Set Theory and the Continuum Hypothesis pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Addison-Wesley

作者:Paul J. Cohen

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1966-08

价格:USD 31.85

装帧:Paperback

isbn号码:9780805323276

丛书系列:

图书标签:

• 集合论
• 连续统假设
• Set Theory
• Continuum Hypothesis
• Mathematics
• Logic
• Hypothetical Science
• Infinite Sets
• Foundations of Mathematics
• Philosophy of Mathematics

《集合论与连续统假设》——深入探索数学基石的奥秘 本书是一部严谨而详实的数学著作，旨在为读者提供一个关于集合论核心概念以及围绕其最著名难题——连续统假设（Continuum Hypothesis, CH）——的全面理解。作者以清晰的逻辑、严密的论证和丰富的例子，引领读者穿越抽象数学的迷人领域，揭示构成现代数学大厦的基石。 开篇：集合论的基石与构建 全书伊始，我们便被引入集合论的宏伟殿堂。这里，我们首先学习构成一切数学对象的“集合”这一基本概念。从最直观的元素集合，到构造性地定义更复杂的集合，本书将逐步揭示集合论强大的表达能力。读者将深入理解集合论的公理系统，特别是Zermelo-Fraenkel集合论（ZF）及其带有选择公理（AC）的版本（ZFC）。这些公理并非任意为之，而是经过深思熟虑，旨在捕捉我们对集合的直观理解，并避免逻辑上的矛盾。 本书将详细阐述集合论中的关键概念，包括： 集合的运算： 并集、交集、差集、幂集、笛卡尔积等，这些基本运算是构建更复杂集合结构的基础。 关系的性质： 自反性、对称性、反对称性、传递性，以及等价关系和偏序关系。这些关系在刻画数学对象之间的联系方面至关重要。 函数的概念： 从基础的函数定义到单射、满射、双射，再到函数的复合和逆函数，函数的概念是连接不同集合的桥梁。 基数（Cardinality）： 这是集合论的核心概念之一，用于衡量集合的大小。本书将深入探讨可数集合（如自然数集）和不可数集合（如实数集）的概念，并介绍如何比较不同集合的大小。 穿越无穷：序数与基数的精妙世界 随着对集合基本运算的掌握，我们将进入对“无穷”这一抽象概念的探索。本书将详细介绍序数（ordinals）和基数（cardinals）的理论。 序数： 序数是用来描述良序集合的“顺序”的。我们从有限序数（即自然数）开始，逐步构建无限序数，如 $omega$（自然数集的序数）及其后续的序数。序数的加法、乘法和指数运算将展现出无穷序列的奇妙性质。 基数： 基数则直接衡量集合的大小。本书将详细介绍如何定义和计算基数，尤其是对于无限集合。我们知道自然数集合是可数的，其基数记为 $aleph_0$。实数集合是不可数的，其基数记为 $c$ 或 $2^{aleph_0}$。 连续统假设：一个跨越世纪的谜题 本书的重头戏，也是其核心关注点，便是连续统假设（Continuum Hypothesis, CH）。CH 提出，在可数无穷基数 $aleph_0$ 和实数集合的基数 $c$ 之间，不存在其他的无限基数。换句话说，CH 声称 $c = aleph_1$，其中 $aleph_1$ 是紧随 $aleph_0$ 的下一个序数，也是最小的不可数基数。 为了深入理解CH，本书将： 追溯CH的起源： 介绍康托尔（Georg Cantor）在19世纪末首次提出CH的背景，以及他对无穷集合的革命性研究。 展示CH的非凡地位： 解释CH为何如此重要，它不仅仅是一个关于集合大小的问题，更触及了数学基础的深层哲学和逻辑问题。 探讨CH的独立性： 这是本书最精彩的篇章之一。我们将深入研究哥德尔（Kurt Gödel）在1938年证明的CH在ZFC公理系统下的相容性，以及科恩（Paul Cohen）在1963年证明的CH的独立性。这些开创性的工作表明，CH不能被ZFC公理系统所证明，也不能被其否定。这意味着，存在着两种同样有效的数学宇宙：一种CH为真，另一种CH为假。 证明的艺术：相容性与独立性的探索 本书将不只是停留在陈述CH的独立性，更会尝试向读者展示实现这些结果的关键数学工具和思想。 模型论： 尤其是在哥德尔和科恩的工作中，模型论扮演了至关重要的角色。我们将介绍内模型（inner models）的概念，以及如何通过构建模型来证明公理系统的相容性。 强制法（Forcing）： 科恩的强制法是证明独立性思想的革命性突破。本书将详细阐述强制法的基本原理，它如何允许我们在一个已有的模型上“强制”添加新的集合，从而改变集合的性质，例如是否满足CH。我们将逐步构建一个抽象的强制过程，以便读者理解如何在ZFC模型中添加一个满足CH的“新模型”，或者一个违背CH的“新模型”。 结论：对数学本质的深刻反思 《集合论与连续统假设》并非一本简单的教科书，它更是一次对数学本质的深刻探索。通过对CH这一难题的深入剖析，读者将： 理解数学的局限性： CH的独立性迫使我们重新思考数学公理化的意义，以及数学真理的相对性。 培养抽象思维能力： 集合论和逻辑学需要高度的抽象思维，本书将通过严谨的推导和清晰的解释来训练读者的这种能力。 领略数学研究的魅力： CH的故事是一个关于人类智慧如何挑战极限、揭示未知世界的生动写照。 这本书适合所有对数学基础、逻辑学、哲学以及抽象概念感兴趣的读者。无论您是数学专业的学生、研究人员，还是仅仅对知识充满好奇的探索者，《集合论与连续统假设》都将为您打开一扇通往深邃数学世界的大门，让您在理解集合论的壮丽图景的同时，也体验到解决一个世纪难题的智力乐趣。

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这本书的书名《集合论与连续统假设》就像一个邀请，邀请我去探索数学中最抽象、也最迷人的领域之一。我一直对“无限”这个概念着迷，它既是数学的起点，也是数学的终点。集合论，就是对无限进行系统性研究的学科，它为我们提供了理解不同层次的无限的工具。而连续统假设，则是关于最基本的不连续的无限（可数无穷）和我们熟悉的连续统（实数集合）之间是否存在其他大小的无限的终极问题。我希望这本书能够帮助我理解，集合论是如何建立起一套严谨的数学语言来描述这些抽象概念的。我期待看到对策（ZFC）公理体系的介绍，并理解它在避免集合论的悖论方面的作用。更重要的是，我希望能够深入理解连续统假设的含义，以及为什么它会被证明为独立于ZFC公理体系。这意味着什么？这意味着我们可以自由地在ZFC中选择接受或拒绝它，而不会产生矛盾。这种“自由”的可能性，在我看来，比直接证明或证伪更加令人振奋，它揭示了数学真理的某种灵活性。这本书对我而言，是一次关于数学本质的深刻思考，一次对逻辑边界的探索。

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这本书的标题《集合论与连续统假设》在我拿到它之前，就已经在我的脑海里勾勒出了一幅抽象而宏伟的数学画卷。我一直对数学的基础，尤其是集合论，抱有浓厚的兴趣。集合论作为现代数学的基石，它的严谨定义、公理化体系以及由此衍生出的各种概念，比如无限的层级，总能让我着迷。而连续统假设，更是其中一个绕不开的、充满神秘色彩的难题。它触及了数学的边界，关于不同大小的无限集是否存在中间地带的终极追问，既引人深思，又似乎带着一丝不可知的诱惑。当我翻开这本书，我期待着作者能带领我深入浅出地探索这些概念。我希望书中不仅仅是枯燥的公理和证明，更希望能看到这些抽象概念是如何在数学家的手中演化，如何影响了数学的整个发展进程。我希望能够理解康托尔的伟大洞见，以及后来的哥德尔和科恩是如何通过精妙的证明，为这个困扰数学界多年的难题带来了突破性的进展。从集合的基数运算，到良序原理，再到选择公理，我渴望能够梳理清楚这些概念之间的逻辑联系，并最终理解连续统假设的真正含义以及它在数学哲学上的深远影响。我对这本书的期望很高，希望它能成为我深入理解数学基础的绝佳向导，让我能以更清晰的视角去审视数学的本质。

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当我看到《集合论与连续统假设》这个书名时，我立刻联想到了数学中那些最深刻、最根本的问题。《集合论》是现代数学的基石，它提供了构建所有数学对象的语言和框架。从最简单的集合开始，我们可以构建出自然数，然后是整数、有理数、实数，甚至更复杂的数学结构。而《连续统假设》则是在这个基石之上，关于最“巨大”的无限（实数集合）与其他无限之间关系的终极追问。我一直对数学的公理化体系非常感兴趣，理解公理如何在数学中扮演角色，以及它们如何约束和引导数学的发展。ZFC公理体系是集合论的基石，而连续统假设正是这个体系的一个重要组成部分，或者说，是它试图回答却又未曾完全回答的问题。我希望这本书能够详细介绍ZFC公理，并解释连续统假设是如何从这些公理中产生的。我也非常想知道，在哥德尔的相对一致性证明和科恩的独立性证明之后，数学家们是如何看待连续统假设的。这种“独立性”的发现，在我看来，是对数学认识论的一次重大挑战，它让我们重新思考什么是“真理”，什么是“存在”。这本书的出现，对我而言，是一次对数学基础的深度挖掘。

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当我看到《集合论与连续统假设》这个书名时，我立刻被它所蕴含的深刻的数学思想所吸引。集合论，作为现代数学的语言和基石，它的每一个定义和定理都充满了逻辑的智慧。而连续统假设，则是集合论中最具代表性的一个难题，它触及了我们对“无限”最根本的理解。我一直对数学证明的精妙之处感到着迷，特别是那些能够彻底解决困扰数学界多年的难题的证明。我希望这本书能够详细介绍集合论的公理化体系，并在此基础上，深入探讨连续统假设的提出背景和其数学意义。我更期待看到，作者能够清晰地阐述哥德尔和科恩是如何通过他们革命性的证明，揭示了连续统假设的独立性。这种独立性的发现，在我看来，是对数学真理的深刻思考，它让我们重新审视数学体系的完备性和确定性。这本书对我来说，是一次对数学哲学的一次深刻探讨，一次对逻辑边界的边界的探索。

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我被这本书的封面深深吸引，那是一种简洁而又充满力量的设计，仿佛预示着内容将如同宇宙般深邃而又规律。我一直认为，数学的魅力不仅仅在于它的实用性，更在于它所展现出的逻辑之美和理性之光。《集合论与连续统假设》这个书名，在我看来，是一种对终极真理的探寻，对未知世界的探险。集合论，它就像数学的“原子”，一切复杂的结构都由最基本的集合构建而成。理解集合论，就像掌握了语言的语法，才能读懂更复杂的数学篇章。而连续统假设，它就像一个未解之谜，一个数学界的“哥德尔不完备定理”式的挑战，挑战着我们对无限的认知极限。我期待这本书能为我揭示集合论的精妙之处，让我领略数学家们如何用严密的逻辑构建起整个数学大厦。我希望能够理解各种无穷基数的概念，能够区分可数无穷和不可数无穷，更想知道连续统假设到底意味着什么，它是否是独立于现有公理体系的，或者它是否可以通过某种方式被证明或证伪。我想象着作者会用清晰的语言，生动的例子，引导我一步步走进这个数学的殿堂，让我不仅仅是记住公式，更能理解公式背后的思想。这本书的出现，对我来说，就像是打开了一扇通往更广阔数学世界的大门。

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在我看来，数学的魅力在于其严谨性，而集合论，正是这种严谨性的极致体现。《集合论与连续统假设》这个书名，让我联想到那些关于无限的深刻讨论，以及那些试图将模糊的直觉转化为清晰的逻辑证明的伟大努力。我一直对数学家的思维方式感到好奇，特别是他们如何处理抽象的概念，并将其转化为可以被验证的数学命题。我希望这本书能够展现集合论的构建过程，从最基本的集合概念，到各种集合运算，再到无限基数的概念。而连续统假设，作为集合论中最著名的一个未解之谜，其背后蕴含着对无限本质的深刻追问。我期待这本书能详细阐述连续统假设的提出背景，以及它在数学界引发的巨大争议。我更想了解，为什么这个假设会如此难以解决，并且最终被证明为独立于标准的集合论公理。这种独立性，在我看来，是一种对数学真理的重新定义，它让我们意识到，数学并非是唯一的、固定的。这本书对我来说，是一次对数学思想的深度剖析，一次对逻辑边界的探索。

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我一直对数学中那些最根本、最抽象的问题抱有浓厚的兴趣，《集合论与连续统假设》这个书名，恰恰指向了数学中最核心的领域之一。集合论，作为现代数学的基石，它为我们理解各种数学对象提供了统一的框架。而连续统假设，则是在这个框架下，对“无限”的本质发出的一个终极追问。我希望这本书能够带领我深入理解集合论的严谨定义和公理体系，并在此基础上，清晰地阐述连续统假设的含义及其在数学发展史上的重要地位。我更期待作者能够详细介绍，为何连续统假设会如此难以解决，以及哥德尔和科恩的独立性证明是如何彻底改变我们对这个问题的看法的。这种独立性的发现，在我看来，是一种对数学认识论的深刻挑战，它揭示了数学真理并非是唯一的、僵化的。这本书对我来说，是一次对数学本质的深度挖掘，一次对逻辑极限的极限的探索。

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我的学术背景让我对任何能够深入探讨数学基础的书籍都充满期待，《集合论与连续统假设》这个书名恰好满足了我的这一需求。集合论作为一种通用语言，渗透到数学的各个分支，而连续统假设则是集合论中最具争议和最富哲学意义的问题之一。我一直对数学逻辑的研究非常着迷，尤其是那些关于可判定性和独立性的结果。我希望这本书能够不仅仅停留在集合论的定义和基本定理上，更能深入探讨逻辑在解决连续统假设问题中所扮演的关键角色。我期待书中能详细介绍哥德尔和科恩的证明技巧，例如内模型理论和强制法，这些都是数学逻辑的杰出成就。我想要理解，为什么这些方法能够证明连续统假设的独立性，以及这一结果对我们理解数学宇宙的本质意味着什么。这本书对我来说，是一次对数学逻辑的深度探索，一次对数学真理本质的思考。我期待它能够提供一种新的视角，让我更深刻地理解数学推理的边界和可能性。

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我一直对数学的“未解决”的问题充满着一种特殊的敬畏，《集合论与连续统假设》的书名，正是指向了这样一个令人着迷的难题。集合论，作为现代数学的基石，它以严谨的公理体系构建了我们对数字、函数以及各种数学对象的理解。而连续统假设，则是在这个坚实的基础上，对我们理解“无限”的本质提出的一个深刻挑战。我希望这本书能够带领我深入理解集合论的核心概念，例如集合的基数、势的概念，以及不同无穷的层级。同时，我期待作者能够详细阐述连续统假设的提出，它所要解决的问题，以及它在数学发展史上的重要性。更重要的是，我渴望理解，为什么这个假设会如此难以证明或证伪，以及哥德尔和科恩的独立性证明是如何彻底改变我们对这个问题的看法的。这种独立性的发现，在我看来，是对数学真理的深刻反思，它揭示了数学体系的内在灵活性和多样性。这本书对我来说，是一次关于数学边界的探索，一次对逻辑极限的审视。

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我是一个对数学史有着强烈好奇心的爱好者，而《集合论与连续统假设》这个书名，立刻触动了我对数学发展脉络的探求。我知道，集合论的出现是数学史上的一次革命，它彻底改变了数学的根基，也为许多后续的理论发展奠定了基础。而连续统假设，作为集合论中的一个核心问题，其背后牵涉到数学逻辑、集合论公理化以及数学哲学等诸多方面。我特别希望能在这本书中看到，康托尔是如何从朴素集合论走向公理化集合论的，他的思想是如何被接受和发展的。我也非常关注，为什么连续统假设会成为一个如此难以解决的问题，它是否暴露了我们理解无限的局限性？我期待书中能详细阐述哥德尔的不完备性定理在连续统假设研究中的作用，以及科恩是如何通过他的独立性证明，彻底改变了我们对这个问题的看法。我想要了解，在接受了连续统假设的独立性之后，数学界对于数学对象的存在性和真理的认识发生了怎样的变化。这本书对我来说，不仅仅是一本介绍数学概念的书，更是一部关于数学思想如何碰撞、如何演进、如何挑战自身极限的精彩史诗。

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