具体描述
线性代数（理工类），ISBN：9787300071305，作者：吴赣昌
《群论与对称性》：揭示宇宙深层结构的数学语言 图书简介 作者： 约翰·哈密尔顿 (John Hamilton) 出版社： 普林斯顿高等数学出版社 页数： 约 850 页 定价： 85.00 美元 出版日期： 2024 年秋季 --- 导言：超越量化，探寻结构之美 在现代数学和物理学的版图中，存在着一门学科，它不直接处理数值的精确计算，而是专注于结构、变换和不变性。这门学科就是群论（Group Theory）。《群论与对称性》并非一本代数计算的教科书，而是一部深入解析抽象代数核心——群论——的权威著作。本书旨在为高等数学、理论物理学、化学结构分析以及计算机科学领域的进阶学习者，提供一个全面、严谨且富有洞察力的框架，以理解自然界和人工系统中隐藏的对称性原理。 本书的核心论点在于：所有物理定律和数学结构都由某种形式的对称性所支配，而群论正是描述这些对称性的通用语言。 --- 第一部分：基础构建——群论的严谨定义与初探 (Foundations: Rigorous Definition and Initial Exploration) 本部分致力于为读者打下坚实的理论基础，从最基本的集合论概念出发，逐步引向群论的严格定义。我们避免了过于简化的类比，而是采用现代代数对群结构进行精确的刻画。 章节重点： 1. 集合、映射与运算的回顾： 巩固读者在抽象结构分析中所需的预备知识，强调封闭性、结合律、单位元和逆元这些群公理的内在逻辑联系。 2. 群的定义与基本性质： 详细阐述群的四个公理，并探讨这些公理在不同数学对象（如整数加法群、非零有理数乘法群）上的体现。 3. 子群与陪集： 引入子群的概念，并重点分析陪集（Cosets）的构造及其在分割群结构中的关键作用。拉格朗日定理的证明被置于一个更为一般的结构分解的背景下进行考察。 4. 正规子群与商群： 这是理解群结构分解的核心。本书深入分析了正规子群的特征，并详尽展示了商群（Factor Groups 或 Quotient Groups）的构造，强调其作为“模去对称性”后得到的简化结构的重要性。 --- 第二部分：表示论的基石——从抽象到具象 (The Cornerstone of Representation Theory: From Abstract to Concrete) 抽象的群结构往往难以直接应用于物理世界。第二部分的核心目标是将抽象群“嵌入”到更易于操作的矩阵空间中，即引入表示论（Representation Theory）。 章节重点： 1. 同态与同构： 深入探讨群之间的映射，特别是同构（Isomorphism）的严格定义，以及如何通过同构来判断两个看似不同的系统是否具有相同的内在对称结构。 2. 群的表示： 详细定义群表示（Representation）和等价表示。本书强调，一个群的表示理论，即所有可能的矩阵表示的集合，才是真正描述该群如何作用于向量空间的关键。 3. 群作用与轨道-稳定子定理： 将群论应用于集合（Set）上。通过对轨道（Orbits）和稳定子（Stabilizers）的深入分析，读者将掌握如何利用群作用来解决计数问题（如Burnside's Lemma的推导），这在晶体学和化学键合理论中有直接应用。 4. 群代数（Group Algebras）： 介绍如何通过群的元素构造一个环结构——群代数 $KG$。这是连接群论与更广阔的环论和模论的桥梁。 --- 第三部分：结构分解与分类——有限群的内在秩序 (Structural Decomposition and Classification: The Inner Order of Finite Groups) 本部分专注于有限群的分类和结构分析，这是群论中最具挑战性也最令人着迷的部分之一。 章节重点： 1. Sylow 定理的精妙证明： 对 Sylow 三大定理进行详尽、多角度的证明，重点分析 Sylow 子群在判定一个群是否为可解群（Solvable Group）中的关键作用。 2. 可解群与单群： 探讨幂零群（Nilpotent Groups）和可解群的性质。本书详细讨论了有限单群（Simple Groups）的概念及其在群论分类中的至高地位，但我们不会深入到庞大的有限单群分类的细节，而是侧重于理解其理论意义。 3. 直积与半直积： 分析如何通过已知的较小群来构造更大的群。半直积（Semi-direct Product）的引入对于理解非交换群的构造至关重要。 4. p-群的结构： 专门研究 $p$ 次幂阶群（$p$-groups）的特殊性质，这是理解有限群结构理论的必要环节。 --- 第四部分：无限群与连续对称性 (Infinite Groups and Continuous Symmetries) 现代物理学（如相对论和量子场论）主要依赖于连续对称性。本部分将读者的视野从有限群扩展到无限群，尤其是拓扑群和李群。 章节重点： 1. 拓扑群基础： 引入拓扑群的概念，强调其与拓扑空间和连续性的结合。讨论紧致性（Compactness）和连通性（Connectedness）在无限群理论中的重要性。 2. 李群导论（Introduction to Lie Groups）： 这是本书的高潮之一。李群被定义为既是群又是光滑流形（Smooth Manifold）的群。本书将李群的概念与它们的李代数（Lie Algebras）紧密联系起来。 3. 李代数：切空间的几何学： 详细介绍李代数的结构，包括李括号（Lie Bracket）的性质。我们展示了李代数如何通过指数映射（Exponential Map）与局部李群结构相关联，这是理解规范场论（Gauge Theory）对称性的数学基础。 4. 经典李群： 对重要的经典李群（如 $GL(n, mathbb{R})$, $O(n)$, $Sp(2n)$）进行结构分析，探讨它们的李代数结构，并说明它们在描述旋转、洛伦兹变换等物理现象中的核心作用。 --- 总结：超越计算的思维模式 《群论与对称性》的独特之处在于其叙事结构：它始终将抽象的代数运算置于其背后的几何意义和物理应用的框架内进行考察。本书假定读者具备扎实的微积分和基础线性代数知识，但明确避免了过多的数值计算和特例分析。它致力于培养读者识别和利用对称性进行简化和洞察的能力。通过对表示论和李群的深入探索，读者将获得一套强大的工具集，用于理解从分子轨道到基本粒子相互作用的普遍数学原理。这是一部献给那些渴望理解“为什么”而非仅仅“如何计算”的数学和科学爱好者的著作。
作者简介
目录信息
读后感
评分
评分
评分
评分
评分
用户评价
评分
评分
评分
评分
评分
相关图书
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2026 book.wenda123.org All Rights Reserved. 图书目录大全 版权所有