一元三次练程:英语(初2)(上)(人教新大纲版) (平装) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:湖北教育出版社

作者:赫磊|主编

出品人:

页数:118 页

译者:

出版时间:2004年07月

价格:10.0

装帧:平装

isbn号码:9787535137814

丛书系列:

图书标签:

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• 新大纲版
• 教材
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• 升学必备
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一元三次方程：数学的深度探索与应用 一元三次方程，作为数学中一个古老而又充满魅力的分支，其研究历史可以追溯到中世纪的阿拉伯数学家，并在文艺复兴时期迎来了突破性的发展。它不仅是代数学中的一个重要里程碑，更在后来的数学发展，乃至物理、工程、经济等众多领域展现出其深远的价值和广泛的应用。本课程将带领您深入探索一元三次方程的世界，从其基本概念、求解方法，到其背后蕴含的数学思想和实际应用，进行一次全面而细致的梳理。 第一章：方程的起源与演进 在正式进入一元三次方程的领域之前，我们有必要回顾一下方程的概念及其发展脉络。 方程的萌芽： 早在古埃及和古巴比伦时期，人们就已经开始接触和解决一些简单的方程问题，例如用代数符号表示未知数，并发展出一些求解一元一次方程和简单一元二次方程的方法。这些早期的实践，为后来的代数方程理论奠定了基础。 代数符号的引入： 到了16世纪，以韦达（François Viète）为代表的数学家，开始系统地使用字母来表示未知数和系数，这极大地提高了代数方程的表达能力和研究效率。我们今天熟知的代数符号，很大程度上是那个时期逐渐形成的。 一元二次方程的完备： 在一元三次方程之前，一元二次方程的求解方法已经相当成熟。我们熟知的求根公式，即“-(b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})”就是在这个时期发展并被广泛接受的。这一成就，激发了数学家们进一步探索更高次方程的决心。 三次方程的破冰： 16世纪的意大利，涌现出一批杰出的代数学家，如塔尔塔利亚（Niccolò Fontana Tartaglia）、费罗（Scipione del Ferro）、卡尔达诺（Gerolamo Cardano）和博姆贝利（Rafael Bombelli）。他们为解决一元三次方程付出了巨大的努力。费罗秘密地发现了某个三次方程的求解方法，但并未公开发表。塔尔塔利亚在一次辩论中，迫使卡尔达诺承诺不泄露其掌握的秘密，却又在另一场合向卡尔达诺透露了关键步骤。最终，卡尔达诺的弟子卢多维科·费拉里（Lodovico Ferrari）在此基础上，进一步解决了四次方程的求解问题。这一系列的发现，标志着数学史上的一个辉煌篇章，开启了代数方程研究的新纪元。 第二章：一元三次方程的标准化与降次 在深入探究一元三次方程的求解之前，我们需要了解如何将其转化为标准形式，以及如何将其降次。 标准形式： 一般形式的一元三次方程可以写成 (ax^3 + bx^2 + cx + d = 0)（其中 (a eq 0)）。为了简化求解，我们通常将其转化为“不含二次项”的标准形式。通过变量替换，例如令 (x = y - frac{b}{3a})，我们可以消去二次项，得到一个形式更简洁的方程 (y^3 + py + q = 0)。这一过程被称为“降次”。 降次方法详解： 我们将详细讲解变量替换的具体步骤和原理，确保读者能够理解如何将任意一元三次方程转化为不含二次项的标准形式。例如，对于方程 (2x^3 - 6x^2 + 4x - 5 = 0)，我们将演示如何通过代入 (x = y + 1) 来消除 (x^2) 项，从而得到关于 (y) 的三次方程。 第三章：卡尔达诺公式的构建与应用 卡尔达诺公式是求解一元三次方程的经典方法，它揭示了三次方程根的代数表达式。 卡尔达诺公式的推导： 本章将详细展示卡尔达诺公式的推导过程，这需要运用一些巧妙的代数技巧和置换。我们将从降次后的方程 (y^3 + py + q = 0) 出发，引入辅助变量，例如令 (y = u + v)，并通过一系列代数运算，最终得到关于 (u) 和 (v) 的关系式，进而求解出 (y) 的值。 判别式的引入： 卡尔达诺公式的求解结果，其形式会受到 ((frac{q}{2})^2 + (frac{p}{3})^3) 这个表达式的符号影响。我们将其定义为三次方程的判别式，并分析其在确定根的性质（实根、复根、重根）方面的重要作用。 公式的应用实例： 通过具体的数值例子，我们将演示如何运用卡尔达诺公式求解各种类型的一元三次方程。例如，我们将处理系数为整数、有理数和无理数的情况，并分析公式在这些情况下的表现。 第四章：特殊情况与根的性质 尽管卡尔达诺公式是通用的，但对于某些特殊情况，有更简洁的求解方法，并且了解根的性质对于深入理解方程至关重要。 三次方程的判别式与根的分布： 我们将深入探讨判别式 ( Delta = (frac{q}{2})^2 + (frac{p}{3})^3 ) 对方程根的性质的影响。 当 ( Delta > 0 ) 时，方程有一个实根和一对共轭复根。 当 ( Delta = 0 ) 时，方程有三个实根，其中至少有两个相等。 当 ( Delta < 0 ) 时，方程有三个不相等的实根。这种情况也被称为“不可约三次方程”，其求解在实数范围内会涉及复数运算，这在历史上曾引起过数学家的困惑。 韦达定理的应用： 韦达定理（Vieta's formulas）将方程的根与系数联系起来。对于一元三次方程 (ax^3 + bx^2 + cx + d = 0)，其根 (x_1, x_2, x_3) 满足： (x_1 + x_2 + x_3 = -frac{b}{a}) (x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = frac{c}{a}) (x_1x_2x_3 = -frac{d}{a}) 韦达定理不仅可以用来检验求解结果的正确性，更在构造方程、分析根的性质等方面发挥重要作用。 因式分解法： 对于某些系数比较简单的一元三次方程，我们可以尝试通过因式分解的方法来求解。例如，如果能找到一个根 (x_0)，那么 ((x - x_0)) 就是方程的一个因式，可以将三次方程降为二次方程，从而更容易求解。 第五章：三角万能代换法 当三次方程出现“不可约情形”（即 ( Delta < 0 )），卡尔达诺公式会涉及复数运算，但方程本身却有三个不相等的实根。此时，三角函数的方法提供了一种优雅的求解途径。 三角函数恒等式： 本章将介绍三角函数中的相关恒等式，特别是与三次幂相关的恒等式，例如 ( cos(3 heta) = 4cos^3 heta - 3cos heta )。 代换与转化： 我们将演示如何将不含二次项的三次方程 (y^3 + py + q = 0) 通过适当的代换（例如令 (y = k cos heta)）转化为三角方程的形式，从而利用三角函数的性质来求解。 三角法的优势： 三角万能代换法在处理三个实根的情况时，避免了复数运算，且形式更加直观。它也揭示了代数方程与三角函数之间深刻的联系。 第六章：一元三次方程的几何意义与可视化 方程的求解不仅仅是代数运算，更是对数学概念的理解和可视化。 函数图像的分析： 一元三次函数 (f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d) 的图像是一条光滑的曲线。方程 (ax^3 + bx^2 + cx + d = 0) 的实数解，对应于函数图像与 x 轴的交点。通过分析函数的导数、极值点和拐点，我们可以描绘出函数的图像，并直观地了解方程实根的数量和位置。 求根的数值方法： 在实际应用中，很多三次方程无法通过精确的代数公式求解，或者公式过于复杂。此时，数值方法成为求解方程近似根的重要手段。我们将简要介绍一些常用的数值方法，例如二分法、牛顿迭代法等，以及它们在求解三次方程中的基本原理和适用范围。 第七章：一元三次方程在其他领域的应用 一元三次方程的价值不仅仅局限于代数理论本身，它在多个学科领域都有着重要的应用。 物理学： 在经典力学中，描述物体运动的微分方程，有时在求解过程中会归结为三次方程。例如，在解决抛物线运动的某些特定问题时，可能需要求解三次方程来确定运动轨迹或时间。在流体力学和热力学等领域，也可能出现三次方程。 工程学： 在土木工程中，计算结构的承载能力、稳定性和变形等，有时会涉及到三次方程的求解。例如，在设计桥梁、高层建筑或地下结构时，可能需要根据力学原理建立三次方程模型。在化工、机械设计等领域，也可能出现需要求解三次方程的情况。 经济学： 在经济模型的建立和分析中，有时会产生三次方程。例如，在分析生产成本、市场均衡或投资回报时，可能会需要通过三次方程来预测或解释经济现象。 其他学科： 除了上述领域，一元三次方程还在化学、生物学、计算机科学等多个领域有潜在的应用，尤其是在涉及到非线性关系和复杂模型时。 总结与展望 一元三次方程，作为数学史上的一个重要课题，其研究不仅丰富了代数学的理论体系，更催生了诸如复数、代数几何等更为广泛的数学分支。卡尔达诺公式的发现，是人类智慧的结晶，也为后来的代数方程研究开辟了道路。通过本课程的学习，我们不仅掌握了求解一元三次方程的方法，更重要的是，我们理解了方程背后的数学思想，以及它在解决实际问题中的强大力量。 尽管如今计算机的出现使得求解高次方程变得更加容易，但对一元三次方程的深入研究，依然具有重要的理论和教育意义。它能够帮助我们培养严谨的逻辑思维能力、抽象概括能力和解决问题的能力，为更深入的数学学习和科学研究打下坚实的基础。 本课程旨在通过系统性的讲解和例题分析，帮助读者全面理解一元三次方程的各个方面，从理论到实践，从抽象到具体，最终领略数学的深邃与魅力。

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我对比了好几本市面上主流的初中数学辅导书，这本书在“精讲精练”的把握上找到了一个非常微妙的平衡点。很多教辅材料要么是知识点讲解得过于冗长，像一本小册子，要么是题海战术，让孩子疲于奔命却收效甚微。然而，人教新大纲版这本《一元三次方程》似乎深谙“少即是多”的道理。它的知识点梳理部分非常凝练，直击核心概念和定理的精髓，没有一句废话。重点是它对“错题分析”和“易错点提示”的处理非常到位。在每个章节的末尾，都会有一个专门的版块，深入剖析学生最容易在哪里犯概念性错误、计算失误，甚至是逻辑跳跃的地方。我们家长辅导时，往往只能看到结果对不对，却很难指出错误背后的思维定势。这本书相当于请了一位经验丰富的资深教师，把那些“陷阱”都提前给你标出来了，让孩子能带着明确的目标去审视自己的解题过程，这种针对性极强的反馈机制，对于快速提升解题准确率有立竿见影的效果。

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从装帧和实用性的角度来看，平装版的选择非常人性化。这本书的纸张质量不错，即便是频繁翻阅和在上面做笔记也不会轻易磨损或者透墨。更值得一提的是它的便携性。初二学生课业负担重，需要携带的书本和资料很多，一本厚重的精装书会增加额外的负担。这款平装设计使得整本书的重量控制得很好，孩子可以轻松地把它塞进书包，无论是课间休息还是乘坐校车途中，都能随时拿出来翻阅和复习，真正做到了“学习随时随地”。而且，书页的开本大小也比较适中，握持感很好，长时间阅读也不会觉得累手。这种对用户体验的关注，虽然看似是细节，但对于提高学生的使用频率和学习投入度，有着潜移默化的积极影响，体现了出版社对目标读者群体的深刻理解。

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我最欣赏这本书的一点，是它在培养“数学思维深度”方面的努力。仅仅学会解题公式是远远不够的，尤其是在面对新颖的、没有模板的题目时。这本书在例题的选择上，明显超越了简单的计算训练。它引入了一些需要多角度转换思考的综合题，这些题目往往要求学生不仅要掌握一元三次方程的代数解法，还要结合图形、函数图像或者实际背景进行逻辑推理。例如，书中关于根的性质的探讨，不仅仅停留在求根的表面，而是引导学生去思考“根的存在性”和“根的分布区间”这些更深层次的数学问题。这种引导性的提问方式，迫使学生必须跳出机械模仿的怪圈，真正去理解方程背后的数学原理和逻辑结构。可以说，这本书不仅是在教“怎么做”，更是在教“为什么这么做”以及“如何进行更高阶的数学思考”，这对于他们将来面对更复杂的数学挑战，是极其宝贵的财富。

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这本书的封面设计得挺吸引人的，那种简洁又不失活力的感觉，一看就知道是面向初中生的。我记得我女儿拿到这本《一元三次方程：英语（初2）（上）（人教新大纲版）》时，眼睛都亮了，她平时对数学挺有畏难情绪的，但这本书的排版和插图很友好，不像那种传统教科书那么枯燥乏味，让人一看就想打退堂鼓。特别是对于初二这个阶段的孩子来说，代数开始变得抽象复杂，一元三次方程的引入更是个坎儿。我观察了一下，这本书在引入概念时，似乎花了很大的篇幅来做生活化的铺垫，这一点我很欣赏。它没有直接扔给你一堆公式，而是通过一些贴近学生日常生活的例子，比如分配任务、计算成本之类，把方程这种抽象的数学语言“翻译”成他们能理解的语境。这种循序渐进的教学思路，对于打牢基础至关重要，能有效降低学生的初始学习焦虑。而且，配套的练习题设计也很有心思，基础题确保人人过关，稍难题则能激发学有余力的学生去探索，整体的难度梯度把握得相当到位，绝不是那种“一刀切”的教辅材料能比拟的。

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说实话，我本来对手册类的英语教材不太抱有太大期望，毕竟“英语”和“一元三次方程”的组合听起来就有点怪异，但这本书在融合度上做得出乎我意料地好。它并非简单地在数学讲解中夹杂几个英文单词，而是真正做到了将语言学习融入到数学思维的构建中。比如，讲解某个解题步骤时，会引导学生用清晰、准确的英文短语来描述这个过程，这对于培养他们用英语思考和表达数学概念的能力，简直是绝佳的训练。我记得有一次辅导孩子做一道关于几何变换的题目，书里就提供了一段英文对话，模拟了两个学生讨论如何用向量表示平移的场景。这不仅提升了他们的阅读理解能力，更重要的是，让他们接触到了数学英语的专业术语，这在未来的学习中是绝对有帮助的。这种跨学科的整合，让学习不再是孤立的知识点堆砌，而是形成了一个有机的知识网络，极大地丰富了学习体验。

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