题”的史诗级侧记。它阐释了：为了解决一个看似简单的整数方程，数学家是如何被迫发展出关于模形式、伽罗瓦表示和代数结构之间深层同构理论的。它关注的是那些驱动工具发展的根本问题，而非工具本身的机械化应用。读者将理解，椭圆曲线理论之所以在20世纪后期达到顶峰，是因为它们恰好成为了连接费马猜想与最前沿数论猜想的完美“桥梁”。

作者简介

目录信息

读后感

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计采用了一种极简的风格，但其中蕴含的几何美学暗示了其内容的抽象程度。我更关注的是它在处理数学证明时的那种独特风格。我曾听闻，某些数学家的证明如同诗歌，优雅而精炼；而另一些则更像建筑师，结构严谨，每一步都像是承重墙。我期待这本书能展现出后者——一种无可辩驳的逻辑力量。我翻开其中一章，发现作者似乎习惯于先提出一个宏大的命题，然后在接下来的数十页中，通过层层递进的引理和推论，最终将其水落石出地证明。这种大开大合的叙事方式，对读者的专注力要求极高，但也正因此，当最终证明完成时，那种豁然开朗的感觉必然是无与伦比的。我正在为进入这种心流状态做心理准备。

评分☆☆☆☆☆

我是在一个小型研讨会上被推荐这本书的，当时几位资深研究员都在讨论某个前沿课题，不约而同地提到了这本书是理解该领域背景知识的“圣经”。虽然我个人目前的研究方向尚未完全触及这本书的核心主题，但我深知，要进行真正的创新，就必须建立在最坚实的基础之上。这本书的篇幅令人望而生畏，但其内容的系统性是无可替代的。我目前的策略是先跳过那些太过基础的预备知识部分，直接攻克一些我当前研究中需要用到的关键定理的证明。我注意到书后附带的参考书目非常详尽，这表明作者不仅提供了自己的理论，还为读者指明了通往更广阔知识海洋的路径，这一点我非常欣赏。这不仅仅是一本教科书，更像是一份详尽的学术路线图。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计实在太引人注目了，那种深邃的蓝色和复杂交织的线条，立刻就让人联想到数学的抽象之美。我是在一个偶然的机会在书店里翻到的，当时我正在寻找一些关于代数几何的入门读物，但这本书的厚度和排版，显然不是给初学者准备的。我花了很长时间去揣摩那些标题和目录，那些“模空间”、“刚性定理”之类的术语，对我来说既陌生又充满诱惑。这本书的作者在学术界的名声我早有耳闻，据说他的讲解风格极其严谨，逻辑链条长到让人喘不过气，但一旦跟上节奏，又能体会到一种无与伦比的数学美感。我还没正式深入阅读内容，但光是目录的深度和广度，就足以让我敬畏三分。它像是一座需要攀登的学术高峰，让我对即将到来的阅读旅程充满了忐忑与期待。我希望这本书能真正打开我理解更深层次代数结构的一扇窗，即使过程会非常艰辛。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧质量非常高，纸张的触感和印刷的清晰度都无可挑剔，这对于一本需要反复查阅和做笔记的数学专业书籍来说，是至关重要的。我特别留意了书中的公式排版，那些希腊字母、上下标和复杂的分数结构，被处理得井井有条，阅读起来丝毫不会产生歧义。我喜欢那种清晰到近乎冷酷的数学语言，它要求读者必须精确地理解每一个符号的含义。虽然我还没有深入到核心章节，但从前几页的引言部分，就能感受到作者在构建整个理论体系时的那种匠心独运。他似乎有一种将看似不相关的概念巧妙地联系起来的能力，让整个理论框架显得异常稳固。我买了这本书，很大程度上是冲着它的权威性和其在数学界的重要地位去的，它无疑是领域内的一块硬骨头，但也是一块能磨砺思维的磨刀石。

评分☆☆☆☆☆

对于一本专业领域的权威著作来说，能否提供足够的视角转换和历史背景是衡量其价值的重要标准之一。我希望这本书不仅仅是冰冷公式的堆砌，而是能让我体会到数学思想的演变历程。我好奇作者是如何在介绍现代工具的同时，又不失对经典思想的尊重和梳理的。从目录的布局来看，它似乎试图建立一个跨越不同数学分支的桥梁。我注意到其中似乎涉及了一些拓扑和分析学的概念，这暗示了作者在整合不同学科工具方面的努力。我更看重的是书中对“为什么”而非仅仅“如何”的解释——为什么选择这种定义？为什么这个结构比其他结构更自然？如果这本书能解答这些深层次的“为什么”，那么它就超越了一本单纯的参考书，成为了一部真正的数学思想史的载体。

评分☆☆☆☆☆