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出版者:北京大学出版社

作者:叶扬波

出品人:

页数:251

译者:

出版时间:2001-9

价格:15.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787301045862

丛书系列:北京大学数学丛书

图书标签:

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图书简介： 《代数几何中的代数方法》 作者：[此处填写作者姓名] 出版社：[此处填写出版社名称] --- 内容概述： 本书深入探讨了现代代数几何的核心领域，重点关注如何利用抽象代数工具来解决几何问题，并构建严谨的理论框架。全书结构清晰，内容涵盖了从基础概念到前沿研究的多个重要方面，旨在为研究生和研究人员提供一个全面且深入的指南。 第一部分：交换代数基础与概形理论的建立 本书的第一部分奠定了整个理论结构所需的基本代数工具。我们首先回顾了交换环、理想、模以及同调代数的基础知识，特别是张量积、内积和对偶性的性质。 随后，引入了概形（Scheme）的概念，这是现代代数几何的基石。我们详细解释了如何从预象（Presheaf）和环层（Ringed Space）出发，构造出谱（Spectrum）$ ext{Spec}(R)$ 及其上的结构层 $mathcal{O}_X$。重点分析了拓扑结构（如Zariski拓扑）与代数结构（如环中的素理想和幂零根理想）之间的深刻联系。 对于概形的性质，本书进行了细致的分类讨论： 1. 约化性（Reducedness）与积分性（Integrality）： 分析了当 $mathcal{O}_X$ 上的局部环是约化环或整环时，概形 $ ext{X}$ 所具备的几何意义。 2. 不可约性与连通性： 将这些拓扑概念映射到环的素理想和极大理想的结构上。 3. 分离性（Separateness）与豪斯多夫性（Hausdorff Property）： 讨论了在 $ ext{Spec}(R)$ 上如何用特定的拓扑条件来表征环的性质，例如，对 $ ext{Spec}(R)$ 而言，分离性等价于所有素理想都是极大理想，这对应于环 $R$ 是一个局部环。 第二部分：射影空间与经典代数几何的复兴 在建立了概形理论之后，本书将焦点转向最核心的几何对象——射影空间 $mathbb{P}^n$。我们首先定义了射影空间 $mathbb{P}^n_R$ 作为 $ ext{Proj}(R[T_0, dots, T_n])$ 的一般化结构，并详细研究了其上的层（Sheaves），特别是结构层 $mathcal{O}_{mathbb{P}^n}$。 关键工具阿贝尔层范畴的引入，使得我们可以系统地研究局部自由层（Locally Free Sheaves）和向量丛（Vector Bundles）。本书深入分析了以下内容： 1. 线丛（Line Bundles）与次数（Divisors）： 定义了典范线丛 $mathcal{O}(1)$，并阐述了它与代数几何中代数循环（Algebraic Cycles）的关系。通过卡蒂埃除数（Cartier Divisors）与因子（Divisors）的对应，我们建立了亚纯函数和除数之间的精确联系。 2. 相交理论的萌芽： 初步探讨了如何使用反向图像（Inverse Image）和直和（Direct Sum）操作来研究子集的代数结构，为后续的相交理论打下基础。 3. 相干层（Coherent Sheaves）： 详述了相干层的定义（作为有限生成模的局部化），并证明了在Noetherian 空间上，相干层构成了阿贝尔范畴，这是对线性代数概念的深刻推广。 第三部分：射影簇与内射分解 本部分侧重于研究射影簇（Projective Varieties），即 $mathbb{P}^n$ 上的闭子概形。 1. 理想层与坐标环： 阐明了射影簇 $V subset mathbb{P}^n$ 的理想层 $mathcal{I}_V$ 与其齐次坐标环 $S(V) = R[T_0, dots, T_n] / I(V)$ 之间的对偶关系。 2. 正规性与奇异点： 从局部环的角度分析了簇的正规性（Regularity）。通过研究局部环的正则性条件（例如，最大理想的幂零指数），我们识别并分类了代数簇上的奇异点（Singular Points）。 3. 上同调理论入门（Cohomology）： 引入了层上同调（Sheaf Cohomology）的概念，将其作为衡量全局截面缺乏程度的工具。重点分析了 $mathbb{P}^n$ 上的Čech上同调计算方法。 Serre 判别准则的代数前奏： 讨论了 $mathcal{O}(k)$ 的上同调群，证明了 $H^i(mathbb{P}^n, mathcal{O}(k))$ 在 $k ge 0$ 时如何简化，为理解簇的几何性质提供了强大的代数工具。 全局截面与维度： 利用第一上同调群 $H^1$ 的消失性来判断簇的某些代数性质（如分离性）。 第四部分：平坦性、拟凝聚性与模空间概览 最后一部分将视野拓展到更抽象的层面，探讨态射（Morphisms）和模理论的代数基础。 1. 平坦性（Flatness）与不变式： 深入研究了平坦性的概念，将其定义为 $mathcal{O}_X o f_mathcal{O}_Y$ 态射在纤维上的限制是平坦模的推广。平坦性作为一种“不产生零因子”的几何性质，是理解几何形变（Deformations）的基础。 2. 拟凝聚层（Quasi-Coherent Sheaves）： 将相干层的概念推广到任意环 $R$ 上的拟凝聚层，它们是射影空间上层理论的核心，是研究非Noetherian概形的桥梁。 3. 模空间概念的提出： 简要介绍了模空间（Moduli Spaces）的思想——将具有某一固定几何属性的对象集合（如椭圆曲线、向量丛）用一个概形（或堆栈）来参数化。本书在此部分重点讨论了标定（Quot scheme）的代数构造，这是构建模空间的第一步，虽然尚未涉及数论和拓扑的复杂性，但已奠定了其代数几何的根基。 本书特色： 本书强调从交换代数的语言（如理想、模、分解）精确翻译到几何语言（如点、切空间、向量丛）的过程。理论推导严谨，例证丰富，旨在帮助读者建立起扎实的代数几何思维体系，为进一步深入研究更高阶的主题（如代数K理论、代数堆栈或算术几何）做好充分的准备。全书不依赖于任何预先的拓扑学或分析学知识，完全基于抽象代数结构进行构建。

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这本书的装帧设计真是别出心裁，拿到手里就能感觉到一股厚重而深邃的气息扑面而来。封面那种低调的深蓝色调，配上烫金的书名，简洁却不失档次，仿佛在暗示着其中蕴含着数学的奥秘和深邃的思想。内页的纸张质量也相当不错，触感温润，字迹清晰锐利，即便是长时间的阅读，眼睛也不会感到过分的疲劳。排版上，作者显然也花了不少心思，公式的间距、定理的引用都处理得井井有条，逻辑线索非常清晰，让人在面对复杂的数学结构时，不至于迷失方向。而且，随书附赠的那个精美的小书签，上面印着一些经典数学家的名言，细节之处彰显了出版方的用心和对读者的尊重。总的来说，从物理体验上来说，这本书的品质绝对是顶级的，收藏价值和阅读价值并存，让人爱不释手，光是捧在手里就能感受到一种对知识的敬畏之情。

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我最近开始涉猎一些偏向理论物理的交叉学科领域，深知扎实的数学基础是多么重要。这本书的章节安排，给我一种循序渐进、层层递进的强烈感受。它并没有一开始就抛出那些令人望而生畏的高深概念，而是从读者相对熟悉的领域入手，像搭积木一样，慢慢构建起整个理论体系的框架。我尤其欣赏作者在引入新概念时所采取的“动机先行”的策略，他会先解释为什么需要这个工具，它能解决什么问题，而不是冷冰冰地扔下一个定义，这极大地提升了我的学习兴趣和内驱力。每完成一个小节的学习，总有一种“原来如此”的豁然开朗感，这种学习体验是很多教科书所难以提供的。这种教学上的匠心，使得即便是像我这样有一定基础但不够精深的读者，也能跟上作者的思路，真正领会到数学思想的精髓所在。

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这本书在选材的广度上给我留下了极其深刻的印象。它不仅仅局限于某一个细分领域，而是像一位博学的向导，带着读者在广阔的数学世界中进行了一次全景式的考察。从基础的数论概念出发，逐步拓展到更复杂的分析结构，中间还穿插了许多历史性的背景介绍，让读者明白这些理论是如何一步步发展起来的，哪些是前人的智慧结晶，哪些是作者自己的独到见解。这种宏大的视野，使得读者能够更好地将书中的知识点放置在一个更广阔的学科脉络中去理解，而不是孤立地记忆零散的公式。每次翻阅，都会有新的发现，感觉自己好像站在一个制高点上，俯瞰整个知识的版图，收获感满满。

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坦白讲，我原本以为这会是一本非常晦涩难懂的专业著作，毕竟涉及的领域听起来就足够“硬核”。然而，阅读过程中，我惊喜地发现作者的论述风格极其富有启发性。他似乎总能找到最精妙的比喻和最直观的几何图像来解释抽象的代数结构。例如，在描述某些高维空间变换时，他穿插了一些非常生动的类比，一下子就把原本飘渺的概念落地了。虽然书中的推导步骤依然严谨且不容置疑，但行文之间流露出的那种对数学美学的热爱，感染力极强。读起来一点都不枯燥，反而像是在欣赏一场精心编排的数学交响乐，每个声部（定理、引理、例子）都恰到好处地融入整体，共同奏响和谐的乐章。这种兼具严谨性与人文关怀的写作方式，着实令人称赞。

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我特别看重一本书的“可操作性”和“后劲”。这本书在这两方面都做得非常出色。首先，它提供了大量的精选习题，这些习题的设计并非简单的公式套用，而是巧妙地考验了对核心概念的理解深度，有些甚至需要读者自己去探索和证明，极大地锻炼了独立思考的能力。更重要的是，书末的“展望与拓展”部分，简直是一份宝藏地图。作者清晰地指出了当前研究的前沿方向以及尚未解决的问题，并给出了推荐的进阶阅读文献列表。这使得这本书不仅仅是一个阶段性的学习资料，更像是开启未来研究大门的钥匙，为有志于深入此领域的读者指明了清晰的下一步方向，确保了知识的延续性和生命力，这一点对于严肃的学习者来说至关重要。

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