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出版者:Brooks Cole

作者:James Stewart

出品人:

页数:525

译者:

出版时间:2004-11-04

价格:USD 125.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780534410049

丛书系列:

图书标签:

• 微积分
• 多元函数
• 数学分析
• 高等数学
• 微积分学
• 数学
• 理工科
• 工程数学
• 函数
• 极限

《空间中的几何与变换：深入探索多变量函数的世界》 本书是一部旨在引导读者跨越单变量微积分的界限，深入探索多维空间中函数行为和几何形态的详尽指南。我们不仅将重温基础，更将着力于培养读者在三维乃至更高维度下进行直观思考和严谨分析的能力。本书的叙事并非仅仅罗列公式和定理，而是力图展现数学的内在美感，揭示多变量微积分在描绘和理解我们所处物理世界中的强大力量。 第一部分：奠定基础，重塑视角——向量与三维空间 我们将从三维欧几里得空间（$mathbb{R}^3$）出发，重新审视我们熟悉的二维平面上的概念。向量，作为这一部分的基石，将被赋予几何和代数的双重意义。读者将学习如何表示、运算（加法、减法、标量乘法）向量，以及点积和叉积的几何解释及其应用，如求解平行性和垂直性，计算三角形和四边形面积，以及确定向量的投影。我们将深入探讨向量方程和参数方程在描述直线和平面时的优雅之处，以及它们在解决实际问题中的灵活性。 直观的几何构建： 通过大量的图示和几何直觉的引导，读者将能够“看到”向量如何在空间中运作。例如，点积的几何意义——两个向量夹角的余弦与它们长度的乘积——将直接联系到物体在力的方向上移动的距离，这为功的计算奠定了直观基础。叉积的几何意义——一个垂直于两个原始向量的新向量，其长度与由这两个向量构成的平行四边形面积成正比——将为理解角动量、磁场等概念打开大门。 代数工具的精炼： 我们将详细阐述向量代数的计算规则，并通过一系列精心设计的习题，帮助读者熟练掌握这些工具。例如，求解两条直线是否相交、求直线与平面的交点，都将成为读者能够轻松应对的挑战。 参数化表示的艺术： 曲线的参数化方程和曲面的参数化方程将是本书的重要组成部分。理解如何用一组参数来精确地描绘出空间中复杂的形状，是后续学习多变量函数微分和积分的关键。我们将从简单的直线和圆周出发，逐步过渡到更复杂的空间曲线，如螺旋线，以及曲面，如球面和圆锥面。 第二部分：函数的多彩面貌——多变量函数的概念与性质 一旦熟悉了空间的基本组成部分，我们将正式引入多变量函数。与单变量函数 $f(x)$ 描绘一条曲线不同，多变量函数，如 $f(x, y)$ 或 $f(x, y, z)$，描绘的是更高维度的对象。 域与值域的拓展： 我们将探讨多变量函数的定义域（Domain）和值域（Range）的概念。对于 $f(x, y)$，定义域是 $xy$ 平面上的一个区域，而值域则是实数集 $mathbb{R}$ 的一个子集。理解函数的定义域至关重要，因为它决定了函数是否“有意义”。 几何可视化： 对于 $f(x, y)$，我们不再能画出其图像（需要四维空间），但可以通过两种重要的方式来理解其行为： 曲面（Surface）： 将函数值 $z = f(x, y)$ 视为第三个坐标轴，我们就可以在三维空间中描绘出函数的图像，这是一个曲面。我们将深入研究如何分析这些曲面的形状，包括其上升、下降、鞍点等局部特征。 等值线（Level Curves / Contour Lines）： 令 $f(x, y) = c$（常数），得到一系列在 $xy$ 平面上的曲线。这些等值线描绘了函数在不同输入值下相同的输出值。我们将学习如何通过等值线图来推断曲面的形状，以及函数的变化率。这对于理解地形图、等温线等实际应用至关重要。 极限与连续性： 单变量函数中的极限概念将被自然地推广到多变量函数。我们将学习如何判断一个多变量函数在某一点的极限是否存在，以及其存在的条件。连续性是函数“光滑”的重要标志，我们将探讨多变量函数连续性的定义及其在几何上的直观含义。 第三部分：变化之美——多变量微分学 微分学是研究函数变化率的工具，在多变量情形下，它变得更加丰富和强大。 偏导数（Partial Derivatives）： 这是理解多变量函数变化率的第一个关键概念。偏导数衡量的是当其他所有变量保持不变时，函数相对于一个变量的变化率。我们将学习如何计算偏导数，以及它们在几何上表示的意义——曲面在某一方向上的斜率。 方向导数（Directional Derivatives）： 偏导数只告诉我们沿着坐标轴方向的变化率。方向导数则进一步将这个概念推广到任意指定方向。我们将学习如何计算方向导数，以及它与梯度向量的关系。 梯度向量（Gradient Vector）： 梯度是一个向量，它指向函数值增长最快的方向，并且其大小等于在该方向上的最大变化率。梯度是多变量微积分中最核心、最有用的概念之一。我们将深入探讨它的性质和应用，包括： 寻找极值： 梯度为零的点是函数可能取得极值（局部最大值、最小值或鞍点）的候选点。 优化问题： 梯度下降法等优化算法是基于梯度来寻找函数最小值的方法。 法向量： 梯度向量垂直于函数的等值线（或等值面），这使得它成为求解曲面法线的重要工具。 全微分（Total Differential）与线性逼近： 我们将学习如何使用全微分来近似多变量函数值的微小变化，以及它如何提供在某一点附近函数的线性逼近。这为理解数值计算和误差分析提供了基础。 链式法则（Chain Rule）： 当函数以复合形式出现时，链式法则变得更加复杂但至关重要。我们将详细推导并应用链式法则，以计算复合函数的导数。 高阶偏导数与泰勒展开： 我们将继续探索高阶偏导数，并引入多变量函数的泰勒展开。这使得我们能够用多项式来近似复杂函数，从而更容易分析函数的局部行为。 极值问题： 我们将系统地学习如何利用一阶和二阶偏导数来寻找多变量函数的局部最大值、最小值和鞍点。这包括使用判别式来区分极值类型。 约束最优化（Lagrange Multipliers）： 许多实际问题需要在满足某些约束条件的情况下寻找函数的最大值或最小值。拉格朗日乘数法提供了一种优雅而强大的方法来解决这类问题。我们将详细阐述其原理和应用。 第四部分：累积的力量——多变量积分学 积分学是研究函数累积效应的工具，在多变量情形下，它变得更加精妙，能够计算面积、体积、质量、中心等。 重积分（Multiple Integrals）： 二重积分（Double Integrals）： 我们将学习如何在二维区域上定义和计算二重积分，它用于计算曲面在 xy 平面上的投影区域上的累积量，例如曲面下的体积。我们将探讨积分区域的类型（直角坐标下的类型 I 和类型 II），以及如何通过交换积分次序来简化计算。 三重积分（Triple Integrals）： 类似地，我们将在三维区域上定义和计算三重积分，用于计算在三维空间中的累积量，例如物体的质量（当密度函数已知时）或质心。 积分的变换： 极坐标下的积分： 对于具有圆形或扇形对称性的区域，使用极坐标进行二重积分可以极大地简化计算。 二重积分的变量替换： 更一般地，任何坐标变换（如仿射变换）都可以应用于二重积分，通过雅可比行列式（Jacobian Determinant）来调整积分的度量。 特殊积分： 面积和体积的计算： 重积分提供了计算复杂区域面积和体积的统一方法。 质心与转动惯量： 我们将学习如何利用重积分计算物体的质心（重心）以及转动惯量，这些都是物理学和工程学中的重要概念。 曲线积分（Line Integrals）： 曲线积分沿着空间中的一条曲线进行。 标量场沿曲线的积分： 用于计算沿曲线的质量、质心等。 向量场沿曲线的积分（功）： 这是物理学中功的概念的直接推广，表示力在位移上的累积效应。我们将探讨保守向量场和势函数。 面积分（Surface Integrals）： 面积分是在曲面上进行的积分。 标量场沿曲面的积分： 用于计算曲面上的质量、表面积等。 向量场沿曲面的积分（ fluxo / 散度）： 这表示通过一个曲面的向量场的“流量”，在流体力学、电磁学等领域有重要应用。 第五部分：联系的纽带——向量微积分的核心定理 向量微积分的威力在几个强大的定理中得以充分体现，它们将微分和积分的概念紧密地联系起来，并将高维问题简化为低维问题。 格林公式（Green's Theorem）： 将平面区域上的二重积分与该区域边界曲线上的曲线积分联系起来。它在计算面积、计算环量等方面有重要应用。 散度定理（Gauss's Divergence Theorem）： 将三维区域上的三重积分（散度）与该区域边界曲面上的面积分（通量）联系起来。它在描述流体流动、电场和磁场等现象时至关重要。 斯托克斯定理（Stokes' Theorem）： 将一个曲面上的面积分（旋度）与该曲面边界曲线上的曲线积分联系起来。它在描述旋度场的性质时扮演核心角色。 本书的特色与学习方法： 本书的编写注重逻辑的严谨性和数学的直观性相结合。每章都包含丰富的例题，详细展示了概念的应用和解题技巧。习题部分既有巩固基础的练习，也有挑战思维的综合题。鼓励读者在学习过程中积极画图、建立几何模型，从而培养对高维空间的直观理解。对于抽象的概念，我们将努力提供物理或几何上的类比，帮助读者建立直观认识。 掌握多变量微积分，意味着拥有了一把强大的钥匙，能够更深入地理解物理世界的规律，解决工程领域中的复杂问题，并在科学研究的各个分支中游刃有余。本书将陪伴您开启这段激动人心的数学探索之旅。

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对于自学高等数学的同学来说，选择一本好的教材至关重要，而这本《Multivariable Calculus》无疑是我迄今为止遇到过最友好的教材之一。我不是数学专业出身，第一次接触偏导数和多重积分时，感觉就像在迷雾中摸索。这本书的独特之处在于，它极其注重概念的“可视化”。例如，在介绍拉格朗日乘数法求解约束优化问题时，书中通过绘制等高线和约束曲线的图示，直观地展示了梯度向量如何相切于约束曲面的切平面，从而找到最优解。这种视觉化的解释，比单纯的代数推导要有效得多，让我瞬间茅塞顿开。此外，书中的排版和设计也值得称赞，章节之间的逻辑过渡非常自然，不会出现A章节讲完A概念，B章节突然跳到完全不相关的B概念的情况。每个章节的末尾都有一个“回顾与拓展”的小节，总结了本章的核心思想并给出了一些未来学习方向的提示，这对于保持学习的连贯性和前瞻性非常有帮助，让人感觉自己不是在啃一本厚厚的砖头书，而是在跟随一位优秀的导师进行系统性的探索。

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我对这本书的评价是，它完美地平衡了理论的深度与教学的广度。很多偏向理论的微积分教材，往往会为了证明的严谨性而牺牲掉读者的阅读体验，但这本书显然找到了一个绝佳的平衡点。它在保证数学严谨性的前提下，大量引入了现代科学和工程领域的实际应用案例。比如，在处理表面积分时，书中不仅讲解了如何计算，还深入分析了如何在计算机图形学中用它来计算光照强度和阴影投射，这让我清晰地看到了抽象数学是如何直接影响到我日常接触的科技产品的。我特别欣赏作者在引入新概念时，总是先从一个具体的、可感知的物理现象出发，让读者对这个概念产生“非学不可”的内在驱动力，而不是被动的接受知识。这种以问题为导向的教学方法，让学习过程充满了发现的乐趣。这本书的例题讲解细致入微，每一步的推导思路都清晰可见，即便是最复杂的换元积分法，作者也能用非常清晰的步骤引导读者走完整个过程，是提升计算熟练度的绝佳材料。

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这本书的精髓在于其对多元微积分背后“统一性”的强调。在学习初期，变量的增加让我们感到混乱，仿佛每一个新概念都是孤立的：偏导数、方向导数、多重积分、曲线积分……但随着章节的深入，你会发现它们之间存在着深刻的内在联系。作者通过“向量微积分”这一主线，巧妙地将这些看似分散的概念编织成一张巨大的理论网络。我印象最深的是对格林公式（Green's Theorem）的讲解，书中不仅清晰地展示了它如何连接平面区域上的二重积分和其边界上的线积分，更重要的是，作者还将其提升到更宏观的框架下，预示着后面将要出现的斯托克斯定理和散度定理。这种结构上的宏大视角，让读者在学习细节的同时，始终能把握住全局，避免陷入“只见树木不见森林”的困境。这本书的深度和广度都令人印象深刻，它不仅是大学数学系的必备参考书，对于任何想要深入理解现代科学理论基础的人来说，都是一本值得反复研读的经典之作，绝对能让你对微积分产生全新的、更深刻的敬畏之情。

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这本《Multivariable Calculus》简直是为我这种在微积分学习中挣扎的苦命人量身定做的！我记得刚拿到这本书的时候，心里就咯噔一下，生怕又要面对那些抽象到让人头皮发麻的符号和公式。但翻开目录才发现，作者的叙述方式简直像一位耐心十足的向导，把我一步步引向高维空间的深处。一开始讲向量场的梯度、散度、旋度那块，我原本以为会是枯燥的理论堆砌，没想到书中大量的几何直观解释，让我一下子明白了这些操作背后的物理意义——比如流体的运动、电磁场的分布，等等。尤其是那些配图，不是那种为了凑数而放的简单图形，而是精心设计的、能让你在脑海中构建出三维场景的辅助工具。我尤其喜欢它在处理线积分和曲面积分时所展现出的那种“化繁为简”的功力，通过巧妙的变量替换和坐标变换，原本看似无解的问题瞬间变得清晰明了。它不像某些教科书那样只管推导公式，而是会花大篇幅解释“为什么我们要这么做”，这种对数学思维过程的强调，对我建立坚实的知识体系起到了至关重要的作用。这本书的习题设计也十分有层次感，从基础的计算练习到需要深度思考的应用题，难度梯度设置得非常合理，确保读者在扎实掌握基础概念的同时，也能挑战自我，真正做到学以致用。

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老实说，我本来对高等数学类的书籍期待值不高，通常都是抱着“能看懂就好”的心态。但这本书，给我的感觉完全不一样，它更像是一本精心打磨的数学艺术品。它的语言风格非常严谨，但又不失流畅性，读起来很少有那种被生硬的学术术语卡住的感觉。举个例子，在讲解斯托克斯定理（Stokes' Theorem）和散度定理（Divergence Theorem）这两个“拦路虎”时，作者没有直接甩出那些复杂的积分形式，而是先用一个极其形象的类比——想象在水面上画了一个任意的曲面，然后分别从边界和内部考察流体运动的差异——将定理的精髓清晰地展现出来。这种叙事性的讲解方式，极大地降低了理解抽象概念的门槛。我花了很长时间去研究那些案例分析部分，它们不仅展示了理论的应用，更重要的是，展示了数学家是如何思考和建模真实世界的。我发现，这本书对于那些希望未来从事物理、工程或者数据科学的读者来说，绝对是无价之宝，因为它不仅仅教授“如何计算”，更重要的是培养“如何思考”的能力，让微积分不再是考试的工具，而成为理解世界的强大武器。

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