Riemann-Finsler Geometry pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Chern, Shiing-Shen/ Shen, Zhongmin

出品人:

页数:204

译者:

出版时间:2005-8

价格:196.00元

装帧:Pap

isbn号码:9789812383587

丛书系列:Nankai Tracts in Mathematics

图书标签:

• 数学
• 微分几何7
• 几何
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几何学的边界：黎曼几何、微分拓扑与测地线流 本书旨在为读者提供一个深入、广博的几何学全景，重点聚焦于黎曼几何的经典框架、微分拓扑的基本工具，以及测地线流在动力系统中的深刻体现。本书的撰写旨在成为一本面向高年级本科生、研究生以及研究人员的参考书，它不仅涵盖了基础概念，更深入探讨了现代微分几何学的核心议题。 第一部分：黎曼流形基础与度量结构 本部分构筑了整个几何学研究的基石——黎曼流形。我们从光滑流形的拓扑结构出发，详细阐述了切空间、张量代数以及微分形式的构造。 1. 流形与张量 我们首先回顾了光滑流形的定义、图册结构以及光滑映射的性质。核心内容在于切丛的构造及其上的张量场。读者将学习如何定义向量场、1-形式，并理解张量积、对称张量和反对称张量在几何描述中的作用。我们特别强调了张量密度的概念及其在积分几何中的重要性。 2. 黎曼度量与联络 黎曼几何的灵魂在于黎曼度量张量 $g$。本书详尽讨论了如何定义一个黎曼度量，它赋予流形以长度、角度和体积的概念。在此基础上，我们引入了仿射联络，特别是列维-奇维塔联络（Levi-Civita Connection）。读者将掌握如何通过度量张量唯一确定这个联络，并理解平行移动、协变导数以及扭率和曲率的严格定义。 3. 曲率的深入探讨 曲率是衡量空间弯曲程度的关键不变量。我们详细阐述了黎曼曲率张量 $R$ 的代数性质，包括其第一布安基恒等式（First Bianchi Identity）和第二布安基恒等式（Second Bianchi Identity）。章节会专门讨论几个重要的截面曲率：截面曲率（Sectional Curvature）、里奇曲率（Ricci Curvature）和斯卡拉曲率（Scalar Curvature）。这些量不仅在纯数学中至关重要，也是爱因斯坦场方程等物理学模型的基础。 4. 测地线与变分法 测地线是黎曼流形上“最短”或“最直”的曲线。本书将测地线视为长度泛函的临界点，通过欧拉-拉格朗日方程导出测地线方程。我们随后介绍了测地线偏心导数（Jacobi Fields）的概念，这是研究测地线稳定性和汇聚性的关键工具，它与二次变分公式紧密相连。 第二部分：微分拓扑的视角与拓扑不变量 几何学的现代发展离不开拓扑学的语言。本部分将黎曼几何的分析工具与微分拓扑的定性描述相结合。 1. 流形上的微分形式与德拉姆上同调 我们系统地介绍了微分形式（$k$-forms）的代数结构，特别是外导数 $mathrm{d}$ 算子的性质。通过引入德拉姆上同调群 $H_{mathrm{dR}}^k(M)$，我们展示了如何从微分结构中提取拓扑不变量。重点讨论了庞加莱引理和德拉姆定理，揭示了上同调群与奇异同调群之间的深刻联系。 2. 霍奇理论导论 在黎曼流形上，度量结构允许我们在德拉姆复形上引入一个内积，从而定义拉普拉斯-德拉姆算子 $Delta$。本书介绍了霍奇分解定理，它指出任意微分形式都可以唯一地分解为调和部分、精确部分和余精确部分。霍奇数 $sum_k b_k$ 成为衡量流形几何特性的拓扑量度。 3. 向量丛与纤维丛 现代几何研究常常涉及向量丛和主丛。我们讲解了丛的定义、截面以及丛上的联络。特别地，我们关注切丛 $TM$ 和余切丛 $T^M$，并讨论了典范联系（Canonical Connections）在研究流形结构中的作用。 第三部分：测地线流的动力学特性 本部分将几何问题转化为动力系统问题，探索测地线在流形上的演化行为。 1. 测地线流的构造 将测地线方程视为一个一阶系统，我们定义了测地线流 $Phi_t$ 作用在单值流形（Tangent Bundle）$TM$ 上。该流是一个辛动力系统，其哈密顿量即是黎曼度量在速度上的二次型。 2. 局部稳定性与雅可比方程 我们深入分析了测地线流的局部稳定性。雅可比场 $J(t)$ 描述了相邻测地线的偏离程度，其演化由雅可比方程（一个二阶线性常微分方程）给出。我们讨论了焦点（Focal Points）的概念，它们标志着测地线因曲率效应而发生汇聚的点，直接关联到测地线的可变分性。 3. 测地线流的遍历性与混沌 对于具有负截面曲率的流形（如负曲率流形），测地线流表现出高度的混沌性。本书将介绍叶诺夫指数（Lyapunov Exponent）作为衡量混沌程度的定量指标。我们将探讨霍普夫定理（Hopf Theorem）在负曲率空间上的应用，揭示了在特定几何条件下，测地线流的拓扑混合性和遍历性。 结论：几何学的交叉前沿 本书内容贯穿了微分几何学的分析、拓扑和动力学三大支柱，为读者提供了一套严谨且相互联系的数学框架。它强调了度量结构如何决定流形的拓扑性质，以及这些性质又反过来约束了测地线的整体行为。通过对这些核心概念的全面梳理，读者将能够更好地理解和探索微分几何学在广义相对论、拓扑场论以及复杂系统建模等交叉领域中的应用。

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阅读这本书的体验，就像是攀登一座结构复杂但规划合理的数学高峰。作者的写作风格极为严谨，每一个定义、每一个定理的证明都经过了反复的推敲，力求完美无瑕。我特别欣赏作者在处理那些微妙的拓扑差异时的细腻笔触。例如，在区分伪黎曼空间和纯芬斯勒流形时，作者所用的语言精确到了符号的微小变动，这种对数学语言纯粹性的坚持，是真正行家才能做到的。书中的图示和例子虽然不多，但每一个都恰到好处，能够瞬间点亮那些晦涩难懂的概念。我花了很长时间才消化完关于“张量微分解”的那几章，那里的推导过程简直是一场智力的马拉松，但最终的结论却美得令人窒息。这本书显然不是为茶余饭后随便翻阅而写的，它要求读者投入百分之百的专注力，但所获得的回报是巨大的——对几何结构本质的全新认知。

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这本书的排版和结构安排非常考究，可以看出编辑团队对数学专业书籍的理解非常到位。页边距的宽度、公式与正文的间距，都为长时间阅读提供了舒适的视觉环境。进入核心内容后，作者采取了一种“螺旋式上升”的教学策略。一开始给出一个宏观的框架，随后在后续章节中不断用更高级的工具和视角去深化和修正前述的理解。这种设计避免了早期概念的僵化，使得知识体系始终保持着动态的生命力。例如，对曲率概念的探讨，从高斯曲率的直观图像，到芬斯勒曲率的复杂张量表示，再到其在动力系统中的解释，层层递进，构建了一个非常稳固的认知金字塔。我个人觉得，如果你想从一个“会用”黎曼几何的水平，跃升到“理解其为何如此”的境界，这本书提供的路径是无可替代的。它不仅仅是知识的堆砌，更是一种思维方式的重塑。

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这本书最让我感到惊喜的是它对未来研究方向的潜在指引。尽管其核心内容是建立在坚实的传统基础之上，但在章节的末尾，作者总会留下一些开放性的问题和尚未完全解决的猜想。这些“留白”为我们这些实践者提供了极佳的探索入口。例如，书中关于 Finsler 结构在信息几何中应用的探讨，虽然只有寥寥数页，但其提出的框架具有极强的启发性，让我立刻联想到可以将其应用于某些特定的机器学习模型的梯度优化上。它的价值在于，它不仅教会你如何构建现有的理论大厦，更鼓励你去思考如何在其之上添砖加瓦。这本书的深度使得它能够长久地保持其参考价值，我相信在接下来的很多年里，它都会是我书架上最常被翻阅的几何学参考书之一，每次重读都会发现新的闪光点。

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一本关于黎曼-芬斯勒几何的著作，着实让人耳目一新。它的深度和广度都超出了我的预期。从开篇介绍基础概念时，作者就展现出了非凡的洞察力，将那些抽象的数学结构以一种非常直观的方式呈现出来。我尤其欣赏其中对“芬斯勒函数”的阐述，它不仅仅是简单的推广，更是对黎曼几何内在张力的深刻挖掘。书中对测地线的讨论，从经典的欧氏空间到复杂的非度量结构，每一步都铺垫得扎实有力，仿佛在引导读者进行一次精妙的数学漫步。更让我印象深刻的是，作者并未止步于纯理论的构建，而是巧妙地穿插了一些物理学和工程学中的应用实例，这使得原本高冷的几何学变得鲜活起来。比如，在讨论非对称性时，作者引入了材料科学中的晶体结构模型，这种跨学科的视角极大地丰富了我的理解。全书的逻辑链条清晰无比，从局部到整体的过渡自然流畅，即便是初学者也能循着作者的思路逐步深入，而资深研究者也能从中找到新的启发点。

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对于那些习惯于速成和概览的读者来说，这本书无疑会带来一定的挑战，因为它拒绝任何形式的简化。作者对细节的执着近乎偏执，特别是对于那些边缘情况和非标准模型，书中进行了详尽的分析。我记得有一段专门讨论了在非光滑边界上的测地线行为，那里涉及到大量不等式和优化问题，作者不仅给出了严密的证明，还引用了多位先驱学者的早期工作，显示出深厚的学术功底和对历史脉络的尊重。这种对“前人智慧”的致敬，使得这本书充满了人文关怀，而非冰冷的公式集合。在阅读过程中，我发现自己不止一次地停下来，思考作者是如何将如此分散的数学思想整合进一个统一的理论框架内的。这不仅仅是一本教科书，更像是一部关于几何思想如何演进的编年史，只不过是以极其精炼的数学语言写就。

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