Hilbert's 10th Problem (Foundations of Computing) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:The MIT Press

作者:Yuri Matiyasevich

出品人:

页数:288

译者:

出版时间:1993-10-13

价格:USD 55.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780262132954

丛书系列:Foundations of Computing

图书标签:

• 递归论
• 数学
• Mathematics
• CS
• Hilbert's 10th Problem
• Diophantine Equations
• Computability
• Algorithm
• Mathematical Logic
• Theoretical Computer Science
• Decision Problems
• Undecidability
• Number Theory
• Foundations of Computing

希尔伯特第十问题：可计算性的边界与逻辑的深度 在数学的宏伟殿堂中，有些问题如同灯塔，指引着探索的方向，而另一些问题则如同深渊，挑战着人类智力的极限。希尔伯特的第十问题，便是这样一座横跨数个世纪的数学高峰，它不仅仅是一个关于丢番图方程可解性的具体问题，更是对可计算性、逻辑以及数学基础的深刻叩问。本书《希尔伯特第十问题：计算基础》旨在拨开历史的迷雾，深入剖析这一问题的提出、发展、以及最终解决所蕴含的深刻理论意义，尤其侧重于其在计算科学 foundational aspects 上的启示。 历史的足迹：从丢番图方程到数学危机 故事的开端要追溯到十七世纪的法国数学家皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）。他为他的《算术》一书中的许多命题留下了简洁的断言，其中最为著名的是“费马大定理”。然而，在更早的时候，费马也对丢番图方程（Diophantine equations）表现出浓厚的兴趣。丢番图方程是指所有系数和未知数都为整数的整系数多项式方程。例如，$x^2 + y^2 = z^2$ 就是一个著名的丢番图方程，其整数解（勾股数）有无穷多组。 丢番图本人在《算术》一书中就涉及了大量的这类方程，并提出了寻求其整数解的方法。随着时间的推移，数学家们对丢番图方程的研究越来越深入，但同时也面临着一个普遍性的难题：对于任意给定的丢番图方程，是否存在一种统一的算法，能够判断它是否有整数解？换句话说，是否存在一个“万能钥匙”，可以打开所有丢番图方程的“解之门”？ 这个问题在1900年被数学巨匠大卫·希尔伯特（David Hilbert）在巴黎国际数学家大会上提出的“希尔伯特23个问题”中正式以第十问题的形式被列出。希尔伯特以其超凡的洞察力，将这一具体的丢番图方程可解性判定问题，提升到了一个更为抽象和普遍的层面：“确定一个丢番图方程是否可解，是否能找到一个算法。” 这一问题的提出，标志着数学家们开始系统地思考算法的本质以及计算的边界。 希尔伯特问题的提出，恰逢数学基础理论风起云涌的时代。逻辑学家和集合论学家们正致力于为数学建立坚实的基础，试图消除逻辑上的矛盾和不确定性。哥德尔不完备定理的出现，更是揭示了任何足够强大的形式系统中都存在无法被证明或证伪的命题，这为希尔伯特第十问题的解决蒙上了一层深邃的哲学色彩。 理论的探索：图灵机、递归论与不可判定性 在希尔伯特提出问题的几十年后，计算理论的先驱者们，如阿隆佐·邱奇（Alonzo Church）和艾伦·图灵（Alan Turing），独立地发展出了关于“可计算性”的数学模型。图灵引入了“图灵机”（Turing machine）的概念，这是一个抽象的计算模型，能够模拟任何实际的计算过程。邱奇则提出了“λ演算”（lambda calculus），它们被证明在计算能力上是等价的。这些模型为“算法”的定义提供了精确的数学框架。 在这些理论的框架下，不可判定性（undecidability）的概念应运而生。不可判定问题是指那些不存在算法能够解决的问题。换句话说，对于这类问题，无论计算能力多强，也无法设计出一个程序，能在有限的时间内给出正确答案。数学家们开始探索哪些问题是可判定的，哪些是不可判定的。 马蒂亚谢维奇的突破：划上句号的篇章 在希尔伯特第十问题提出近七十年后，苏联数学家尤里·马蒂亚谢维奇（Yuri Matiyasevich）在1970年取得了一个划时代的突破。他证明了，不存在一个普适的算法来判断任意一个丢番图方程是否具有整数解。 换句话说，希尔伯特第十问题是不可判定的。 马蒂亚谢维奇的证明，并非直接解决了丢番图方程的可解性问题，而是证明了“解决”这个问题的“算法”是不存在的。他的工作建立在前人，特别是马丁·戴维斯（Martin Davis）、希拉里·普特南（Hilary Putnam）和朱莉娅·罗宾逊（Julia Robinson）等人的工作之上。他们已经证明，对于丢番图方程的整数解问题，如果存在一个通用的算法，那么一些已知的不可判定的问题（例如停机问题）也将变得可判定，这本身就存在矛盾。马蒂亚谢维奇的工作则将这个链条完全打通，直接证明了丢番图方程的可解性判定问题与已知的不可判定问题等价。 计算基础的启示：算法、复杂度与数学的极限 《希尔伯特第十问题：计算基础》一书并非仅仅是讲述一个历史故事，更在于深入挖掘这一历史事件对于计算科学 foundational aspects 带来的深刻启示。 算法的定义与边界： 希尔伯特第十问题的解决，为我们理解“算法”的精确定义提供了至关重要的背景。它表明，并非所有数学问题都能被算法化。这促使我们思考，哪些问题是计算的，哪些不是。这对于设计计算系统、理解计算的局限性至关重要。 不可判定性与信息论： 不可判定性的概念，是信息论和计算复杂性理论的核心。它让我们认识到，信息并非无所不能，信息的获取和处理存在根本性的限制。例如，我们无法设计一个程序来判断任意一个程序是否会无限循环（即停机问题），这直接影响了软件的可靠性和可验证性。 数学与逻辑的统一： 希尔伯特第十问题的解决，是数学、逻辑学和计算理论深度融合的产物。它展示了形式化方法在理解数学问题本质上的强大力量，也暗示了数学的某些深层结构与计算的内在属性紧密相连。 计算复杂性与理论计算机科学： 虽然希尔伯特第十问题本身证明了不可判定性，但它也间接推动了对“可判定”问题中“效率”的研究，即计算复杂性理论。对于可判定的问题，我们不仅需要知道是否存在解，还需要关心求解的成本，即需要多少时间和空间。 本书的探索视角： 本书将以一种严谨且富有洞察力的方式，带领读者： 1. 追溯历史渊源： 从古希腊的丢番图方程研究，到希尔伯特提出第十问题，再到20世纪数学基础理论的蓬勃发展。 2. 深入核心理论： 详细阐述图灵机、λ演算、递归函数等可计算性理论的核心概念，以及不可判定性的证明思路。 3. 解析马蒂亚谢维奇定理： 深入剖析马蒂亚谢维奇证明的核心思想和技术细节，理解其如何证明丢番图方程可解性判定的不可判定性。 4. 挖掘计算基础的启示： 重点探讨这一理论突破对算法设计、计算复杂性、逻辑学以及数学哲学等领域的深远影响，尤其是其在理论计算机科学 foundational aspects 上的意义。 5. 展望未来： 思考在不可判定性面前，我们如何继续探索数学和计算的边界，以及这些发现对现代计算科学的持续影响。 《希尔伯特第十问题：计算基础》是一次对人类智力极限的深刻探索，也是一场对计算本质的严谨审视。它将不仅仅是一本关于数学史或逻辑学的著作，更是一扇通往理解现代计算机科学 foundational principles 的窗口，揭示了逻辑推理与实际计算之间那错综复杂而又引人入胜的联系。本书适合所有对数学基础、逻辑推理、计算理论以及科学思想史感兴趣的读者。

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这本书的行文风格与其说是教材，不如说更接近于一本深入浅出的学术散文集，只不过其载体是前沿的数学逻辑。最让我印象深刻的是作者对论证结构的处理方式——他似乎总能找到最简洁、最优雅的路径直达结论，避免了许多同类著作中常见的冗余和重复论证。我特别欣赏其中关于哥德尔不完备性定理在计算模型中的映射部分，作者没有简单地复述定理本身，而是花了大量的篇幅去探讨为什么“形式系统内部的自我指涉”会必然导致计算能力的局限。这种对“为什么”的执着追问，使得阅读体验非常酣畅淋漓。我发现，在很多关键的定义和定理推导过程中，作者巧妙地运用了历史上的关键人物的视角来展开叙述，仿佛读者也参与了那场世纪性的思想交锋。不过，对于那些期待大量直接可运行代码示例的读者，这本书可能要略显“抽象”了。它更侧重于构建思维的骨架，而非填充具体的实现细节。对于我这种偏爱理论深度的读者来说，这本书无疑是极大的精神食粮，它提供了一种看待计算世界更宏大、更本质的视角。

评分☆☆☆☆☆

这本书带给我的体验，是一种缓慢而深刻的“顿悟”。它的叙事节奏非常缓慢，几乎不急于推进到下一个重磅结论，而是倾向于在每一个小小的逻辑节点上进行充分的剖析和辩证。我特别喜欢作者在讲解“可判定性边界”时所采取的类比——他引入了一个非常新颖的、基于古代哲学辩论的框架来解释图灵的停机问题，这种跨学科的融合让人眼前一亮。它成功地将原本抽象的数学概念“具象化”了。书中的图表和示意图虽然数量不多，但每一张都经过了精心的设计，往往能用最少的线条清晰地表达出最复杂的系统关系，这体现了作者极高的信息传达效率。不过，坦白说，这本书的“实用性”并不高，它不会教你如何编写高效的代码，也不会给你展示最新的编程范式。它的目标显然是更高的：理解计算本身的本质限制和可能性空间。因此，如果你期望的是一本面向职业发展的技术手册，你可能会感到失望；但如果你痴迷于计算机科学作为一门学科的哲学深度和数学美感，那么这本书就是一座宝库。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计就透着一股浓浓的学术气息，那种深邃的蓝色和严谨的字体排列，仿佛在向读者预示着即将踏入的将是一片逻辑严密的知识海洋。我最初被它吸引，是冲着“Foundations of Computing”这个副标题去的，心想这应该是一本能够系统梳理现代计算机科学基石的著作。然而，读完之后，我发现它远不止于此。作者的笔触极为细腻，尤其是在阐述早期图灵机模型和递归函数理论时，那种层层递进的推导过程，让人不得不佩服其深厚的数学功底。书中对可计算性理论的探讨，不仅仅停留在理论定义的层面，更融入了大量的历史背景和哲学思考，使得原本枯燥的数学证明变得生动起来。例如，在讲解不可判定性时，作者引入了一些非常巧妙的类比，帮助初学者迅速抓住问题的核心。当然，对于那些已经对计算理论有一定了解的读者来说，书的后半部分在复杂性理论和交互式证明系统方面的深入讨论，无疑提供了新的视角和更深层次的见解。整体而言，这是一本需要静下心来，反复咀嚼才能真正体会其精髓的力作，它不仅仅是工具书，更像是一次思维方式的重塑过程。

评分☆☆☆☆☆

阅读此书的感受，如同攀登一座知识的峻岭，每一步都需要踏实和谨慎。作者的语言风格在保持学术精准性的同时，展现出一种令人尊敬的克制力，没有过多渲染，只是冷静地陈述事实和逻辑推导。关于计算复杂性类P和NP的问题，书中给出了非常详尽的历史回顾，从Cook到Karp的贡献被梳理得脉络分明，尤其是在解释NP完备性时，作者没有直接跳到“归约”的概念，而是先用一系列朴素的例子来铺垫“难度等价”的思想，这种教学顺序的安排极大地降低了初学者的畏难情绪。我发现，这本书的深度在于它对理论“边界”的探索，它不断引导读者去思考：我们能知道什么？我们能计算什么？以及，计算的终极边界在哪里？这种对限制性的深刻理解，远比掌握一门新的编程语言来得更有价值。总结来看，这是一部面向严肃学者的作品，它要求读者具备一定的数理基础和对抽象概念的耐受力，但一旦你投入其中，它给予的回报将是结构化的、坚不可摧的计算思维体系。

评分☆☆☆☆☆

翻开这本书，首先感受到的是其严谨的学术规范，引文标注详实，脚注的密度甚至高到让人有些喘不过气来，这表明作者在资料搜集和学术溯源上倾注了极大的心血。在内容组织上，它采用了一种非常古典的、自上而下的演绎逻辑。比如，在介绍逻辑程序设计的基础时，它是从最基础的一阶逻辑（FOL）开始，逐步过渡到Horn子句，最后才引出Prolog等实际应用的雏形。这种处理方式的好处在于，它为每一个技术概念都打下了坚实的逻辑地基，使得读者在理解复杂算法时，能够清晰地追溯到其最原始的数学公理。然而，这种过于严谨的结构也带来了一定的阅读门槛。对于那些期待快速上手应用的读者，初期的理论铺垫可能会显得有些漫长和艰涩。我个人花了比预期更长的时间来消化前三章关于形式化语言的描述，但一旦跨过那道坎，后续的数理逻辑推导便水到渠成了。这本书的价值在于，它将计算理论的“过去、现在与未来”用一条清晰的、逻辑上无可指摘的链条串联了起来，是构建扎实理论体系的绝佳读物。

评分☆☆☆☆☆

MDPR理论踢了临门一脚的人写的书，递归论必读而且应该在入门时就读。

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